利用最小二乘法的曲線擬合

1、2021/8/61 第第3章章 函數逼近函數逼近3.13.1曲線擬合的曲線擬合的最小二乘法最小二乘法2021/8/623.1 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法問題的提出問題的提出 某種合成纖維的強度與其拉伸倍數有直接關系，某種合成纖維的強度與其拉伸倍數有直接關系，下表是實際測定的下表是實際測定的2424個纖維樣品的強度與相應個纖維樣品的強度與相應拉伸倍數的記錄。拉伸倍數的記錄。 提示：將拉伸倍數作為提示：將拉伸倍數作為x, x, 強度作為強度作為y,y,在座標在座標紙上標出各點，可以紙上標出各點，可以發(fā)現什么發(fā)現什么? ?2021/8/63數據表格數據表格2021/8/64數據圖數據圖

2、2021/8/65曲線擬合曲線擬合 已知的離散數據已知的離散數據yi=f(xi) (i=0,1,2, ,n)往往是往往是通過觀測而得到的，經常帶有觀測誤差。通過觀測而得到的，經常帶有觀測誤差。 曲線擬合：希望找到曲線擬合：希望找到條曲線，它既能反映條曲線，它既能反映結定數據的總體分布形式，又不致于出現局部較結定數據的總體分布形式，又不致于出現局部較大的波動。這種逼近方式只要所構造的逼近函大的波動。這種逼近方式只要所構造的逼近函數數 (x)與被逼近函數與被逼近函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上的偏差滿上的偏差滿足其種要求即可。足其種要求即可。2021/8/66偏差偏差 設給定數據點設給定數據點

3、 (xi,yi), (i=0,1,2, ,n),記記), 2 , 1 , 0()(niyxeiii并稱并稱ei為為偏差偏差。2021/8/67最小二乘法最小二乘法曲線擬合的最小二乘法：以使得曲線擬合的最小二乘法：以使得偏差的平方和偏差的平方和最小為標準最小為標準min)()(0202niiiiniiyxxweEmjjjxax0)()(2021/8/68例題例題例例3.1 某合金成分某合金成分x與膨脹系數與膨脹系數y之間的關系有之間的關系有如下實驗數據，求膨脹系數如下實驗數據，求膨脹系數y與成分與成分x的擬合曲的擬合曲線線y=P(x)。i0123456x37383940414243y3.40 3

4、.00 2.101.531.801.902.902021/8/69例題例題解解 將數據標在坐標紙上，由散點圖可以將數據標在坐標紙上，由散點圖可以推斷他們大致分布在一條拋物線上。為推斷他們大致分布在一條拋物線上。為此取此取22102)(xaxaaxp2021/8/610例題例題2.9043431.9042421.8041411.5340402.1039933.0038383.4037372210221022102210221022102210aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2021/8/611例題例題2.901.901.801.532.103.003.40434314242141411

5、404013939138381373712102222222aaa2021/8/612例題例題得到的方程組稱為得到的方程組稱為矛盾方程組矛盾方程組。令。令22202122223.40137373.00138382.1013939,1.53140401.80141411.90142422.9014343aAwaba2021/8/613例題例題得得bAw 上述方程組稱為上述方程組稱為矛盾方程組矛盾方程組。兩邊同乘以。兩邊同乘以bAAwATTTA即即2021/8/614例題例題2 .263682 .66163.161818899645136011228451360112282801122828072

6、10aaa解得解得163. 0,171.13,010.268210aaa于是所求擬合曲線為于是所求擬合曲線為22163. 0171.13010.268)(xxxp2021/8/615線性矛盾方程組線性矛盾方程組方程個數方程個數大于大于未知量個數的方程組稱為矛盾方程未知量個數的方程組稱為矛盾方程組，一般形式為組，一般形式為nmnmnnmmbxaxaxabxaxaxa221111212111即即2021/8/616線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)） Axb A是是 n m階的列滿秩矩陣階的列滿秩矩陣, x是是 m維維的列向量的列向量, b是是 n維的列向量維的列向量, min2222Axbe

7、eeTAxbe剩余向量剩余向量（3.11）（3.12）2021/8/617線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)）Ax)(bAx)(beeTT02)(Ax)(bAeeTTdxd0Ax)(bAT2021/8/618線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)）0bAAxATT)13. 3( bAAxATT該式稱為方程組該式稱為方程組Axb 的法方程。因此，求解的法方程。因此，求解n階矛盾階矛盾方程組的問題轉化求解方程組的問題轉化求解m階線性方程組階線性方程組的問題。的問題。2021/8/619例題例題例例3.2 對例對例3.2中的數據，試求形如中的數據，試求形如xaxaax10cos5sin)(210

8、的擬合函數。的擬合函數。解：按題意，得矛盾方程組，解：按題意，得矛盾方程組，6 ,2 , 1 , 0)10cos()5sin(210iyxaxaaiii2021/8/620例題例題2.901.901.801.532.103.003.4043)10cos(43)5sin(142)10cos(42)5sin(141)10cos(41)5sin(140)10cos(40)5sin(139)10cos(39)5sin(138)10cos(38)5sin(137)10cos(37)5sin(1210aaa2021/8/621例題例題寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為yAw其中其中 266211200111

9、xxxxxxA310yyyy210aaaw2021/8/622例題例題其法方程為其法方程為即即yAAwATT9064.126980. 16300.168090. 40 . 06957. 50 . 03090. 40 . 06957. 50 . 07210aaa2021/8/623例題例題23解出解出581. 3,394. 0,289. 5210aaa因此所求的擬合函數為因此所求的擬合函數為xxx10cos581. 35sin394. 0289. 5)(2021/8/624例題例題例例3.3 已知觀測數據已知觀測數據(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，試用最小二乘法求形如試用最小二

10、乘法求形如上的經驗公式上的經驗公式。xbaxx)(2021/8/625例題例題25解：記解：記按題意，得矛盾方程組，按題意，得矛盾方程組，寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為; 6, 5; 5, 4; 0, 2; 5, 133221100yxyxyxyx)3 , 2 , 1 , 0( iyxbaxiii2021/8/626例題例題寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為yAw其中其中 33221100/1/1/1/1xxxxxxxxA3210yyyyybaw2021/8/627例題例題其法方程為其法方程為即即yAAwATT27其法方程為其法方程為即即解得解得 于是所求擬合曲線為于是所求擬合曲線為55. 2

11、453525. 14446ba432976311. 6537650114. 1baxxy/432976. 6537650. 12021/8/628已知觀測數據已知觀測數據(1，5)，(2，21)，(3，46)，試用最小二乘法求形如，試用最小二乘法求形如上的經驗公式上的經驗公式。非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合baxy 2021/8/629非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合bbbaaa34622115得到的是非線性方程組，求解通常得到的是非線性方程組，求解通常比較困難。比較困難。2021/8/630非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合baxy 兩邊取對數，得兩邊取對數，得bzAwxzaAy

12、wxbay,lg,lg,lglglglg則得則得令令（1）2021/8/631非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合兩邊取自然對數，得兩邊取自然對數，得令令則得則得bxaey bxay lnlnbzAwxzaAyw,ln,ln（2）2021/8/632非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合（續(xù)）（3）xaby 兩邊取對數，得兩邊取對數，得BzAwxzbBaAywbxay,lg,lg,lglglglg則得則得令令2021/8/633非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合（續(xù)）baxy1令令則得則得,/1xzywbazw（4 4）2021/8/634非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合

13、（續(xù)）（5）baxxy,/1,/1xzyw令令則得則得bzaw2021/8/635例題例題例例3.4 給定實驗數據給定實驗數據 x1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 y5.10 5.79 6.53 7.45 8.46試求形如試求形如bxaey 的擬合函數。的擬合函數。2021/8/636例題例題解解 對擬合函數的兩邊取自然對數，即對擬合函數的兩邊取自然對數，即bxay lnln令令則上式則上式 成為關于成為關于A，b的線性函數的線性函數,ln,lnxzaAywbzAw2021/8/637例題例題根據數據根據數據(x , y) 算出對應的算出對應的(z , w) , 得下表得下表 z1.001.251.501.752.00 w1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353建立法方程建立法方程4239.144052. 9875.115 . 75 . 75bA2021/8/638例題例題解得解得0725. 3,5057. 0