函數(shù)奇偶性專題復(fù)習(xí)

1、函數(shù)的奇偶性專題復(fù)習(xí)一、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義定義說明：對于函數(shù)f ( x) 的定義域內(nèi)任意一個(gè) x ： f (x)f (x)f ( x) 是偶函數(shù)； f (x)f (x)f ( x) 奇函數(shù)；函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要不充分條件。二、函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個(gè)x 都必須成立；可逆性： f (x)f (x)f (x) 是偶函數(shù)； f (x)f ( x)f ( x) 是奇函數(shù)；等價(jià)性： f (x)f ( x)f (x) f ( x)0 ；f ( x)f ( x)f ( x)f (x)0

2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y 軸對稱；三、函數(shù)的奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性大致有下列兩種方法：第一種方法：利用奇、偶函數(shù)的定義，考查f ( x) 是否與f ( x) 、 f ( x)相等，判斷步驟如下：定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；數(shù)量關(guān)系 f ( x)f ( x) 哪個(gè)成立；例 1：判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性（ 1） f (x)x32x（ ）2x43x2（ ）x 3x22 f ( x)3 f ( x)x1（ 4）f ( x)x2x1,2（5） f (x)x211x2（ ） f ( x) lg x2lg16x2 .例 2：判斷函數(shù) f ( x)x2( x0)的奇偶性。x2( x0

3、)第二種方法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及下列準(zhǔn)則 （前提條件為兩個(gè)函數(shù)的定義域交集不為空集）：兩個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的和既不非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。四、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的6個(gè)結(jié)論.結(jié)論 1函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件。結(jié)論 2兩個(gè)奇函數(shù)的和仍是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍是偶函數(shù)。結(jié)論 3f ( x) 是任意函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么f ( x ) 是偶函數(shù)。結(jié)論 4函數(shù) f (x)f (x) 是偶函數(shù)，函數(shù)f ( x)f (x) 是奇函數(shù)

4、。1 / 5結(jié)論 5已知函數(shù)f ( x) 是奇函數(shù)，且f (0) 有定義，則f ( 0)0 。結(jié)論 6已知 f ( x) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)，方程f ( x)0 有實(shí)根，那么方程f ( x)0 的所有實(shí)根之和為零；若 f ( x) 是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，則方程f ( x)0 有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。五、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用（各種類型題）1.利用定義解題例 1：已知 f ( x) a1為奇函數(shù)，則 a_。2x1已知 f (x)x21為偶函數(shù)，則 a_。(3x2)(xa)2.利用奇偶性，求函數(shù)值例 2：（ 1）已知 f (x)x5ax3bx8 且 f ( 2) 10 ，求 f ( 2)的值3.利用奇偶

5、性比較大小例 3（1）已知奇函數(shù) f(x) 在 R 為減函數(shù)，比較 f (5) ， f(1) ， f (3) 的大小。（2）已知函數(shù) yf x是 R 上的偶函數(shù)，且 fx 在 0,上是減函數(shù)，若 f af2 ，求 a 的取值范圍 .*（ ）定義域?yàn)镽的函數(shù) fx 在 8,上為減函數(shù)，且函數(shù) yf x 8 為3偶函數(shù)，則 ()A.f 6f 7B.f 6f 9C. f 7f 9D.f 7f 104.利用奇偶性求解析式例 4：（1）已知 f ( x) 為偶函數(shù)， 當(dāng) 0x1時(shí), f (x)1 x,當(dāng)1x0時(shí) ，求 f ( x)解析式？（2）已知 f ( x) 為奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí) , f ( x)

6、 x22x ，當(dāng) x0時(shí)，求 f ( x) 解析式？5.利用奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)性3是偶函數(shù)，討論函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間？例 5：若( )(k2)x2(k3)xf x6.利用奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性例 6：已知 f ( x)ax3bx2cx( a0) 是偶函數(shù)，判斷g( x)ax3bx2cx 的奇偶性。7.利用奇偶性求參數(shù)的值2 / 5例 7：（ 1 ） 定 義 R 上 的 偶 函 數(shù) f ( x)在 (,0)單調(diào)遞減，若f (2a2a 1)f (3a22a 1) 恒成立，求 a 的范圍 .（ 2 ） 定 義 R 上 單 調(diào) 遞 減 的 奇 函 數(shù) f ( x) 滿 足 對 任 意 t R

7、 ， 若22t ) f (2 t20 恒成立，求 k 的范圍 .f ( tk )8.利用圖像解題例 8：（1）設(shè)奇函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?-5,5. 若當(dāng)x0,5 時(shí),f(x) 的圖象如右圖 ,則不等式 f x0 的解是.（2）若函數(shù) f ( x) 在 (,0) (0,) 上為奇函數(shù)，且在 (0,)上單 調(diào)遞 增 , f ( 2)0,則不等式x f( x) 0的解集為.9.利用性質(zhì)選圖像10 ，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)的圖像形狀大例 9：（1）設(shè) a 1，實(shí)數(shù) x, y 滿足 | x | log ay致是（）奇性題練A yexe x（2）函數(shù)yex e x10xB yCyD y的圖象大致為1

8、0010xx1x 偶專訓(xùn)1.已知函數(shù) （fx） ax2 bxc（ a0）是偶函數(shù)，那么 g（x） ax3 bx2 cx（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既奇又偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)2.已知函數(shù)f（ x） ax2bx 3ab 是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1，2a，則（）A a1 ，b0Ba 1，b0C a 1， b 0Da3，b033.如果定義在區(qū)間 3a,5 上的函數(shù) f ( x) 為奇函數(shù)，則 a =若（）x2 2mx3 是偶函數(shù)，則 m _4.ym15.若 f (x)2 x2x lg a 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a3 / 56.函數(shù) y ax2bx c 是偶函數(shù)的條件是已知f（x） x5ax3bx8，且 f（ 2

9、） 10，那么 f（2）等于（）7.A26B 18C 10D108.已知函數(shù) f ( x)lg 1x .若 f (a)b.則 f ( a)1xAbB bC 1D 1bb9.若函數(shù) f ( x) 是定義在 R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F (x) f (x)f ( x ) 的圖象關(guān)于（）A.x 軸對稱B.y 軸對稱C. 原點(diǎn)對稱D. 以上均不對10.已知函數(shù) yf ( x) 在 R 是奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)， f (x)x22x ，則 x0 時(shí)，f ( x) 的解析式為 _11.下列四個(gè)函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域上不是單調(diào)函數(shù)的是（）A y x3B yxC y1D y ( 1 )xx212.若函數(shù) f (

10、 x)( x 1)( xa)a（）x為奇函數(shù)，則A 1B 0C 1D 213.設(shè)函數(shù)f ( x), g( x) 的定義域?yàn)?R ，且 f ( x) 是奇函數(shù)， g( x) 是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A f (x) g(x) 是偶函數(shù)B | f (x) | g(x) 是奇函數(shù)C f ( x) | g( x) | 是奇函數(shù)D | f ( x) g (x) | 是奇函數(shù)14.定義在 1，1上 的 函 數(shù) y f ( x) 是 減 函 數(shù) ， 且 是 奇 函 數(shù) ， 若f (a 2a1) f ( 4a5)0 ，求實(shí)數(shù) a 的范圍。15設(shè)定義在 2， 2上的偶函數(shù) f（x）在區(qū)間 0，2上單調(diào)遞減，若 f（ 1 m） f（ m），求實(shí)數(shù) m 的取值范圍16. 若 f（ x）是定義在（ ，5 5，）上的奇函數(shù)，且 f（x）在5， ）上單調(diào)遞減，試判斷f（ x）在（ ， 5上的單調(diào)性，并用定義給予證明17.設(shè)函數(shù) yf（ x）（xR 且 x0）對任意非零實(shí)數(shù)x、y 滿足 f（ x·y） f（x）4 / 5f（y），求