2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試真題+答案Word版可編輯

1、漢中市龍崗學校學科競賽（而中數(shù)學）聯(lián)賽一試真題編者：周鋼2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試一、填空題1 .設集合A = 2,0,1,3,集合8 =1色4.則集合8中所有元素的和為.2 .在平面直角坐標系xQy中，點A,8在拋物線），2 =4%上，滿足市麗=-4,/是拋物線的焦點,則 Sofa S we =-3 .在 AABC中，已知 sin A = lOskiBsinC, cosA = IOcosBcosC ,則 tan A 的值為.4 .已知正三棱錐尸 ABC底而邊長為1,高為也,則其內(nèi)切球半徑為.5 .設。1為實數(shù)，函數(shù)/（x） = av +滿足：對任意x£0,l,有.則的最大值

2、為.6 .從1,2,20中任取5個不同的數(shù)，其中至少有兩個是相鄰數(shù)的概率為.7 .若實數(shù)x, y滿足x 4 J7 = 2 Jx - y ,則戈的取值范圍是.8 .已知數(shù)列勺共有9項，其中卬=為=1,且對每個iw 1,2,8,均有3_w、J2,1lL/,則這樣的 % 2J數(shù)列個數(shù)為.二、解答題9 .給定正整數(shù)列心力滿足N2S_I, = 2,3,，這里S =凡+勺+- +/,證明：存在常數(shù)C>0,使得x NC-2", = 1,2,.漢中市龍崗學校學科競賽（而中數(shù)學）聯(lián)賽一試真題編者：周鋼10 .在平面直角坐標系xOy中，橢圓的方程為二十二= 1（。>>0）, 人分別為橢

3、圓的左、右頂 cr b-點，F(xiàn)rF?分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上不同于4和&的任意一點.若平面中兩個點。、R滿足041_1_尸4，QA2 ± PA2, RF, 1 PF., R5，刊2,試確定線段。R的長度與的大小關系，并給出證明.11 .求所有的正實數(shù)對（。*），使得函數(shù)/（x） = /+ 滿足：對任意實數(shù)My,有/）+/G+y）之 /M/W-7漢中市龍崗學校學科競賽（而中數(shù)學）聯(lián)賽一試真題編者：周鋼答案:1、代元素檢驗，2、一3滿足條件，故和為一5：2、hlL + yy2+4 = 0. y,y2 =-8Io= MN.MN = M3、11cosA = -cos（8 +

4、 C）= -cos8 cosc + sin BsinC =co+sin A 所以sinA = llcosA,10104'Vsin A 一 tan A = 11；cosAV = Ls-，其中r為內(nèi)切球半徑，S為表而積，根據(jù)數(shù)據(jù)可算出, 3y與&電s邛+33ix6=1病故.條4t ,2 、,1 ,，由于“ + /?< l =，J+h2+2a<l,5、一次函數(shù)區(qū)間端點取最值，故131 1a2+h2>2ah, ab<ab<-,取“二”時，a = b = -6、23232320個數(shù)選5個共有C；。種情況，5個數(shù)全不相鄰共有種情況(插空法)，故至少有兩個相鄰的

5、概率為Go 3237、0U4,20 由題意xNyNO,令? = Jr y 2 =620,故x = J+2,等式可化為/-4 = 27 ,即+(-2)2 =5 ,故機，為圓上的點，且 720，77 > 0 t 再根據(jù)幾何意義，刀為滿足等式的點(?,)到坐標原點的距離的平方，算出xe0U4,20：8、491由于-xxa 明故每一個比值在選取數(shù)值時，選-1的 2-比值個數(shù)為偶數(shù)，結合8個比值成績?yōu)?,可知選-的個數(shù)與選2的個數(shù)必相同，故整體分為 23類：全選1, 1種選法：2個1, 2個2, 4個1, C；xC：=420種;24個，4個2, C；=70種：綜上，共有1 + 420+70 = 4

6、91種選法，故由491個數(shù)列: 29、證明:“N2時，S 2 2sl等價于與之2+占+下面我們對常數(shù)C =；/用數(shù)學歸納法證明xn>C-2'當 =1 時，x. > zV. x 2 顯然成立； =2 時，%, > x. = x. x22 也成立： 1 4 121 4 1當=攵之3時，假設sNC-2人成立，有x”之王+/+ x,i可得x,+1 >x1+x2+- + x,>x1 + （C,22+C23+ + C2A）= cQ2+22 +2'+ 2*）=。2氏7 成立, 故由數(shù)學歸納法可得4之。2成立.10、證明：令C ="2_02 ,則 4（_

7、凡0）, &（a,o）, Ft（-c,o）, F2（c,o）.設尸（與，為），2（西，以），22尺（占，），其中± + . = 1（>'0。0），由。4尸4，04尸人可知， cr b.4。 4尸=（演+ «Xxo +。）+%>o=O ' &0 &尸=（七一a）C% -）+必先=。，兩式相減可得2”（占+/）=0,即$=7°,反代可解得/,所以/_%，二二：>oI .Vo ），2 _ 2 ,A2同理可解得，故|0?| = LP由于聞£（0同，所以舊對泊.I >0 ）|y（）|11、解：由題意，

8、« >0, b>0, （xy）2 +b + a（x + y）2 + h> （ax2 + bay2 + b）；取x = 0,不等式化為（“一皿），2+（26-上0恒成立，故<=取y = -X，不等式化為（一42卜4一2皿），2+（幼一2卜0恒成立，故 一力>。=（）<。< 1 ,此時，仍需滿足（a cjf衛(wèi)二）一£2二+ 2一戶之。恒成立，故一_£，+ 2一r20, a-cr） a-cra-cr化簡得2。+一240；綜上，不等式成立可推出0<。41,0<。<1,2« +一2W0：同時，由不等式可得+&+寸+0(. +”。3'2 +8)=卜_4%。+(67 - abx2 + 3,2)+ 2axy +(2b -b2)6/(at)2 + + (x +