2019_2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價二新人教A版必修第一冊201912262

1、單元素養(yǎng)評價(二)(第三章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列函數(shù):(1)y=xx;(2)y=t+1t+1;(3)y=1(-1x<1).其中與函數(shù)y=1是同一個函數(shù)的有()a.3個b.2個c.1個d.0個【解析】選d.(1)要求x0,與函數(shù)y=1的定義域不同,兩函數(shù)不是同一個函數(shù);(2)雖然化簡后為y=1,但要求t-1,即定義域不同,不是同一個函數(shù);(3)顯然定義域不同,故不是同一個函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m

2、的值為()a.-2b.3c.-2或3d.2或-3【解析】選b.函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,又因為f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以m-1>0,故m=3.3.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()a.y=2x2-3b.y=xc.y=x,x0,1d.y=x【解析】選d.a中函數(shù)為偶函數(shù),b,c中函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱,故函數(shù)為非奇非偶函數(shù),d中函數(shù)定義域為r,圖象關(guān)于原點對稱,為奇函數(shù).4.函數(shù)f(x)=1-x2,x1,x2-x-3,x>1,則f1f(3)的值為()a.1516b.-2716c.89d.18【解析】選c.由題意得f(

3、3)=32-3-3=3,那么1f(3)=13,所以f1f(3)=f13=1-132=89.5.已知函數(shù)f(x)=-x,則下列選項錯誤的是()a.f(x+1)=f(x)+1b.f(3x)=3f(x)c.f(f(x)=xd.f1x=1f(x)【解析】選a.根據(jù)題意,依次分析選項:對于a,f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)f(x)+1,錯誤;對于b,f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3x,f(3x)=3f(x),正確;對于c,f(x)=-x,f(f(x)=-(-x)=x,正確;對于d,f1x=-1x=-1x,1f(x)=1-x=-1x,則f1x=1

4、f(x),正確.6.函數(shù)f(x)=|x2-6x+8|的單調(diào)遞增區(qū)間為()a.3,+)b.(-,2),(4,+)c.(2,3),(4,+)d.(-,2,3,4【解析】選c.函數(shù)f(x)=|x2-6x+8|,當(dāng)x2-6x+8>0,即x>4或x<2時,可得f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,即有f(x)在(4,+)上遞增;當(dāng)x2-6x+8<0,即2<x<4時,可得f(x)=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,即有f(x)在(2,3)上遞增;則f(x)的增區(qū)間為(2,3),(4,+).7.已知函數(shù)f(x)=ax2+x+1滿足f(1+x)=f(1-x),則a

5、=()a.-1b.-12c.12d.1【解析】選b.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=ax2+x+1滿足f(1+x)=f(1-x),則二次函數(shù)的對稱軸x=-12a=1,解得a=-12.8.函數(shù)f(x)=2x1-x2的圖象大致是()【解析】選a.因為函數(shù)f(x)=2x1-x2,是奇函數(shù),當(dāng)x=12時,y=43>0,故d錯誤;x<-1時,y>0恒成立;x>1時,y<0恒成立,故b和c錯誤,由排除法得正確選項是a.9.已知偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,若f(2)=-2,則滿足f(x-1)-2的x的取值范圍是()a.(-,-1)(3,+)b.(-,-13,+)c.-1,-3d

6、.(-,-22,+)【解析】選b.根據(jù)題意,偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,且f(2)=-2,可得f(x)=f(|x|),若f(x-1)-2,即有f(|x-1|)f(2),可得|x-1|2,解得:x-1或x3,即x的取值范圍是(-,-13,+).10.某地實行階梯電價,以日歷年(每年1月1日至12月31日)為周期執(zhí)行居民階梯電價,即:一戶居民用戶全年不超過2 880度(1度=1千瓦時)的電量,執(zhí)行第一檔電價標(biāo)準,每度電0.488 3元;全年超過2 880度至4 800度之間的電量,執(zhí)行第二檔電價標(biāo)準,每度電0.538 3元;全年超過4 800度以上的電量,執(zhí)行第三檔電價標(biāo)準,每度電0.78

7、8 3元.下面是關(guān)于階梯電價的圖形表示,其中正確的有()參考數(shù)據(jù):0.488 3元/度×2 880度1 406.30元,0.538 3元/度×(4 800-2 880)度+1 406.30元2 439.84元.a.b.c.d.【解析】選b.依題意,當(dāng)全年用電量在2 880度至4 800度之間時,電價分兩段, 即全年電量中的2 880度(1度=1千瓦時)的每度電0.488 3元、超出部分按每度電0.538 3元計算, 故圖象不正確; 記用電量為x度,電費為f(x)元/年, 當(dāng)0x2 880時,f(x)=0.488 3x,當(dāng)2 880<x4 800時,f(x)=0.4 8

8、83×2 880 +0.538 3(x-2 880)=1 406.3+0.538 3(x-2 880),當(dāng)x>4 800時,f(x)=2 439.84+0.788 3(x-4 800),故均正確; 綜上所述,正確的是.二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題4分,共12分,在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)11.對于集合a=x|0x2,b=y|0y3,則由下列圖形給出的對應(yīng)關(guān)系中,能構(gòu)成從a到b的函數(shù)的有()【解析】選a、c、d.根據(jù)函數(shù)的定義可知,a,c,d中的圖形給出的對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成從a到b的函數(shù).12.下

9、列關(guān)于函數(shù)y=ax+1,x0,2的說法正確的是()a.當(dāng)a<0時,此函數(shù)的最大值為1,最小值為2a+1b.當(dāng)a<0時,此函數(shù)的最大值為2a+1,最小值為1c.當(dāng)a>0時,此函數(shù)的最大值為1,最小值為2a+1d.當(dāng)a>0時,此函數(shù)的最大值為2a+1,最小值為1【解析】選a、d.當(dāng)a<0時,一次函數(shù)y=ax+1在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減,當(dāng)x=0時,函數(shù)取得最大值為1,當(dāng)x=2時,函數(shù)取得最小值為2a+1;當(dāng)a>0時,一次函數(shù)y=ax+1在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增,當(dāng)x=0時,函數(shù)取得最小值為1,當(dāng)x=2時,函數(shù)取得最大值為2a+1.13.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為a,且

10、滿足任意xa恒有f(x)+f(2-x)=2的函數(shù)可以是()a.f(x)=2-xb.f(x)=(x-1)2c.f(x)=xx-1d.f(x)=(x-2)3【解析】選a、c.方法一:a項,f(x)+f(2-x)=2-x+2-(2-x)=2為定值,故a項正確;b項,f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不為定值,故b項錯誤;c項,f(x)+f(2-x)=xx-1+2-x1-x=2x-2x-1=2,符合題意,故c項正確;d項,f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不為定值,故d項不正確.方法二:因為任意xa恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(1,1)中心對稱,函數(shù)f(x)=2-x

11、的圖象是過點(1,1)的直線,符合題意;函數(shù)f(x)=xx-1=1+1x-1的圖象關(guān)于點(1,1)中心對稱,符合題意;b,d項的兩個函數(shù)的圖象都不是關(guān)于點(1,1)的中心對稱圖形,不符合題意.三、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,將答案填在題中的橫線上)14.已知函數(shù)f(x)=5-xx,則f(1)=_,函數(shù)y=f(x)的定義域為_. 【解析】由題意得,f(1)=4=2,由5-x0,x0,解得x5且x0,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為(-,0)(0,5.答案:2(-,0)(0,515.已知3f(x)+2f(-x)=x+3,則f(x)的解析式為_. 【解析】因為3f

12、(x)+2f(-x)=x+3,用-x替換x得:3f(-x)+2f(x)=-x+3,×3-×2得:5f(x)=5x+3,所以f(x)=x+35.答案:f(x)=x+3516.若f(x)=-x2+2ax與g(x)=ax+1在區(qū)間1,2上都單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍為_. 【解析】因為f(x)=-x2+2ax在1,2上單調(diào)遞減,且函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x=a,所以a1,因為g(x)=ax+1在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減,所以a>0,綜上知,a的取值范圍為(0,1.答案:(0,117.已知定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足以下兩個條件:在(-,0上單調(diào)遞減;f(1)=

13、-2.則使不等式f(x+1)-2成立的x的取值范圍是_. 【解析】因為f(x)是定義在r上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0上單調(diào)遞減,f(1)=-2,則由f(1+x)-2,即f(1+x)f(1),可得:|x+1|1,解得:-2x0.答案:-2x0四、解答題(本大題共6小題,共82分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)18.(12分)已知函數(shù)f(x)=1+x21-x2.(1)求函數(shù)f(x)的定義域.(2)判定f(x)的奇偶性并證明.【解析】(1)由1-x20,得x±1,即f(x)的定義域為x|x±1.(2)f(x)為偶函數(shù).證明如下:由(1)知f(x)的定義域為x|

14、x±1,因為xx|x±1,都有-xx|x±1,且f(-x)=1+(-x)21-(-x)2=1+x21-x2=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).19.(14分)已知函數(shù)f(x)=x2+2x-3,x<0,-x-3,x>0.(1)求f(-4),f(5)的值.(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并直接寫出處于圖象上升階段時x的取值集合.(3)當(dāng)x-2,0時,求函數(shù)的值域.【解析】(1)因為-4<0,5>0,所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5,f(5)=-5-3=-8.(2)如圖所示,圖象上升時x的取值集合為x|-1x0.(3)當(dāng)x-

15、2,0時,函數(shù)的值域為-4,-3.20.(14分)若二次函數(shù)滿足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)-mx在2,4上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.因為f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等2a=2,a+b=0,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.(2)因為g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x

16、+1的圖象關(guān)于直線x=1+m2對稱,又函數(shù)g(x)在2,4上是單調(diào)函數(shù),所以1+m22或1+m24,解得m3或m7,故m的取值范圍是(-,37,+).21.(14分)定義在r上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x(-,0時,f(x)=-x2+4x-1.(1)求函數(shù)f(x)在x(0,+)上的解析式.(2)求函數(shù)f(x)在x-2,3上的最大值和最小值.【解析】(1)根據(jù)題意,設(shè)x>0,則-x<0,則f(-x)=-x2-4x-1,又由y=f(x)為偶函數(shù),則f(x)=-x2-4x-1,x(0,+).(2)由(1)的結(jié)論:f(x)=-x2-4x-1,x>0,-x2+4x-1,x0,y=f(x)在x

17、-2,0上單調(diào)遞增,在x0,3上單調(diào)遞減,則f(x)max=f(0)=-1;f(x)min=minf(-2),f(3)=f(3)=-22,函數(shù)f(x)在-2,3上的最大值是-1,最小值是-22.22.(14分)設(shè)函數(shù)f(x)=a+43x-5x+a為定義在(-,0)(0,+)上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)a的值.(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義法證明f(x)在(0,+)上的單調(diào)性.【解析】(1)因為f(x)是奇函數(shù),x0,所以f(-x)=-f(x),所以-a+43x+5x+a=-a+43x+5x-a,所以2a=0,所以a=0,經(jīng)檢驗a=0為所求.(2)f(x)=43x-5x的單調(diào)減區(qū)間為(-,

18、0)和(0,+),沒有單調(diào)增區(qū)間,當(dāng)x>0時,設(shè)0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=43x1-5x1-43x2-5x2=4(x2-x1)3x1x2+5(x2-x1)=(x2-x1)43x2x1+5>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.23.(14分)某群體的人均通勤時間,是指單日內(nèi)該群體成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族s中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)s中x%(0<x<100)的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間是f(x)=30,0<x30,2x+1 800x-90,30<x<100(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受x影響,恒為40分鐘,根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:(1)請你說明,當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?(2)求該地上班族s的人均通勤時間g(x)的表達式;討論g(x