D22函數(shù)的求導(dǎo)法則ppt課件

1、第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxu

2、u)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證證: 設(shè), 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()

3、(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如,(2)vuvuvu )(證證: 設(shè)設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數(shù) )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4

4、(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè)設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxu

5、xvxu推論推論:2vvCvC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ( C為常數(shù) ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且

6、由反函數(shù)的連續(xù)性知 因而,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè)設(shè),arcsinxy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arcc

7、os利用0cosy, 那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2) 設(shè), )1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時(shí),小結(jié)小結(jié):機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且d( )()=.dy

8、dy dufu gxxdu dx在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求下列導(dǎo)數(shù)求下列導(dǎo)數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()

9、(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch說明說明: 類似可得類似可得;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設(shè)設(shè), )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考慮考慮: 假設(shè)假設(shè))(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩

10、個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè)設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 設(shè)設(shè), )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx那么 )(arshx112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見 P94例16. 2shxxeex的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 四、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)四、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtans

11、ec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本

12、的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9.（選）（選） 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe

13、112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P94)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對(duì)嗎?2114341xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(a

14、f 時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 4. 設(shè)設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè)P 94-95習(xí)題2-2A1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(12)(14) ;2(1)(4)