離散傅里葉變換(DFT)

1、第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選pptl3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 l3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)l3.3 頻率域采樣頻率域采樣l3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt一. 引言3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了連續(xù)時間傅里葉變換、連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換，他們都是信號處理領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域進(jìn)行。DFT存在快速

2、算法，使信號的實時處理得以實現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號處理中也起著核心作用。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt二. 四種信號傅里葉表示(1) 周期為周期為T的連續(xù)時間周期信號的連續(xù)時間周期信號00( )()jktkx tX ke001()( )t TjkttX kx t edtTFS時域周期頻域離散。頻譜特點:離散非周期譜(2) 連續(xù)時間非周期信號連續(xù)時間非周期信號()( )1( )()2j tj tX jx t edtx tX jed FT)()(nTtxtxT/20時域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點：連續(xù)非周期譜第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt1( )

3、()2jj nx nX eednnjjenxeX)()(DTFT時域離散頻域周期。頻譜特點：周期為2的連續(xù)譜時域離散周期頻域周期離散。頻譜特點:周期為N的離散譜210210( )( )1( )( )NjnkNnNjnkNkX kx n ekx nX k enN DFS第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt四種傅立葉變換四種傅立葉變換: :1. 1. 連續(xù)非周期連續(xù)非周期 連續(xù)非周期連續(xù)非周期( ( ) FT) FT2. 2. 連續(xù)周期連續(xù)周期 離散非周期離散非周期 ( ( ) ) FS FS3. 3. 離散非周期離散非周期 連續(xù)周期（連續(xù)周期（ ） DTFTDTFT4. 4. 離散周期

4、離散周期 離散周期離散周期 DFSDFS 切實理解四種FT之間的對應(yīng)關(guān)系第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt三. 離散付里葉級數(shù)(DFS) 為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個周期的有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)。( )(),x nx nkNk周期序列 因為周期序列不滿足條件： 。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示。( )nx n(1)DFS定義定義210( ) ( )( )NjnkNnX kDFS x nx n e正變換：2101( )(

5、)( )NjnkNkx nIDFS X kX k eN反變換：2jNNWe一般記：一般記：第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(2)周期序列的離散傅里葉級數(shù)推導(dǎo)周期序列的離散傅里葉級數(shù)推導(dǎo)( )(),x nx nkNk由可以展成傅里葉級數(shù)：( )x n2( )jknNkkx na eka 將上式兩邊乘以 ， 并對n在一個周期N上求和得 2jmnNe2221100( )NNjmnjknjmnNNNknnkx n ea ee 2210NjknjmnNNkknaee 21()0Njk m nNne根據(jù)正交定理,0,N kmkm210( )NjmnNmnx n eNa令k=m2101( )N

6、jknNknax n eN第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt2101( )NjknNknax n eN令( )kX kNa210( )( )NjnkNnX kx n e()X kN21()0( )Njn k NNnx n e210( )( )NjnkNnx n eX k依同樣方法可推出：2101( )( )NjknNkx nX k eN 所以，時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列)(nx分解成分解成N N個離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為個離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為 ，Nk2幅度為幅度為 ，其中，其中)(1kXN1, 1 , 0Nk表示其頻譜分布

7、規(guī)律第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(3)周期序列的傅里葉變換表示周期序列的傅里葉變換表示 因為周期序列不滿足條件： 。因此它的DTFT不存在。但是，通過引入奇異函數(shù)其DTFT可以用公式表示。( )nx n2101( )( )NjknNkx nX k eN( )(),x nx nkNk210:( )( )NjknNnX kx n e其中22()( ) ()jkX eX kkNN 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt四. 離散付里葉變換 周期序列實際上只有有限個序列值才有意義 ，因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列 , 這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT)。

8、(1)時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓(2)頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定義式（時域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長序列時頻域的對應(yīng)變換對。（前面已證：時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是同周期序列）具體而言，即：第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列周期序列的主值區(qū)間與主值序列)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx( )()( )( )( )( )( )( )NmNNNx nx nmNx nx nx n Rnx nRn 對于周期序列 ，定義其第一個周期 n=0N-1

9、，為 的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列 x(n)。)(nx)(nxx(n)與 的關(guān)系可描述為：)(nx數(shù)學(xué)表示：表示先對n進(jìn)行模N運算，然后對所得結(jié)果進(jìn)行函數(shù)運算( )Nx n925,9,25nN7第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt.n)(nx0N-1定義從n=0 到(N-1)的第一個周期為主值序列或區(qū)間。N-1nx(n)0第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt11001100( )( )( )11( )( )( )NNknknNNNnnNNknknNNNkkX kx n Wx nWx nX k WXkWNN(2)從從DFS到離散傅里葉變換到離散傅里葉變換 如果x

10、(n)的長度為N， 且 ， 則可寫出 的離散傅里葉級數(shù)表示為：( )( )Nx nx n( )x n 從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。 因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變離散傅氏變換換(DFT)的定義的定義。1010( )( )( )011( )( )( ),01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN，有限長序列隱含著周期性。DFT第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt121242(1)(1)2(1)(1) (1)(0)1111(0)(1)1(1)(2)1(2)(

11、1)1(1)NNNNNNNNNNNNNNNNDFTXW xXxXWWWxXWWWxX NWWWx N 矩陣方程為:即:(3)離散傅里葉變換的矩陣方程離散傅里葉變換的矩陣方程10( )( )NnkNnX kx n W第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點和16點DFT 。設(shè)變換區(qū)間N=8， 則10( )( )NknNnX kx n W解：解：DFT定義式為：定義式為：設(shè)變換區(qū)間N=16， 則2153161600316( )

12、( )sin()4,0,1,15sin()16jknknnNjkX kx n Wekekk第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt10( ) ( )( )NnnX zZT x nx n z比較上面二式可得關(guān)系式:2( )(),0kN-1(3.1.4)jkNX kX e(4)DFT和和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系10( ) ( )( )0kN-1,NknNnX kDFT x nx n W( ),0,1,1x nnN2( )( ),0kN-1(3.1.3)jkNz eX kX z序列序列x(n)的的N點點DFT是是 x(n)的的Z變換在單位圓上的變換在單位圓上的N點等間隔采樣點等間隔采樣序列序列x

13、(n)的的N點點DFT是是 x(n)的的DTFT在在0，2上的上的N點等間隔采樣點等間隔采樣第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt圖 3.1.1 X(k)與X(z),X(e j)的關(guān)系 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一. 基本概念1. 序列的圓周移位序列的圓周移位()( )( )NNx nmRny n序列x(n)，長度為N，則x(n)的圓周移位定義為：( )()( )NNy nx nmRn周期延拓周期延拓取主值序列取主值序列左移左移m位位( )x n( )( )Nx nx n()()Nx nmx nm 圓周移位的實

14、質(zhì)是將序列圓周移位的實質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。間的序列值又依次由另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。循環(huán)移位過程：circshift(a,0,-1)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt2. 序列的圓周卷積序列的圓周卷積)(1nx)(2nx1120( )( )()( )NNNmy nx m xnmRn)()()()(1221nxnxnxnx12max(,)NN N圓周卷積過程：周期延拓周期延拓 移位移位反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)2( )x m22( )( )Nx mxm1120(

15、 )()NNmx m xnm22()()Nxmxm2(n)Nxm相乘相加相乘相加取主值序列取主值序列1120( )()( )( )NNNmx m xnmRny n第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt222222222111(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)(1)(0)(1)(1)xxNxyxxxyxNxNxy Nxxx NyHx循環(huán)矩陣圓周卷積的矩陣表示：圓周卷積的矩陣表示：循環(huán)右移循環(huán)右移第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt圓周卷積與線性卷積比較：圓周卷積與線性卷積比較： 有限長序列x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN2-1則線性

16、卷積為：12( )( )*( )y nx nx n12()()mx m x nm11120()()Nmx m x nmN(Nmax(N1,N2)點圓周卷積為：1120( )()( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )cy nx nx n22( )()Nqxnx nqN22()()Nqxnmx nmqN11120( )( )()( )NcNmqy nx mx nmqN Rn交換求和次序交換求和次序第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt11120( )( )()( )NcNqmy nx m x nmqN Rn 11120( )()()Nmx m x nmqNy nqN( )(

17、)( )cNqy ny nqN Rn 序列的序列的N點圓周卷積是序列線性卷積點圓周卷積是序列線性卷積(以以N為周期為周期)周周期延拓序列的主值序列。期延拓序列的主值序列。故，當(dāng)故，當(dāng)NN1+N2-1時，時，線性線性卷積與圓周卷積相同。卷積與圓周卷積相同。圓周卷積線性卷積是針對DFT引出的一種表示方法信號通過LTI系統(tǒng)時，輸出等于輸入與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積兩序列長度必須等，不等時按要求補零兩序列長度可相等，也可不等卷積結(jié)果長度與兩信號長度相等，皆為N卷積結(jié)果長度N=N1+N2-1第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt圖 3.4.2 線性卷積與圓周卷積 0123451234h(n) x(

18、n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt121,041,04( ),( )0,591,59(10)例:兩個有限長序列（1）求它們的圓周卷積（2）它們的線性卷積nnx nx nnnN412120( )( )*( )()()my nx nx nx m x nm412120( )( )(

19、)( )()( )cNNmy nx nx nx m xnmRn第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt3. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列分別定義為 ：()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn ( )(),01( )(),01epepopopxnxNnnNxnxNnnN當(dāng)N為偶數(shù)時， 將上式中的n換成N/2-n可得到：圖 3.2.3 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt 任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對

20、稱分量之和， 即：( )( )( ),01(1)epopx nxnxnnN將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛得：*()()()epopx NnxNnxNn( )( )epopxnxn*()( )( )(2)epopx Nnxnxn(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：*1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nx Nnxnx nx Nn第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt二. 線性性質(zhì) 設(shè)x1(n)，x2(n)是長度為N的有限長序列。它們的N點DFT分別為： )()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX12( ) ( )( )( ),01Y

21、kDFT y naX kbXkkN12( )( )( )y nax nbx n若若，則y(n)的N點DFT為：( ) ( ),( )()( )NNX kDFT x ny nx nmRn若( ) ( )( )mkNY kDFT y nWX k,則三. 時域圓周移位定理10()( )NknNNNnx nmRn W( ) ( )Y kDFT y n證明：證明：第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt10()NknNNnx nmW1( )NmkmknNNNnmWx nW 令n+m=n1()( )Nmk nmNNnmx nW ( )kmNWX k10( )NkmknNNNnWx nW( )knNN

22、x nW周期為周期為N10( )NkmknNNnWx n W( ) ( )( )mkNY kDFT y nWX k( ) ( ), ( )()( )NNX kDFT x nY kXklRk若( ) ( )( )nlNy nIDFT Y kW x n,則四. 頻域圓周移位定理第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt)(1nx)(2nx112120( )( )( )( )()( )NNNmy nx nx nx m xnmRn)()(11nxDFTkX若22,( )( ),XkDFT x n12( ) ( )( )( )Y kDFT y nXk Xk則五.時域圓周卷積定理( ) ( )Y kD

23、FT y n證明：證明：111200( )()NNknNNmnx mxnmW10( )NknNny n W111200( )()( )NNknNNNnmx m xnmRn W 交換交換求和次序求和次序令n-m=n11()120( )( )( )NNmk nmNNmnmY kx mxnW 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt11120( )( )( )NNmkmknNNNmnmy kx m WxnW ( )knNNx nW周期為周期為N111200( )( )( )NNkmknNNmny kx m Wx n W12( )( ),01X k XkkN六.頻域循環(huán)卷積定理)()()(21n

24、xnxny若)()(1)()(21kXkXNnyDFTkY則11201( )()( )NNNlX l XklRkN211( )( )( )Y kXkX kN或12101( )()( )NNNlXl XklRkN第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt( )( ),( ) ( )x nx nX kDFT x n設(shè)為的復(fù)共軛序列( )()DFT xnXNk,則七.復(fù)共軛序列的DFT()( )DFT xNnXk,則若x(n)是實序列,則X(k)是有限長共軛對稱序列;反之亦然時域x(n)取共軛,對應(yīng)于頻域X(k)取有限長共軛對稱頻域X(k)取共軛,對應(yīng)于時域x(n)取有限長共軛對稱若X(k)是實

25、序列,則x(n)是有限長共軛對稱序列;反之亦然兩種情況為對偶關(guān)系兩種情況為對偶關(guān)系第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt( )( )( ),rix nx njx n設(shè))()(21)(*nxnxnxr)()(21)(*nxnxnjxi八.DFT的共軛對稱性*1( ) ( )( )2rDFT x nDFTx nx n*1( )()( )2epX kXNkXk*1( ) ( )( )2iDFT jx nDFTx nx n*1( )()( )2opX kXNkXk則：則： 如果如果x(n)的的DFT為為X(k),則則x(n)的實部和虛部的實部和虛部(包括包括j)的的DFT分別為分別為X(k)的

26、共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為分別為X(k)的實部和虛部乘以的實部和虛部乘以j第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選pptx(n)X(k)=x(n)x(n)= x(N-n)，則 X(k)= X(N-k)x(n)= -x(N-n)，則 X(k)= -X(N-k) 對實序列進(jìn)行對實序列進(jìn)行DFT時，利用以上性質(zhì)可減少運算量，時，利用以上性質(zhì)可減少運算量，提高運算效率。提高運算效率。11*001 ( )( ),( )( )( )( )NNnkDFT y nY kx n ynX k

27、 YkN則( )( ) ( )( ),x ny nNDFT x nX k設(shè)、為 點有限長序列.九、Parseval定理1*01( )( )NkX k YkN11*001( )( )NNknNnkx nY k WN（11*001( )( )NNknNknYkx n WN1*0( )( )Nnx n y n證明：證明：交換交換求和次序求和次序 X(k)= X*(N-k)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt11*001( )( )( )( )( )( )NNnkx n ynX k Yky nx nN上式中令11*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k XkN則：1122

28、001| ( )|( )|NNnkx nX kN 表明：一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選pptl3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 l3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)l3.3 頻率域采樣頻率域采樣l3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt3.3 頻率域采樣頻率域采樣一. 引言時域：時域：)(tx)(nx滿足滿足“時域采樣定理時域采樣定理”的采樣的采樣頻域：頻域：)(jeX)(kX？(1)能否由頻域離散采樣X(k

29、)恢復(fù)序列x(n)？(2)能否由頻域抽樣X(k)恢復(fù)原頻率函數(shù)或X(z)？(3)若能恢復(fù)其條件是什么？與時域采樣相類比，我們提出以下幾個問題？(4)如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式? 若要回答這些問題，首先讓我們回想下時域樣定理確定采樣頻率的方法？第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(1)計算時域采樣信號的頻譜 (2)分析時域采樣信號頻譜與原信號頻譜關(guān)系（以采樣頻率周期延拓）(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號頻譜這間關(guān)系，得到時域采樣定理 時域采樣從頻域分析，頻域采樣是不是可以從時域分析呢 時域采樣對應(yīng)頻域周期延拓，頻域采樣是不是對應(yīng)時域周期延拓呢二. 頻域采樣后能不失真恢復(fù)原序列的條件？)(n

30、xMnnjjenxeX)()( )( )( )nkNNnX kx n WRk頻域采樣頻域采樣( )( )(01)NIDFT X kxnnN欲恢復(fù)原信號，即)()(nxnxN頻域采樣序列的離散付立葉逆變換: 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt( )( ) ( )NX kXkDFS x n)()()(kRkXkXN( )( )( )NNx nxnIDFS X k)()()(nRnxnxNN101( )( )NnkNkx nX k WN 10)(1NknkNmmkNWWmxN1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN)(nxNrNnRrNnx)()()(nxN)(nx1

31、()01,10Nk m nNkmnrN rWNm其他第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt利用頻域采樣X(k)表示X(z)10)()(NnnkNWnxkX10)(1)(NknkNWkXNnx10)()(NnnznxzX1010)(1NnnNknkNzWkXNnNkNnnkNzWkXN1010)(110111)(1NkkNNNkNzWzWkXN1011)(1NkkNNzWkXNz11011( ),( )( )( )1NNkkkkNzzX ZX kzNWz令則三. 內(nèi)插公式為X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式( )kz稱為內(nèi)插函數(shù)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選pptl3.1 離散傅里

32、葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 l3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)l3.3 頻率域采樣頻率域采樣l3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例一. 引言 DFT的應(yīng)用使數(shù)字信號處理可以在頻域進(jìn)行，由于DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作

33、為連續(xù)FT的近似為基礎(chǔ)。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt12( )( )( )y nx nx n1122( ) ( ),( )( )X kDFT x nXkDFT x n二、用DFT計算線性卷積(1)DFT計算循環(huán)卷積1212( ) ( )( )( )( ),01Y kDFT x nx nX k XkkL可用上式計算循環(huán)卷積。從另一方面看：12 ( )( )( )( )IDFT Y ky nx nx n所以，可按下面的計算框圖從頻域計算循環(huán)卷積1120( )()( )LLLmx m xnmR n圖 3.4.1 用DFT計算循環(huán)卷積 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt

34、很多情況下 需要計算兩個序列的線性卷積， 為了提高運算速度， 希望用DFT(FFT)計算。 而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積， 什么時候循環(huán)卷積與線性卷積相等呢？ 循環(huán)卷積與線性卷積相等條件：循環(huán)卷積與線性卷積相等條件：L M+N-1。所以，所以，如果取如果取L = M+N-1，則可用DFT（FFT）計算線性卷積。計算框圖如下：圖 3.4.3 用DFT計算線性卷積框圖 補L N個零點L點DFT補L M個零點L點DFTL 點IDFTy (n )h (n )x (n )(2)DFT計算線性卷積第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(2)長序列的分段卷積( )x n( )h n( )y n

35、沒有全部進(jìn)入，如何實現(xiàn)卷積，全部進(jìn)入再卷積，又如何保證實時實現(xiàn)？( )x n 數(shù)字信號處理的優(yōu)勢是“實時實現(xiàn)”，即信號進(jìn)來后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk 較短（FIR：長度在2050之間）， 可能很長，也不適宜直接卷積。( )h n( )x n另外：解決方法：分段卷積第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt0( )( ), ( )( )()kkMkx nx nx nx nRnkM其中00( )( )( )kkkkh nx ny n 設(shè)序列h(n)長度為N， x(n)為無限長。 將x(n)均勻分段， 每段長度取M， 則:0

36、( )( )( )( )( )kky nh nx nh nx n)()()(nhnxnykk上式中MN1( ),(1)2( ),(1)(2)2kky n kMnkMNynkMnkMN( ),(1)10,x nkMnkM其它第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt三、用DFT對信號進(jìn)行譜分析1. 用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行

37、譜分析( )()FTx tX j1( )()FTx atX jaa若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬。若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長。按采樣定理采樣時，以上兩種情況的采樣序列均應(yīng)無限長，不滿足DFT條件。 所以，對頻譜很寬的信號一般用預(yù)濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對持續(xù)時間很長的信號只好截取有限點進(jìn)行DFT。 所以，用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析必然是近似的，近似程序與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。 實際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt2()( )( )jftaaaXjfFT x tx t e

38、dt120()()NjfnTanX jfTx nT e 假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號。以下分析連續(xù)信號頻譜特性的DFT近似。設(shè)xa(t)持續(xù)時間為Tp， 最高頻率為fc。其傅立葉變換為：( )()()aat nTx nx nTx nT采樣:(1/,2)sscTfff共采樣N點，則Tp=NT。并對表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT, dt=T)得：( ()()sX j frfX jf對X(jf)在區(qū)間0, fs上等間隔采樣N點,采樣間隔為F。()sX jff周期為11spfFNNTT,spf TN F關(guān)系第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt120()()

39、NjkFnTanX jkFTx nT e120()sfNjknTNanTx nT e210()(),01NjknNanX jkFTx nT ekN( )(), ( )()aaXkX jkfx nx nT令 則 210( )( ) ( )NjknNanXkTx n eT DFT x n120()()NjfnTanX jfTx nT ef=kF帶入式：得：同理，由2( )()()jftaaax tIFT XjfXjf edf1( )( )ax nIDFT XkT可推出連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行DFT再乘以T來近似。柵欄效應(yīng)：DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)

40、函數(shù)。只能看到N個離散采樣點的譜特性。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt 由以上分析可以看出利用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析，最主要的兩個問題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。(1)譜分析范圍譜分析范圍指信號的最高頻率fc，受采樣定理限制。 fc fs/2(2)頻率分辨率（物理分辨率，計算分辨率）頻率分辨率（物理分辨率，計算分辨率）指將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力，用頻率采樣間隔F描述。 F = fs/N（矩形窗情況）1/pTF(3)譜分析參數(shù)確定譜分析參數(shù)確定N不變，要提高頻率分辨率，必須降低fs，會導(dǎo)致譜分析范圍減小。同時

41、T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不變，要提高頻率分辨率，必須增加N。因NT=Tp，T=1/ fs，故Tp必須增加。因此，若要增加頻率分辨率必須增加信號記錄時間Tp更深入的理解可參閱胡廣書編著教材數(shù)字信號處理理論、算法和實踐第二版相應(yīng)章節(jié)。c2/NfF第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt頻率分辨率：通過頻域窗觀察到的頻率寬度；也可定義為將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力時間分辨率：通過時域窗觀察到的時間寬度；希望：窗函數(shù)的“寬度”越小越好NoImage( )( )( ),j tj tXx t edtx t e 1( ),( ),2()2Parsevalj tx t eX( )

42、( ) ( )( ), ( )j tj twXx t w t edtx t w t e 1( ), ( )( ),2()2Parsevalj tx t w t eXW窗口在時域無窮大，在頻域無窮小窗口在時域無窮大，在頻域無窮小時域加窗后，窗口由時域窗長決定。在頻域，窗口由主瓣時域加窗后，窗口由時域窗長決定。在頻域，窗口由主瓣寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距離小于主瓣寬度的兩個頻率無法區(qū)分開。離小于主瓣寬度的兩個頻率無法區(qū)分開。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt例：123123( )sin(2) sin(2) sin

43、(2)2Hz,2.02Hz,2.07Hz,10Hz,ssssx nf n ff n ff n fffff試確定將三個譜峰分開所需要的數(shù)據(jù)的長度。210.02HzFff在本例中，最小的/10/0.02500sNfF即要想分辨出這三個譜峰，數(shù)據(jù)的長度至少要大于500，從DFT的角度看，若令N=512，則：10 5120.0195HzsFfN第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt下圖，N分別等于256和512，可見，N=256 時無法分辨三個譜峰。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt110.110PTsF3minmaxmin0.10.2 10500PTTsN例 3.4.1 對實信號

44、進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點N和最小的記錄時間是多少? 解：1/pTF2/cNfFmin0.1PTs2/2 2500/10500cNfF min500N譜分辨率增加一倍，F(xiàn)=5Hzmin1/1/50.2PTFsmin2/2 2500/5 1000cNfF 第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt2. 用DFT對序列進(jìn)行譜分析 序列序列x(n)的的N點點DFT是是 x(n)的的DTFT在在0,2上的上的N點等

45、間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用點等間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用DFT來計來計算。算。 DFT是由周期序列DFS取主值區(qū)間得到的一種變換。因此，DFT可用于周期序列的譜結(jié)構(gòu)分析。DFT進(jìn)行譜分析的步驟：第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt()axj( )ax t( )ax n()jax e( ) ( )ax n w n()* ()jjax ew e( )Nx n( )NXk( )x n( )X k周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓采樣采樣t=nT卷積卷積截短截短采樣采樣02NT 取一個周期取一個周期周期延拓周期延拓取一個周期取一個周期FTDTFTDFTDFSDTFTDFT實

46、現(xiàn)連續(xù)信號譜分析的過程實現(xiàn)連續(xù)信號譜分析的過程3. 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題(1) 混疊現(xiàn)象(2) 柵欄效應(yīng)(3) 截斷效應(yīng)周期延拓周期延拓第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(1) 混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象實際應(yīng)用中，通常取fs=(35) fh種。對fs確定情況，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率fs /2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。如果采樣頻率fs小于連續(xù)信號最高頻率fh，會在=處發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對于模擬頻率，即在fs /2附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析，首先要按采樣定理對其采樣。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(2) 柵欄效應(yīng)lN點

47、DFT是在頻率區(qū)間0，2上對信號的頻譜進(jìn)行N點等間隔采樣，而采樣點之間頻譜函數(shù)值是不知道的。l用DFT計算頻譜, 就如通過一個柵欄觀看信號的頻譜情況，僅得到柵欄縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。l由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉（擋?。┐蟮念l譜分量。l可以采用在原序列尾部補零的方法改變DFT變換區(qū)間長度，使原來漏掉的頻譜分量被檢測出來。l補零的方法能使柵欄效應(yīng)得到改善（計算分辨率提高），但不能改變頻率分辨率（物理分辨率），即原來無法分開的兩個頻率，并不能通過補零而分開。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt(3) 截斷效應(yīng)序列可能是無限長的，用序列可能是無限長的，用DFTDFT對其進(jìn)行譜分析時必須對其進(jìn)

48、行譜分析時必須截短成有限長序列。截短成有限長序列。截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要有：別對譜分析的影響主要有：泄漏，原來譜分量為零的地方出現(xiàn)了譜分量泄漏，原來譜分量為零的地方出現(xiàn)了譜分量譜間干擾，由于窗旁瓣的存在，引起不同頻譜間干擾，由于窗旁瓣的存在，引起不同頻率分量間的干擾。率分量間的干擾。 增加矩形窗的窗長增加矩形窗的窗長N N，可使其主瓣變窄，提高頻率，可使其主瓣變窄，提高頻率分辨率，但旁瓣個數(shù)和相對幅度并不減小。所以，為了分辨率，但旁瓣個數(shù)和相對幅度并不減小。所以，為了減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù)代替矩形窗。在減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù)代替矩形窗。在FIRFIR濾波器設(shè)計中對窗函數(shù)進(jìn)行研究。濾波器設(shè)計中對窗函數(shù)進(jìn)行研究。第3章 離散傅里葉變換(DFT)精選精選ppt( )( )( )Ny nx n