初中數(shù)學(xué)專題-十字相乘法進(jìn)行因式分解

1、初中數(shù)學(xué)專題-十字相乘法進(jìn)行因式分解【基礎(chǔ)知識(shí)精講】(1) 理解二次三項(xiàng)式的意義;(2) 理解十字相乘法的根據(jù);(3) 能用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式；(4) 重點(diǎn)是掌握十字相乘法，難點(diǎn)是首項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1. 二次三項(xiàng)式多項(xiàng)式ax2 bx c ,稱為字母x的二次三項(xiàng)式，其中 ax2稱為二次項(xiàng)，bx為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng).例 如，x2 2x 3和x2 5x 6都是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.在多項(xiàng)式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式；如果把 x看作常數(shù)，就是 關(guān)于y的二次三項(xiàng)式.在多項(xiàng)式2a2b2 7ab 3中，把a(bǔ)b看作一個(gè)整體，即2

2、(ab)2 7(ab) 3，就是關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式.同 樣，多項(xiàng)式(x y)2 7(x y) 12，把x+ y看作一個(gè)整體，就是關(guān)于x+ y的二次三項(xiàng)式.十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法.2. 十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用(ax+ b)(cx+ d)豎式乘法法則.它的一般規(guī)律是：(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式x2 px q，如果能把常數(shù)項(xiàng) q分解成兩個(gè)因數(shù)a, b的積，并且a + b為一次項(xiàng)系數(shù)p,那么它就可以運(yùn)用公式2x (a b)x ab (x a)(x b)分解因式.這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”.公式中的x可以表示單項(xiàng)式，

3、也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為 負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.2(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是 1的二次三項(xiàng)式ax bx c(a, b, c都是整數(shù)且0)來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)ai, a?, Ci, C2，使 ai a?a ， cic2 c，且 ai c2a2cib ，那么 ax2 bx ca1a2x2 (a1c2 a2G)xc1c2(a1xci)(a2x c2)它的特征是"拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的情況復(fù)雜，因此，

4、一般要借助“畫(huà)十字交叉線”的辦法來(lái)確定學(xué)習(xí)時(shí)要注意符號(hào)的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號(hào)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母如：2 25x 6xy 8y (x 2)( 5 x 4)3 因式分解一般要遵循的步驟多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公

5、因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對(duì)于一個(gè)還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式”【典型熱點(diǎn)考題】例1把下列各式分解因式：(1) x2 2x 15 ； (2) x2 5xy 6y2 .點(diǎn)悟：(1 )常數(shù)項(xiàng)15可分為3 X ( 5)，且3 + (-5) =- 2恰為一次項(xiàng)系數(shù)；(2)將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng) 6y2可分為(2y)( 3y)，而(2y) + ( 3y)=(5y)恰為一次項(xiàng)系數(shù).解：(1) x2 2x 15 (x

6、 3)( x 5)；(2) x2 5xy 6y2 (x 2y)(x 3y) 例2把下列各式分解因式：點(diǎn)悟：我們要把多項(xiàng)式ax2 bxc分解成形如(ax1G)(ax2c2)的形式，這里a1a2a ,c1c2c而C2a? C解: (1) 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3)；(2) 3x2 8x 3(3x1)( x 3).點(diǎn)撥：二次項(xiàng)系數(shù)不等于1的二次三項(xiàng)式應(yīng)用十字相乘法分解時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)的分解和常數(shù)項(xiàng)的分解隨機(jī)性較大，往往要試驗(yàn)多次，這是用十字相乘法分解的難點(diǎn)，要適當(dāng)增加練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，才能提高速度和準(zhǔn)確性.例3把下列各式分解因式：(1)x410x29 -(2)7(x y)35(x y)2

7、2(x y)；(3)(a2 8a)222( a28a) 120 .點(diǎn)悟:2(1 )把 x看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于2x的二次三項(xiàng)式；(2)提取公因式(x+ y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x+ y)的二次三項(xiàng)式(3)以(a8a)為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(a8a)的二次三項(xiàng)式.解: ( 1)x4 10x2 9 (x2 1)(x2 9)=(x+ 1)(x 1)(x+ 3)(x 3).(2)7(x y)3 5(x y)2 2( x y)(x2y)7(x y) 5(x y)2=(x+ y)(x+ y) 17(x + y) + 2=(x+ y)(x+ y 1)(7x+ 7y + 2).(3) (a2 8a)2 22

8、(a2 8a) 120(a2 8a 12)(a2 8a 10)2(a 2)(a 6)(a8a 10)3點(diǎn)撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu) 成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再 分解為止.例 4 分解因式：(x2 2x 3)( x2 2x 24) 90 .點(diǎn)悟：把x2 2x看作一個(gè)變量，利用換元法解之.解：設(shè)x2 2x y，貝U原式=(y- 3)(y-24)+ 90y227 y 162=(y- i8)(y-9)2 2(x 2x 18)(x 2x 9).點(diǎn)撥：本題中將x2 2x視

9、為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，體現(xiàn)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果此外，2y 27y 162 (y 18)( y 9) 一步，我們用了 “十字相乘法”進(jìn)行分解.例5分解因式6x4 5x3 38x2 5x 6.點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來(lái)解之.解：原式 x26(x2 匚2)5(x 丄)38xx2 1 2 1x26(x )5(x -) 50,xx1令x y，貝Vx原式 x2(6y2 5y 50)2x (2y 5)(3y 10)23x2(2x5)( 3x10)xx(2x25x22)(3x10x 3)點(diǎn)撥：本題連續(xù)應(yīng)用了 “十字相乘法”分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂.但是,個(gè)重要環(huán)

10、節(jié).(x y)的二次三項(xiàng)式.品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是-例6分解因式x2 2xy y2 5x 5y 6 .點(diǎn)悟：方法1:依次按三項(xiàng)，兩項(xiàng)，一項(xiàng)分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式.解法1：2 x2xy2y5x5y6(x22xy2y)(5x5y) 6(xy)25(xy)6(xy 1)(xy 6).解法2：2 x2xy2y5x5y62 x(2y5)x2y5y62 x(2y5)x(y6)(y 1)x(y6)x (y1)=(x y 6)(x y+ 1).例 7 分解因式：ca(c a)+ bc(b c) + ab(a b).點(diǎn)悟：先將前

11、面的兩個(gè)括號(hào)展開(kāi)，再將展開(kāi)的部分重新分組.解：ca(c a) + bc(b c) + ab(a b)2 aca2cb2cbc2ab(ab)2/c (ab)c(a2b2)ab(ab)c2(ab)c(ab)(ab) ab(a b)(ab)c2c(ab)ab=(a b)(c a)(c b).#點(diǎn)撥：因式分解，有時(shí)需要把多項(xiàng)式去括號(hào)、展開(kāi)、整理、重新分組，有時(shí)僅需要把某幾項(xiàng)展開(kāi)再分組此題展開(kāi)四項(xiàng)后，根據(jù)字母 c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含a-b的因式，從而能提公因式隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c的二次三項(xiàng)式能再次分解.例8已知x4 6x2 x 12有一個(gè)因式是x2 ax 4，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式.點(diǎn)悟：因?yàn)閤4

12、6x2 x 12是四次多項(xiàng)式，有一個(gè)因式是x2 ax 4，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原則可知道另一個(gè)因式是x2 bx 3(a、b是待定常數(shù))，故有x4 6x2 x 12 (x2 ax 4) (x2 bx 3) 根據(jù)此 恒等關(guān)系式，可求出 a, b的值.解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為x2 bx 3，則42x 6x x 12(x2 ax 4)( x2 bx 3)432x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12 , x4 6x2 x 12與x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12是同一個(gè)多項(xiàng)式，所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng) 系數(shù)分別相等即有口+b - Q* 3十4十心心=6,由、解得，a =

13、 1, b= 1,代入，等式成立. a= 1,另一個(gè)因式為x2 x 3.點(diǎn)撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方 法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用希望讀者不可輕視.【易錯(cuò)例題分析】例 9 分解因式：5a2b2 23aby 10y2.錯(cuò)解：/ 10= 5X ( 2), 5 = 1X 5,5X 5 + 1X ( 2) = 23,7原式=(5ab+ 5y)( - 2ab+ 5y).警示：錯(cuò)在沒(méi)有掌握十字相乘法的含義和步驟.正解：/ 5 = 1X 5, 10= 5X ( 2),5 X 5+ 1X (- 2)= 23.原式=(ab + 5y)(5a

14、b- 2y).【同步練習(xí)】、選擇題如果xpx q (xa)(xb），那么p等于abB. a+ bC. abD . (a+ b)2.r e2如果x(a b) x 5bx 30，則b為B. 6C. 53.多項(xiàng)式x2 3x a可分解為(x 5)(x b),則a,的值分別為A. 10 和一2B. 10 和 2C. 10 和D . 10 和一2不能用十字相乘法分解的是B . 3x210x23x/2小4x x 22D . 5x6xy8y2分解結(jié)果等于（x+ y 4）（2x+ 2y 5）的多項(xiàng)式是A . 2(xy)213(x y) 20(2x2y)213(x y) 202(xy)213(x y) 202(x

15、y)29(x y) 20將下述多項(xiàng)式分解后，有相同因式x 1的多項(xiàng)式有x2 7x3x22x 1 ;2 x 5x 6; 4x2 5x 15x223x 8 ； x411x212二、填空題1327. x 3x 102LC8. m 5m 6 (m+ a)(m + b).29. 2x 5x 3 (x- 3)().2c210. x 2y(x- y)().11. a a () ().m12 .當(dāng)k=時(shí)，多項(xiàng)式3x2 7x k有一個(gè)因式為().13 .若x-y= 6, xy 一，則代數(shù)式x3y 2x2y2 xy3的值為36三、解答題14 .把下列各式分解因式：(1) x4 7x2 6 ；42(2) x 5x

16、36;/、6 刁 3 3 ci 6(4) a 7a b 8b ；4224(3) 4x 65x y 16y ；(5) 6a4 5a3 4a2;64 22. 4(6) 4a 37a b 9a b .15 .把下列各式分解因式:2 2 2 2 2(1)(x3)4x ； (2) x(x 2) 9；(3) (3x 2x 1)(2x3x 3);(4) (x2x)217(x2x)60 ；(5) (x22x)27(x22x)8 ；(6) (2ab)214(2ab)48.16 .把下列各式分解因式：(1) (a b)x2 2ax a b ；(2) x2 (p2 q2)x pq(p q)(p q)；(3) x2

17、2xy 3y2 2x 10y 8 ；(4) 4x2 4xy 3y2 4x 10y 3 ；(5) (x2 3x 2)(x2 7x 12) 120 ；(6) (x2 xy y2)(x2 xy 2y2) 12y4 .17已知2x3 7x219x 60有因式2x-5,把它分解因式.3318 .已知 x+ y= 2, xy= a+ 4, x y 26，求 a 的值.參考答案【同步練習(xí)】1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C7. (x+ 5)(x-2) 8. 1 或一6, - 6 或 1 9. 2x + 12nn10. xy, x+ 2y 11.2，a,-4m2m12 . - 2,

18、3x+ 1 或 x+ 213 . 1714. (1)原式(x21)(x26)(x1)(x1)(x26)(2)原式(x29)(x2 4)(x3)( x3)(x24)(3)原式(4x2y2)(x216y2)(2x y)(2x y)(x 4y)(x 4y)(4) 原式(a3 8b3)(a3 b3)(a 2b)(a2 2ab 4b2)(a b)(a2 ab b2)(5) 原式 a2(6a2 5a 4)a2(2a 1)(3a 4)(6) 原式 a2 (4a437a2b2 9b4)2 2 2 2 2a (4a b )(a 9b )2a (2a b)(2a b)(a 3b)(a 3b)2215. (1)原式(x 3 2x)(x3 2x)(x 3)(x 1)(x 3)(x 1)(2) 原式x(x 2)3x(x 2)32 2(x 2x 3)( x 2x 3)2(x 3)( x 1)( x 2x 3)(3) 原式(3x2 2x 1 2x2 3x 3) (3x2 2x 1 2x2 3x 3)2(5x 5x 4)( x 2)( x 1)(4) 原式(x2 x 12)(x2 x 5)2(x 4)(x 3)( x x 5)(5) 原式(x2 2x 8)(x2 2x 1)2(x 2)(x 4)(x