復(fù)習(xí)4三角函數(shù)復(fù)習(xí)

1、v1.0 可編輯可修改三角函數(shù)基礎(chǔ)知識1、 角的概念的推廣 ： 平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角， 按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角， 一條射線沒有 作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念 ：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限， 就說這個角是第幾象限的角。 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就 認(rèn)為這個角不屬于任何象限。3. 終邊相同的角的表示 ： 終邊與 終邊相同 2k （k Z）注意 ：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等 .

2、如 與角 1825 的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是，合弧度。4、 與 2 的終邊關(guān)系 ：由“兩等分各象限、一二三四”確定如若 是第二象限角，則 是第 象限角25. 弧度制： 1 弧度（1rad） 57.3 rad 180o弧長公式 ：l | |R 扇形面積公式 ： S 12lR 21 | | R2 如 已知扇形 AOB的周長是 6cm，該扇形的中心角是 1 弧度，求該扇形的面積。6、任意角的三角函數(shù)的定義 ：設(shè) 是任意一個角， P（x,y） 是 的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原 點(diǎn) ）， 它 與 原 點(diǎn) 的 距 離 是 rx2 y2 0 ， 那 么 siny,cosx ，rrtan y, x

3、0 。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)。x如（1）已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P（5m，12m） （m<0） ，則 sincos 的值為（2）若 y |sin | cos tan ，則此函數(shù)的值域?yàn)閟in |cos | tanx7.三角函數(shù)線的特征 是：正弦線 MP“站在 x 軸上（起點(diǎn)在 x 軸上）”、 （起點(diǎn)是原點(diǎn) ） ”、正切線 AT“站在點(diǎn) A（1,0） 處（起點(diǎn)是 A）”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式如（ 1）若80 ，則 sin ,cos ,tan 的大小關(guān)系為2） 若 為銳角，則 ,sin ,tan 的大小關(guān)系為8. 特殊角的三角函

4、數(shù)值30°45°60°0°90°180°270°15°75°sincostan9. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的 主要應(yīng)用 是：已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號。如（1）若 0 2x 2，則使 1 sin2 2xcos2x 成立的 x 的取值范圍是2）是第四象限角，sin3）已知已知sinmtanm35，cos5）已知A、tan 1sin 200

5、a1 a21，則 sinsin2m 1， cos 4m 4 2m m 5 (2 3cos1 3m , 則 m 的值是4m) ，則 tancos2sinsincos2a ，則 tan160aB、 1 a2等于C、D、1 a256)已知 f (cos x)cos3x ，則 f (sin 30 )的值為 k10. 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（ ）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對 k 而言，指 k 取奇數(shù)或 2偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把 看成是銳角） . 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的 三角函數(shù)值，其一般步驟： （ 1）負(fù)角變正角，再寫成 2k + , 0 2 ；（2） 轉(zhuǎn)化為銳 角三角函數(shù)。sinsincos

6、cossin令sin22sincoscoscoscossinsin令cos22 cos2 sin11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式如(1) cos9tan( 7 )46sin21 的值為2) 已知 sin(540)4 ，則 cos( 270 )53）若 為第二象限角，則sin(180tan(1802) cos( 360 )2222cos21 1 2sin 2tantantan1 tan tan2 cos1+cos22sin 2 1 cos2tan2如（ 1）下列各式中，值為2tan1 tan211 的是 (2A 、 sin15 cos15B、 cos2122sin12C、tan

7、22.52tan2 22.5D、1 cos302)命題 P： tan( A B )0 ，命題 Q：tanAtanB0，則 P是 Q的（） 條件A、充要B 、充分不必要D、3）已知 sin（)cos cos(C、必要不充分3）sin ，那么 cos25既不充分也不必要的值為a 3 ，乙求得的結(jié)1 3a4) sin110 sin830 的值是（5） 已知 tan1100 a，求 tan 50 0的值（用 a 表示）甲求得的結(jié)果是果是 1 a ，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是 2a12. 三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路 是：一角二名三形四冪。即首先 觀察角與角之間的關(guān)系，注意角

8、的一些常用變式， 角的變換是三角函數(shù)變換的核心！ 第二 看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。 基本的技巧有 :1）巧變角（湊角） （已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的v1.0 可編輯可修改變換、兩角與其和差角的變換 . 如），2()() ，2 (），2 2 等，具體看題意）如（ 1）已知 tan（) 2， tan(54)2）已知 0，且 cos(1，那么4)129tan(4）的值是sin( 2 )2，3，則 cos()=3）已知 , 為銳角， sin x,cosy ， cos(335，則y與 x的函數(shù)關(guān)系為(2)三角函數(shù)名互化 （ 化切為弦，

9、化弦為切 ）形是(2)(3)(2)已知 sin cos1 cos21,tan( )公式變形使用 （ tan1）已知 A、B 為銳角，設(shè) ABC 中， tan A三角形（4） 三角函數(shù)次數(shù)的降升tan2 ，求 tan(3tan1 tan）的值tan 。且滿足 tan Atan B tanA tanB 1，則cos(A B) 3tanB 33tan Atan B， sin Acos A 3 ，則此三角4(降冪公式： cos21 co2s2 ， sin21 cos2與升冪2公式： 1 cos22cos22，1 cos2 2sin ) 。1cos2 為23如 (1) 若 ( , ) ，化簡1）求值 s

10、in50 （1 3 tan10 ）282) 函數(shù) f (x) 5sinxcosx 5 3cos2 x 5 3( x R) 的單調(diào)遞增區(qū)間為v1.0 可編輯可修改（5） 式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化 （ 對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同 ） 。如（ 1）求證：1 sin1 2sin2 21 tan2；1 tan2202）求值： sin 210o（6） 常值變換主要指2 o o ocos 40 sin10 cos401”的變換 （1 sin2 x cos2 x 等），如已知 tan2 ，求 sin2sin cos 3cos2（7） 正余弦“ 三兄妹 sinx cosx、 sin xcosx ”的內(nèi)存聯(lián)系： “知一求二

11、” 如（1）若 sinx cosx t ，則 sinxcosx _ ，特別提醒 ：這里 t 2, 2 ；（2）若（0, ）,sin cos12 ，則sin x cosx1（3） sinxcosx，且 x ，則 cosx sinx8 4 22（4）角 A為 ABC的一個內(nèi)角，若 sin A cosA , 則 ABC的形狀為（）5A. 銳角三角形B. 鈍角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形13、輔助角公式中輔助角的確定 ：asinx 在的象限由 a, b 的符號確定， 角的值由 tan 如（ 1）當(dāng)函數(shù) y 2cosx 3sin x的最大值為（2）若方程 sin x 3cosx c 有

12、實(shí)數(shù)解，則bcosxa2 b2 sin x（ 其中 角所b 確定 ） 在求最值、化簡時起著重要作用。a， 最小值為c 的取值范圍是 ；3)如果 f (x) sin(x ) 3 cos(x )是奇函數(shù)，則 tan =4)求值： sin 40 o (tan 10o3) = 14、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù) y sin x 和余弦函數(shù) y cosx 圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，2,3,22的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。cosx(x R) 的性質(zhì) ：15、正弦函數(shù) y sin x（x R） 、余弦函數(shù) y3）函數(shù) f （x）

13、2cos x sin(x3)3sin2 xsin x cosx 的最小值是1）定義域： 都是 R。（2）值域：都是1,1 ，對 y sin x ，當(dāng) x2k k2Z 時， y 取最大值 1；當(dāng)x 2k 32kZ時， y 取最小值 1；對 ycosx ，當(dāng) x2k k Z 時， y 取最大值 1，當(dāng) x2kk Z 時， y 取最小值1。如（ 1）若函數(shù)ya3b sin（3x ） 的最大值為，最小值為1，則 a _ _ ， b2（2）函數(shù) f （x）sinx 3cosx( x , 22）的值域是此時 x 特別提醒 ：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎3）周期性 ： y s

14、in x 、 y cos x的最小正周期都是 2 ； f （x） Asin（ x ） 和f(x) Acos( x） 的最小正周期都是 T|x如(1) 若 f(x) sin ，則 f (1) f(2) f(3) +f (2009) 3對稱軸是直線 x k2 k Z ；余弦函數(shù)y cosx（x R） 是偶函數(shù)，對稱中心是(2)函數(shù) f (x) cos4 x 2sin xcosx sin4 x 的最小正周期為 _ _(3)設(shè)函數(shù) f(x) 2 sin( 2 x 5 ) ，若對任意 x R都有 f (x1) f(x) f(x2) 成立，則 |x1x2 |的最小值為 4）奇偶性與對稱性 ：正弦函數(shù) y

15、sin x（x R） 是奇函數(shù)，對稱中心是 k ,0 k Z ，k ,0 k Z ，對稱軸是直線 x k k Z （正（ 余） 弦型函數(shù)的對稱軸為過最高 2點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線，對稱中心為圖象與 x軸的交點(diǎn)）。5如（ 1）函數(shù) y sin 2x 的奇偶性是 _2（2）已知函數(shù) f（x） ax bsin3 x 1（a,b 為常數(shù)），且 f（5） 7，則 f（ 5） （3）函數(shù) y 2 cos x（sin x cosx） 的圖象的對稱中心和對稱軸分別是 (4) 已知 f( x) sin( x） 3 cos（ x ） 為偶函數(shù)，求 的值。（5）單調(diào)性：ysinx在 2k,2k k Z上單

16、調(diào)遞增，在222k ,2k3kZ 單調(diào)遞減； y cosx 在 2k ,2kkZ 上單調(diào)遞減，22在 2k ,2k2kZ 上單調(diào)遞增。 特別提醒 ，別忘了 kZ！16、形如 yAsin(x） 的函數(shù)：（ 1）幾個物理量 ：1A振幅； f 頻率（周期的倒數(shù)） ；x相位； 初T相；（2）函數(shù) y Asin（ x ） 表達(dá)式的確定由周期確定； 由圖象上的特殊點(diǎn)確定，A由最值確定；如 f (x) Asin( x )(A 0,0，| | ) 的圖象如圖所示，則 f (x) _ ；(3)函數(shù) y Asin( x ) 圖象的畫法 ：“五點(diǎn)法”設(shè) X x ，令 X 0， , ,3 ,2 求出相應(yīng)的 x 值，計

17、算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)， 描點(diǎn)后得出圖象； 圖象變換法：22這是作函數(shù)簡圖常用方法。( 4)函數(shù) y Asin( x ) k 的圖象與 y sin x 圖象間的關(guān)系 ： 函數(shù) y sin x 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(>0)或向右( <0)平移 | | 個單位得 y sin x 的圖象；1 函 數(shù) y sin x 圖 象 的 縱 坐 標(biāo) 不 變 ， 橫 坐 標(biāo) 變 為 原 來 的 ， 得 到 函 數(shù) y sin x 的圖象； 函 數(shù) y sin x圖 象 的 橫 坐 標(biāo) 不 變 ， 縱 坐 標(biāo) 變 為 原 來 的 A 倍 ， 得 到 函 數(shù)y Asin( x) 的圖象；函數(shù) y As

18、in( x ) 圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上k 0)或向下( k 0 )，得到 y Asin x k的圖象。要 特別注意 ，若由 y sin x 得到 y sin x的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移| | 個單位 .如(1)函數(shù) y 2sin(2 x 4) 1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng) sin x的圖象xx(2) 要得到函數(shù) y cos( ) 的圖象，只需把函數(shù) y sin 的圖象向 _ _ 平移2 4 2_ _ 個單位( 5)研究函數(shù) y Asin( x ) 性質(zhì)的方法：類比于研究 y sin x 的性質(zhì) ，只需將 y Asin( x ) 中的 x 看成 y sinx 中的 x ，但在 求

19、 y Asin( x ) 的單調(diào)區(qū) 間時，要特別注意 A 和 的符號，通過誘導(dǎo)公式先將 化正。如( 1)函數(shù) y sin( 2x) 的遞減區(qū)間是 _ 2) ylog 1 cos(234 ) 的遞減區(qū)間是 _3) 設(shè)函數(shù) f (x) Asin( x )(A 0, 0,2) 的圖象關(guān)于直線 x 2 對稱，它23的周期是 ，則 ()1A、 f ( x)的圖象過點(diǎn) (0, )C、 f (x)的圖象的一個對稱中心 是(5 ,0)52B、 f(x) 在區(qū)間 , 上是減函數(shù)12 3D、 f(x) 的最大值是 A4) 對于函數(shù) f x 2sin 2x 給出下列結(jié)論：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；圖象3關(guān)于直線 x 成軸對稱； 圖象可由函數(shù) y 2sin 2x 的圖像向左平移 個單位得到； 12 3圖像向左平移 個單位，即得到函數(shù) y 2cos 2x的圖像。其中正確結(jié)論是 _12(5)已知函數(shù) f (x) 2si