Ch2-z變換與離散時間傅里葉變換-24

1、 （第四版）數(shù)字信號處理教程程佩青清華大學(xué)出版社浙江理工大學(xué) 2013 目錄緒論第1 章離散時間信號與系統(tǒng)第2章 z變換與離散時間傅里葉變換(DTFT)第3章離散傅里葉變換(DFT)第4章快速傅里葉變換(FFT)第5 章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)第6章幾種特殊濾波器及簡單一、二階數(shù)字濾波器設(shè)計第7章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法第8章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法第9章序列的抽取與插值第10章數(shù)字信號處理中的有限字長效應(yīng)浙江理工大學(xué) 2013 第二章z變換2.1序列的z變換2.2離散時間傅里葉變換（DTFT）x (t)x (t)2.3模擬信號 、理想抽樣信號 、序列x(n)以及aa它們的拉普拉斯變換、z

2、變換、傅里葉變換的關(guān)系，s平面到z平面的映射2.4離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.5本章部分內(nèi)容涉及的MATLAB函數(shù)及例題浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.1 LSI系統(tǒng)的描述2.4.2 LSI系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定條件2.4.3 LSI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)的特點2.4.4頻率響應(yīng)的幾何確定法2.4.5無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)與有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.1 LSI系統(tǒng)的描述1、時域中描述（1）h(n) = T (n)y(n) = x(n) h(n)（

3、2）常系數(shù)線性差分方程NM ( )( )ra y n k = b x n rkk=0r=0浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2、變換域y(n) = x(n) h(n)兩邊進行z變換Y(z) = X (z)H (z)H (z) = Y(z)系統(tǒng)函數(shù)，是 h(n)的z變換X (z)在單位圓上(z=ej)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)。Y(e j )X (e j )H(e ) Fh(n) h(n)e jnj=n=浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.2 LSI系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定條件一、因果系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果

4、序列的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。h(n) = 0，n < 0因果序列為右邊序列，Z變換的收斂域在圓外，且包括即 R <| z | x浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征二、穩(wěn)定系統(tǒng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：單位樣值響應(yīng)絕對可和。( )h n < n=| h(n)zn |< 而Z變換的收斂域由滿足的那些z值確n=定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ej)存在。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征三、因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最普遍、最重要的一種系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù)

5、H(z)必須在從單位圓到的整個Z域內(nèi)收斂，即1| z | 也就是說H(z)的全部極點應(yīng)落在單位圓之內(nèi)。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征例 1已知系統(tǒng)函數(shù)為3z1zz1 222<|z|H(z) = =1z1 z (1 2z1)1z 2 2 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。解：系統(tǒng)函數(shù)H(z)有兩個極點z =0.5, z =2。12從收斂域看，收斂域包括點，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)。但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可以判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。n 1 2h(n) u(n) 2 u(n)=n由于2nu(n)項是發(fā)散的，可見系統(tǒng)確實是不穩(wěn)定的。浙江理工大學(xué) 2013 2

6、.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征例 2已知系統(tǒng)函數(shù)為3z112zz1 22<| z |< 2H(z) = =1z1 z (1 2z1)1z 2 2 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。解：收斂域包括單位圓，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但是非因果的。nh(n) = u(n)+ 2 u(n 1) 1 2n浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征四、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性時不變離散系統(tǒng)由線性常系數(shù)差分方程描述，一般形式為NM ( )( )a y n k = b x n rkrk=0r=0上式兩邊取z變換得NM( )( )Y z a z X z b zrk

7、=krk=0r=0M= r=0Nbrzrakzk( )( )X zY z( )所以 H z =離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。k=0浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征Mr=brzrakzkY(z)X(z)H(z)=0Nk=0系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)分別就是差分方程的系數(shù)。上式是兩個z-1的多項式之比，將其分別進行因式分解，可得M(1c z1) kb H(z) =10k Na (1d z1k0k=1式中，z=c是H(z)的零點，z=d是H(z)的極點，它們都由差kk分方程的系數(shù)a和b決定。因此，除了比例常數(shù)b /a以外，系統(tǒng)kk0 0函數(shù)完全由它的全部零點、極點

8、來確定。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征¾差分方程并不惟一地確定一個線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。¾同一個系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)就不同，所以必須同時給定系統(tǒng)的收斂域才行。¾對于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包括單位圓，因而，在 Z平面以極點、零點圖描述系統(tǒng)函數(shù)，通常都畫出單位圓以便看出極點是在單位圓內(nèi)還是位于單位圓外。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.3 LSI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)的特點jn設(shè)輸入一復(fù)指數(shù)序列 x(n) e，=則系統(tǒng)的輸出為單位取樣響應(yīng)h(n)和x(n)的卷積。(

9、) =y n( ) j nk ) = e jn(h k e( )h k e jk即k=k=j令H(e ) h(k)e jkk=jnjjn則輸出 y(n) e H(e ) 其中e為系統(tǒng)輸入序列。jnjnjn當輸入為e，輸出也含有e，則e稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)jH(e )稱為特征值。jH(e j) =h(n)e jnH(e )稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，且浙江理工大學(xué) 2013n= 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征H(e ) h(k)e jkk=j=jnjjny(n) e H(e ) 其中e為系統(tǒng)輸入序列。上式表明，當線性時不變系統(tǒng)輸入是頻率為的復(fù)正弦序列時，輸出為同頻復(fù)正弦序列乘以加權(quán)函數(shù)H(

10、ej)。顯然，H(e j)描述了復(fù)正弦序列通過線性時不變系統(tǒng)后，幅度和相位隨頻率的變化。換句話說，系統(tǒng)對復(fù)正弦序列的響應(yīng)完全由H(e j)決定。故稱H(ej)為線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是其單位脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征由系統(tǒng)函數(shù)得到頻響特性：( ) ( )( )=H e e j()jj=H eH zz = e j系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejw)是系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的值。( )j：幅頻特性H e 輸出與輸入序列的幅度之比( ) ：相頻特性輸出對輸入序列的相移( )e為周期函數(shù)，所以 H e為周期函數(shù)，其

11、周期為 2。jj浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征( ) ( ) ( )0.5y n = x n + x n 0.5 1例3已知離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。解：系統(tǒng)的差分方程( ) ( ) ( )y n = 0.5x n + 0.5x n 1設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)的，方程兩邊取z變換( ) ( )( )1Y z 0.5X z 0.5z X z=+( )Y z= + z1系統(tǒng)函數(shù)( )H z =0.5 0.5( )X z浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征H(z)= 0.5+ 0.5z1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性：H(e )= H(z)jz=

12、 je= +0.5(1 e j)+ ejj= 0.5ej e22222= cos ej22H ecos 2幅頻特性相頻特性( )j=()= + arg(cos )22浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征頻率響應(yīng)特性曲線( )H ej1( ) = cos2jH eLL 2O2幅頻特性曲線()= + arg(cos ) (j )222LL 2 O2 相頻曲線浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征x(n) = Acos( n+)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。0例 4設(shè)輸入為Ax(n) Acos( n ) e= + =+e j( n+ )0 j(

13、 n+ )解：002AA=j j0ne e+ j j0ne e22= x (n)+ x (n)12Aj2Ajj n=x1(n) e e=j j ny (n) H(e ) e e00則的響應(yīng)為的響應(yīng)為012AAy2(n) H(e ) e e= jj j n=j 0n jx2(n) e e0022浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知系統(tǒng)對正弦輸入A cos( n+)0的響應(yīng)為y(n) = y (n)+ y (n)12A=H(e )e e H(e )e e jjj n + j j nj00002j0如果h(n)是實序列，則H(e )滿足共軛

14、對稱條件，即j= j0*H(e ) H (e )0j= j0因此有: | H(e ) | | H(e ) |0j = j0arg | H(e ) | arg | H(e ) |0浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征A=jj j n+ j j njy(n) H(e )e e H(e )e e 00002A2A200j0 )=| H(e ) |e jargH (e j e e | H(e ) |e jargH (e e ej0 ) j j n0+ j jj 0nj0 ) +e j( n+argH (e j0 )| H(e ) | e j( n+argH (ej00

15、0jj0=A| H(e ) | cos n argH(e )+ +00浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征jj0y(n) A| H(e ) | cos n+ + argH(e )=00當系統(tǒng)輸入為正弦序列，輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度|H(ej)|加權(quán)，而輸出的相位則為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征線性時不變系統(tǒng)在任意輸入情況下，輸入與輸出兩者的傅里葉變換間的關(guān)系，可通過對卷積公式兩端取傅里葉變換Fy(n) = Fx(n) h(n)由傅里葉變換性質(zhì)得Y(e ) X (e )H(e

16、 j )j=jH(ej)表示系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。一個系統(tǒng)的輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征若對Y(ej)取傅里葉反變換，可求得輸出序列為12y(n) =H(e )X (e )e dj j jn若用極坐標形式表示頻率響應(yīng)，則系統(tǒng)的輸入和輸出的傅里葉變換的振幅和相位間的關(guān)系可表示為：Y(e ) H(e ) X (e j )j=j = jj + j arg Y(e ) arg H(e ) arg X (e ) 浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征*例5設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)

17、系由以下差分方程確定11y(n) y(n1) = x(n)+ x(n1)22設(shè)系統(tǒng)是因果的。（1）求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（2）由(1)的結(jié)果，求輸入x(n)=ejn的響應(yīng)。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征11解：（1）y(n) y(n1) = x(n)+ x(n1)2對差分方程兩端分別進行Z變換可得21= + 1 11Y(z) z Y(z) X (z) z X (z)2211+ z1Y(z)H z = =2121=1系統(tǒng)函數(shù)： ( )X (z)1 z1 1 z122系統(tǒng)函數(shù) H(z)僅有一個極點， z =1/2，因為系統(tǒng)是因果1的，故H(z)的收斂域必須

18、包含，所以收斂域為|z|>1/2 。該收斂域又包括單位圓，所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2H(z) =111 z12對系統(tǒng)函數(shù)H(z)進行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為nh(n) Z H(z) 2 u(n) (n)= 1 2=1浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征11+ z11（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為2H(z) =11 z1+ 1e je j22j=H(e ) H(z)= j1 1z e2由于系統(tǒng)是線性時不變且因果穩(wěn)定的，故當輸入 x(n)=ejn時，輸出響應(yīng)為11+ e j= 1e jn2

19、y(n) x(n)H(e ) e jn =j=131 e j2浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征 1 nh(n) = 2 u(n) (n) 2( ) =解法二： x n e jn1+ 1e j2jH(e ) =1 1e j2( ) = ( ) ( ) = h(m)e j nm)(=e h m e jnjny n x n h n( )m=m=11+ e j= 12=e H(e ) e jnjnj = e jn131 e j2浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.4 頻率響應(yīng)的幾何確定法M( ) z zr jIm z( )

20、H z =r=1N( )Dej z pkk=1B1A1M1( )1e zjp1( )=H e( )ej()rj= ejr=1Hz1A2N( )EC+ 1e pjk Re zk=1B O2 2令e z A ej =jp22rz2rre p B ej =jkkkM Ar( ) =jr=1幅頻響應(yīng)H eN Bkk=1MN ( )相位響應(yīng) = kr浙江理工大學(xué)k=1 2013r=1 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征y(n) = a y(n 1) + x(n)1例6求一階離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：差分方程y(n) = a y(n 1) + x(n)1系統(tǒng)函數(shù)zz a1H(z) =z >

21、 a1為了保證該系統(tǒng)穩(wěn)定，要求a < 11浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征zz a1H(z) =頻率響應(yīng)e j1H(e )=je a (1 a cos) ja sin+j111幅度響應(yīng)相位響應(yīng)1( ) =jH e1+ a 2a cos211 a sin( ) = arctan11 a cos1浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征ej( )=zj0 < a < 11H eH(z) =z a1je a1浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征ej1( ) =H ej( )=H e

22、ja1：1 11+ a12 2a cosje a11浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征例 7設(shè)系統(tǒng)的差分方程為M1y(n) = x(n)+ x(n1)+ x(n2)+L+ x(nM +1) = x(nk)k=0這是M-1個單元延時及M個抽頭相加所組成的電路，常稱之為橫向濾波器。試求其頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)。解：令x(n)=(n)，將所給差分方程等式兩端取z變換= + 1+ + (M 1)Y(z) X (z) z X (z) . z X (z)可得系統(tǒng)函數(shù)Y(z)X (z)M 11 zM1 z z (z 1)1=zM 1H(z) =zk=>| z | 0

23、M 1k=0浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征zM 1H(z) =| z |> 0M 1z (z 1)2j izi = e i = 0,1,2,L,M 1H(z)的零點滿足z -1=0,即MM這些零點等間隔地分布在單位圓上，其第一個零點為 z =10(i=0)，它正好和單極點z =1相抵消，所以整個函數(shù)有(M-1)個零p2j i點zi =e (i =1,2,L,M 1)M在z=0處有(M-1)階極點。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征1 zM1 z1H(z) =1 e jMsin( M / 2)sin( / 2)j=

24、 e j(M 1)/2H(e ) H(z)= jz e 1ejsin(M / 2)sin( / 2)H(e j ) =sin(M / 2)sin( / 2) jargH(e ) = (M 1) / 2+ arg浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征當輸入為x(n)=(n)時，M1h(n) =(n)+(n1)+(n2)+L+(nM +1) = (nk)k=0系統(tǒng)只延時(M-1)位就不存在了，故單位脈沖響應(yīng)h(n)只有M個值，即1 0 n M 1h(n) = 0其他浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征jImzM=6H(e j ) =

25、 sin(M / 2)sin( / 2)零點、極點對消1o1Rez(M1)階極點(a)= (M 1) / 2 arg+sin(M / 2)argH(e jh(n)x(n)z1z1z10 1 2 3 4 5 M(b)ny(n)(e)（a）零-極點分布; （b）單位脈沖響應(yīng); (c) 幅度響應(yīng);(d) 相位響應(yīng); (e) 橫向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征2.4.5無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)與有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)對于一個N階的系統(tǒng)函數(shù)，它的一般表示式為MbkzkakzkH(z) = kN=0k=0該系統(tǒng)函數(shù)是 z的有理函數(shù)，如果它

26、僅僅具有一階極點，那么-1它通常可以展開成如下形式:M NN+k=1Ak1d zk H(z) = B zrr1r=0浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征M NN+k=1Ak1d zk H(z) = B zrr1r=0前面一個和式是通過長除法得到的，只有在 MN時才存在。假設(shè)系統(tǒng)是因果的，則 H(z)的收斂域必須是在所有極點的外側(cè)。M NN h(n) = B (nr)+ Akdknu(n)rr=0k=1若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)延伸到無窮長，稱之為“無限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡寫為IIR系統(tǒng)。若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個有限長序列，稱之為“有限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡稱

27、為FIR系統(tǒng)。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征Mk=NbkzkM NNAk1d z1k H(z) = B zr+0ra zkkr=0k=1k=0M NN h(n) = B (nr)+ Akdknu(n)rr=0k=1從IIR系統(tǒng)的定義可知，若要 h(n)為無限長序列，那么至少有一項Akdn u(n)，也即要求H(z)至少有一個非零極點。這只要分母多項式除 a外至少有一個系數(shù) a0，則在有限 Z平面就會出k0k現(xiàn)極點，那么這個系統(tǒng)就是IIR系統(tǒng)。浙江理工大學(xué) 2013 2.4 離散線性移不變（LSI）系統(tǒng)的頻域表征MbkzkakzkH(z) = kN=0k=0如果除a外全部a =0 (k=1, 2, , N)，則系統(tǒng)就屬于FIR系統(tǒng)。0kH(z)在有限Z平面不能有極點，只存在零點。這時系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為MH(z) = b zkkk=0浙江理工大