D71定積分的概念ppt課件

1、第七章定 積 分 積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一節(jié)第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例一、定積分問(wèn)題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義定積分的概念定積分的概念 第七章第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、定積分問(wèn)題舉例一、定積分問(wèn)題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線( ) ( ( )0)yf xf xx及 軸，以及兩直線以及兩直線,xa xb所圍成所圍成 , 求其面積求其面積 A .?A ( )yfx矩形面積矩形面積ahahahb梯形面積梯形面積()2habyOxab目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1xix1

2、ixxabyO解決步驟解決步驟 :1) 劃分劃分. 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中任意插入中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)0121nnaxxxxxb1,iiixx用直線用直線ixx將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形;2) 近似替代近似替代 . 在第在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取個(gè)窄曲邊梯形上任取作以作以1,iixx為底為底 ,()if為高的小矩形為高的小矩形, 并以此小并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積,iA得得1()()iiiiiiAfxxxx,1,2,)ini目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和求和.1niiAA1()niii

3、fx4) 取極限取極限. 令令1max,ii nx 則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積01limniiAA01lim()niiifx1xix1ixxabyOi目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),12( ),vv tC T T且且( )0,v t 求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 劃分劃分.1,iiitt將它分成將它分成 n1, (1, 2, ),iittin在每個(gè)小段上物體經(jīng)在每個(gè)小段上物體經(jīng)2) 近似替代近似替代. 任取任取 得得()iiisvt12,1,T Tn在中任

4、意插入個(gè)分點(diǎn)(1, 2, )isin(1, 2, )in已知速度已知速度個(gè)小段個(gè)小段過(guò)的路程為過(guò)的路程為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和求和.1()niiisvt4) 取極限取極限 .01lim()niiisvt1(max)ii nt 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 總成本問(wèn)題總成本問(wèn)題設(shè)邊際成本設(shè)邊際成本 C(x) 為產(chǎn)量為產(chǎn)量 x 的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)， 求產(chǎn)量求產(chǎn)量 x從從 變到變到 時(shí)的總成本時(shí)的總成本.解決步驟解決步驟:1) 劃分劃分.分成分成 n2) 近似替代近似替代.任取任取 ，()iiiCCx(1, 2,)in(1, 2, )in個(gè)小產(chǎn)量段個(gè)小產(chǎn)量段在區(qū)間在區(qū)間

5、, 1,iixx1,iiixx()iC段的近似平均成本，有段的近似平均成本，有中任意插入中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn), 把把作為第作為第 i目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3) 求和求和.1()niiiCCx4) 取極限取極限 .01lim()niiiCCx1(max)ii nx 上述三個(gè)問(wèn)題的共性上述三個(gè)問(wèn)題的共性: 解決問(wèn)題的方法步驟相同解決問(wèn)題的方法步驟相同 :“劃分劃分 , 近似替代近似替代 , 求和求和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oabx二、定積分定義二、定積分定義 (P165

6、 )若對(duì)若對(duì)a,b上任一種分法上任一種分法012,naxxxxb1,iiixxx令任取任取1, ,iiixxi1max0ii nx 只要時(shí),1()niiifx總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I , 則稱此極限則稱此極限 I 為函數(shù)為函數(shù)( )f x在區(qū)間在區(qū)間 , a b上的定積分上的定積分,1xix1ix( )dbaf xx即即( )dbaf xx 01lim()niiifx此時(shí)稱此時(shí)稱 f ( x ) 在在 a , b 上可積上可積 .記作記作函數(shù)函數(shù) f (x) 在在a,b上有界，上有界，目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( )dbaf xx 01lim()niiifx積分上限積分上限積分

7、下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分和積分和 , a b 稱為積分區(qū)間目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的幾何意義定積分的幾何意義:( )0,( )dbaf xf xxA曲邊梯形面積曲邊梯形面積( )0,( )dbaf xf xx曲邊梯形面積的負(fù)值曲邊梯形面積的負(fù)值abyx1A2A3A4A5A12345( )dbaf xxAAAAA各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和AO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 質(zhì)點(diǎn)以速度質(zhì)點(diǎn)以速度 v = v (t) 作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻作直線運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻 T1 到到 T221( )dTTsv tt所通過(guò)的路程為：所通過(guò)的路程為：邊際成本

8、邊際成本 C(x) 在產(chǎn)量在產(chǎn)量 x( )dCC xx從從 變到變到 時(shí)的總成本：時(shí)的總成本：目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1、定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)、定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)變量用什么字母表示無(wú)關(guān) , 即即( )dbaf xx( )dbaf tt( )dbaf uu說(shuō)明說(shuō)明:不定積分不定積分 定積分定積分 所有的原函數(shù)所有的原函數(shù)一個(gè)確定的數(shù)值一個(gè)確定的數(shù)值注：注：目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （1）( )d0aaf xx 規(guī)定規(guī)定:（2）( )dabf xx( )dbaf xx 2、可積的充分條件、可積的充分條件:定理定理1.(

9、 ) , f xa b函數(shù)在上連續(xù)( ) , .f xa b在可積定理定理2.( ) , ,f xa b函數(shù)在上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) (證明略證明略)( ) , .f xa b在可積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 O1xyin1inx,iin取取(1,2, )in例例 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分120d .xx解解: 將將 0,1 n 等分等分, 分點(diǎn)為分點(diǎn)為iinx (0,1, )in2yx2( )iiiifxx則23in1( )niiifx2311niin311(1)(21)6n nnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1( )niiifx311(1)(21)6n

10、nnn111(1)(2)6nn122001dlimniiixxxlimn13111(1)(2)6nn注注 O1xyin2yx注注 利用利用332(1)331,nnnn得得332(1)331nnnn332(1)3(1)3(1) 1nnnn332213 13 11 兩端分別相加兩端分別相加, 得得3(1)1n3(12)nn即即3233nnn213nii3(1)2n nn21nii16(1)(21)n nn2223(12)n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 112(2) limppppnnn11limnpninin10dpxxiix例例2. 用定積分表示下列極限用定積分表示下列極限:11(1) lim1

11、nniinn112(2) limppppnnn解解:11(1) lim1nniinn11lim1nniinniix101dx xOx11inin目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義定積分的定義 乘積和式的極限乘積和式的極限( )dbaf xx 01lim()niiifx( )0,( )dbaf xf xxA曲邊梯形面積曲邊梯形面積21( )dTTsv tt( )dCC xx直線運(yùn)動(dòng)物體的路程直線運(yùn)動(dòng)物體的路程總成本總成本2. 定積分的意義定積分的意義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4、可積的充分條件、可積的充分條件:定理定理1.( ) , f xa b函數(shù)在上連續(xù)( ) , .f xa b在可積定理定理2.( ) , ,f xa b函數(shù)在上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且只有有