分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法

1、分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法【專題解析】我們知道，分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算是這樣的：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，應(yīng)該分子乘分子，分母乘分母（當(dāng)然能約分的最好先約分在計(jì)算）。分?jǐn)?shù)乘法中有許多十分有趣的現(xiàn)象與技巧，它主要通過些運(yùn)算定律、性質(zhì)和一些技巧性的方法，達(dá)到計(jì)算正確而迅速的目的。1、運(yùn)用運(yùn)算定律：這里主要指乘法分配律的應(yīng)用。對(duì)于乘法算式中有因數(shù)可以湊整時(shí)，一定要仔細(xì)分析另一個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)，盡量進(jìn)行變換拆分，從而使用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算。2、充分約分：除了把公因數(shù)約簡外，對(duì)于分子、分母中含有的公因式，也可直接約簡為1。進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字特點(diǎn)，合理進(jìn)行簡算。需要注意的是參加運(yùn)算的數(shù)必須變形而

2、不變質(zhì)，當(dāng)變成符合運(yùn)算定律的形式時(shí)，才能使計(jì)算既對(duì)又快。【典型例題】乘法分配律的妙用例 1計(jì)算： （1） 44 × 37（ 2） 2004× 67452003分析與解： 觀察這兩道題的數(shù)字特點(diǎn)，第（ 1）題中的 44 與 1 只相差 1 個(gè)分?jǐn)?shù)單位， 如果把 44寫成（ 1 44 ）454545的差與 37 相乘，再運(yùn)用乘法分配律可以使計(jì)算簡便。同樣，第（ 2）題中可以把整數(shù)672004 寫成（ 2003+1）的和與2003相乘，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比較簡便?！九e一反三】計(jì)算： （1） 43 × 37（2） 56× 37（3） 56× 5644

3、5757例 2計(jì)算： （1） 724 ×17（2）731 × 11724158分析與解： （ 1）724 把改寫成 (72+4) ，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡便得多。（2）731 把171715改寫成 (72 + 16 ) ，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡便得多。15【舉一反三】計(jì)算： （ 1） 204× 7（ 2）166×13（3） 57 3×1（4） 641 × 17101332138179【小試牛刀】計(jì)算： （ 1） 28 ×37（ 2） 13 ×2829291 / 6【典型例題】乘法交換

4、律的巧用例 3. 計(jì)算： （1） 5× 3 7×55×4（2） 1×39 +3×25 +26× 327827122427444135分析與解： （ 1）觀察題目的特點(diǎn)，分子中都有5，分母中都有 27，根據(jù)乘法的交換律，湊出，就可以應(yīng)用27乘法分配律使計(jì)算簡便。（ 2）觀察題目的特點(diǎn)，1 ×39可以寫成3 ×13， 26 ×3 可以寫成3×26，這樣44413413每個(gè)因數(shù)中都含有3 ，就可以運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡便。4【舉一反三】計(jì)算： （1） 1× 49×1（2） 1

5、15;5 5× 45×61371371769171817（3） 1 ×39 + 3 ×27（4） 5 ×17 +1 ×25441111【典型例題】有關(guān)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)乘法的巧算例 4.計(jì)算： 411 × 0.75 51.25 × 4 5× 61.235614 ）后可以與3 應(yīng)用乘法分配律分析與解： 先把題中的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再觀察題目的特點(diǎn)，41寫成（ 40+334直接就算出了結(jié)果，后兩個(gè)算式同樣可以應(yīng)用這個(gè)方法，從而使計(jì)算簡便?！九e一反三】計(jì)算： （1） 21.25 × 4 31.2 

6、5; 5 46.125 × 8（2）85 1 ×0.375 71 1 × 6 56.25 ×0.8569367一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和【專題解析】細(xì)心觀察、善于總結(jié)的同學(xué)，在學(xué)習(xí)中可能發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：如果分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母是相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)。（這種方法稱為“裂項(xiàng)法”）2 / 6如：1 1 1；21 1 1 ；3111；41 1 1； 1212323434545我們可以利用分?jǐn)?shù)的這一性質(zhì)，使看似復(fù)雜的題目簡單化?！镜湫屠}】例 1計(jì)算：1+1+1

7、1+123+ +484950123449分析與解： 這道題如果按照常規(guī)方法先通分再求和，計(jì)算起來很繁雜，甚至難以做到。但是如果巧妙地對(duì)算式變形，就可以使繁雜的計(jì)算簡便。【舉一反三】計(jì)算： （ 1）1+1+11+123+ +181920123419（ 2）1+111+112+13+ +200820092010111213142009例 2計(jì)算： 11116+12202450分析與解： 上面這道題中的每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，但分母并不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積，該怎么辦呢？仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)的分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)：6 2× 3 , 12 3× 4 , 20 4× 5 ， ，24504

8、9× 50。這樣，上面算式中分?jǐn)?shù)的分母也可以寫成相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式。【舉一反三】計(jì)算： （3） 1+1+1+1+ +1（4） 1+1+1+ +1+126122090203042132156例 3. 計(jì)算：4+4+4459+ +2001200515913分析與解： 這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都可以寫成不相鄰的兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式，分子是這兩個(gè)自然數(shù)的差。這樣每一個(gè)分?jǐn)?shù)也都可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式，寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是原分?jǐn)?shù)中分母上的兩個(gè)自然數(shù)。如：4 1 1 ；49 11等等。15155593 / 6【舉一反三】計(jì)算： （5）5+5+5+ +571217102

9、271297（6 ）3+3+3+ +358113525832例 4. 計(jì)算：1+1+1+ +1159132001200559分析與解： 是不是覺得本題和例3 有些相似，但又不完全一樣？例3 中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是4（兩個(gè)自然數(shù)的差），而這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，可以直接將每一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式嗎？該怎么計(jì)算呢？這就啟發(fā)我們思考，能否將每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子也變成兩個(gè)自然數(shù)的差呢？利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是完全可以的。所以給原題乘4，為了使原題的值不變，然后再除以4.【舉一反三】計(jì)算：（ 7）1+1+1+ +1（ 8 ）1+1+1+ +1712171021015204527129751015404 / 6例 5. 計(jì)算：1+1+1+ +1122323423450111分析與解： 先算出每一個(gè)分?jǐn)?shù)中的分母，再仔細(xì)觀察每一個(gè)分?jǐn)?shù)，找出規(guī)律然后計(jì)算?！九e一反三】計(jì)算： （ 9）1+1+1+ +1223234234201111（10）1+1+1+ +12232