投資分析Black-Scholes期權定價模型(共59頁).ppt

1、2021-12-261投資學投資學 第第13章章投資分析（投資分析（4）：）：Black-Scholes 期期權定價模型權定價模型2021-12-262概概 述述 Black、Scholes和和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權發(fā)現(xiàn)了看漲期權定價公式，定價公式，Scholes和和Merton也因此獲得也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎年的諾貝爾經(jīng)濟學獎 模型基本假設模型基本假設8個個無風險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變無風險利率已知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化?；?。標的股票不支付紅利標的股票不支付紅利期權為歐式期權期權為歐式期權2021-12-263無交易費用：股票市場、期權市場、資金借貸無交易

2、費用：股票市場、期權市場、資金借貸市場市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率均為無風險利率股票交易無限細分，投資者可以購買任意數(shù)量股票交易無限細分，投資者可以購買任意數(shù)量的標的股票的標的股票對賣空沒有任何限制對賣空沒有任何限制標的資產(chǎn)為股票，其價格標的資產(chǎn)為股票，其價格S的變化為幾何布朗的變化為幾何布朗運動運動dsdtdwdssdtsdwsw其中， 代表維納過程2021-12-264B-S模型證明思路模型證明思路ITO引理引理2221()2ffffdfab dtb dwtxxxITO過程過程( , )( , )ttdxa x t dt

3、b x t dwB-S微分方程微分方程222212fffrssrftss抖+s=抖B-S買權定價公式買權定價公式12()()rtCS N dKeN d2021-12-26513.1 維納過程維納過程根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機游走性，這種特性可以采用有隨機游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是，它是Markov stochastic process的一種。的一種。對于隨機變量對于隨機變量w是是Wiener process，必須，必須具有兩個條件：具有兩個條件：1.在某一小段時間在某一小段時間t內(nèi)，它的變動內(nèi)，它的變動w與時段

4、滿與時段滿足足t2021-12-266ttwt（13.1）1,(0,1)ttttwwwiidN這里，2. 在兩個不重疊的時段在兩個不重疊的時段t和和s, wt和和ws是獨立的，是獨立的，這個條件也是這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立！過程的條件，即增量獨立！1111,tttsssttsswwwwwwwwww其中，cov(,)0tsww（13.2）有效市場有效市場2021-12-267 滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有過程，其性質(zhì)有()0,()ttEwDwt 當時段的長度放大到當時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的時（從現(xiàn)在的0時刻時刻

5、到未來的到未來的T時刻）隨機變量時刻）隨機變量wt的滿足的滿足0()0,()TTTTEwwwwDwT2021-12-268 證明：證明：01111,NTTiiiiiiNNTiiiiwwwwwwwtwtt 11()()( )0NNTiiiiEwtEtE1()(),( )1,NTiiiDwt Dt NTD 證畢.2021-12-269 在連續(xù)時間下，由（在連續(xù)時間下，由（13.1）和（）和（13.2）得到）得到cov(,)0tttsdwdtdw dw（13.3）（13.4） 所以，所以， 概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì)(0,)()0,()tttdwNdtE dwD dwdttdw以上得到的隨機過程，

6、稱為維納過程。以上得到的隨機過程，稱為維納過程。2021-12-261013.2 ITO定理定理 一般維納過程一般維納過程(Generalized Wiener process)可可表示為表示為(0,)tttdxadtbdwdwNdt 其中，（13.5）22(,)(),()tttdxN adt b dtE dxadt D dxb dt顯然，一般維納過程的性質(zhì)為顯然，一般維納過程的性質(zhì)為2021-12-2611 一般維納過程仍不足以代表隨機變量復雜一般維納過程仍不足以代表隨機變量復雜的變動特征。的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當漂移率和方差率為常數(shù)不恰當ttdxadtbdw( , )( ,

7、)ttdxa x t dtb x t dw若把變量若把變量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b當作變量當作變量x和和時間時間t的函數(shù)，的函數(shù)，擴展后得到的即為擴展后得到的即為ITO過程過程2021-12-2612 B-S 期權定價模型是根據(jù)期權定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何過程的特例幾何布朗運動來代表股價的波動布朗運動來代表股價的波動ttttdss dts dw, ( , ), ( , )ttttttsx a s ts b s ts省略下標省略下標t，變換后得到幾何布朗運動方程，變換后得到幾何布朗運動方程dsdtdws（13.6）證券的預期回報與其價格無關。證券的預期回報與其價格無關。

8、2021-12-2613 ITO定理：假設某隨機變量定理：假設某隨機變量x的變動過程可由的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標過程表示為（省略下標t）( , )( , )dxa x t dtb x t dw 令令f(x,t)為隨機變量為隨機變量x以及時間以及時間t的函數(shù)，即的函數(shù)，即f(x,t)可可以代表以標的資產(chǎn)以代表以標的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則的衍生證券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可以表示為的價格變動過程可以表示為2221()2ffffdfab dtb dwtxxx( , ),( , ),( , )ff x t aa x t bb x t（13.7）2021-12-2614證

9、明：將（證明：將（13.7）離散化）離散化( , )( , )xa x ttb x tw wt由（由（13.1）知）知利用泰勒展開，忽略高階段項，利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為可以展開為22222221()212ffffftxxx ttxxx tftt （13.8）2021-12-2615在連續(xù)時間下，即在連續(xù)時間下，即0tD3220lim0tx ta tbt 因此，（因此，（13.8）可以改寫為）可以改寫為（13.9）22212fffftxxtxx 20tD從而從而320tD2021-12-261622xa tbt 2222222atbtabt 22bt200,tt 且當

10、時，有從而222220lim()()0tDxbtD即即x2不呈現(xiàn)隨機波動！不呈現(xiàn)隨機波動?。?3.10）2021-12-261722222()()()ExE btbtE由（由（13.10）可得）可得22(0,1),( )(0) ()1NDEE由于則22()Exbt（13.11）由（由（13.11）得到）得到（13.12）2021-12-2618 由于由于x2不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即就收斂為真實值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx2221()2fffdtadtbdwb dttxx當當t0時，時，由（由（13.9）可得）可得2

11、221()2ffffab dtb dwtxxx2021-12-261913.3 B-S微分方程微分方程dssdtsdw假設標的資產(chǎn)價格變動過程滿足假設標的資產(chǎn)價格變動過程滿足 這里這里S為標的資產(chǎn)當前的價格，令為標的資產(chǎn)當前的價格，令f(s,t)代表衍生證代表衍生證券的價格，則券的價格，則f(x,t)的價格變動過程可由的價格變動過程可由ITO引理近引理近似為似為22221()2ffffdfssdts dwtsss2021-12-262022221()2fffffsstswtsss 假設某投資者以假設某投資者以份的標的資產(chǎn)多頭和份的標的資產(chǎn)多頭和1 1個單位的個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，

12、且衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且滿足滿足ffsfss = -+ d = -+則該組合的收益為則該組合的收益為fsd=2021-12-2621 下面將證明該組合為無風險組合，在下面將證明該組合為無風險組合，在t時時間區(qū)間內(nèi)收益為間區(qū)間內(nèi)收益為ffssD = - D+D22221()2()ffffsstswtsssfs ts ws 22221()2ffstts 2021-12-2622 注意到此時注意到此時不含有隨機項不含有隨機項w，這意味著該組合，這意味著該組合是無風險的，設無風險收益率為是無風險的，設無風險收益率為r，且由于，且由于t較較?。ú徊捎眠B續(xù)復利），則?。ú徊捎眠B續(xù)復利），則ffss

13、 = -+又由于22221()2ffrtstts抖D 兆 譊 = -+sD抖22221()2fffstfsrttss抖-+sD=-+鬃 D抖（）整理得到整理得到222212fffrssrftss抖+s=抖2021-12-2623B-S微分方程的意義微分方程的意義222212fffrssrftss抖+s=抖衍生證券的價格衍生證券的價格f，只與當前的市價，只與當前的市價S，時間，時間t，證券，證券價格波動率價格波動率和無風險利率和無風險利率r有關，它們?nèi)际强陀^有關，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會對對f的值產(chǎn)生影響。的值產(chǎn)生影

14、響。在對衍生證券定價時，可以采用在對衍生證券定價時，可以采用風險中性定價風險中性定價，即，即所有證券的預期收益率都等于無風險利率所有證券的預期收益率都等于無風險利率r。只要標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用只要標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微微分方程求出價格分方程求出價格f。2021-12-2624ttttdSS dtS dw若股票價格服從幾何布朗運動若股票價格服從幾何布朗運動設當前時刻為設當前時刻為t，則，則T時刻股票價格滿足對時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即數(shù)正態(tài)分布，即22lnln(/2) ,TtSNS ,0, Tt tT13.4 幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布幾何布朗運動與對

15、數(shù)正態(tài)分布2021-12-2625()lnttgg SS22211,0ttttgggSSSSt 令令則則這樣由伊藤引理得到這樣由伊藤引理得到21()2dtdw2221() )2ttttttggggdgSSdtSdwtSSS(,)ttaS dt bS21(ln)()2tdSdtdw即即2021-12-262621(ln)()2TTtttdSdtdw21lnln()()2TtTtSSww由（由（13.1）Ttww 21lnln()2TtSS (0,1)iidN22lnln(/2) ,TtSNS 2021-12-262721()exp() exp()2TtE SSE exp()exp( )EE 注意

16、：22lnln(/2) ,TtSNS 由于則稱則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為2exp()exp(/2)E ()exp()TtE SS所以所以2021-12-262813.5 B-S買權定價公式買權定價公式122121()()ln(/)(/2)0, ,rtttCS N dXeN dSXrdddtTTt 其中， 對于歐式不支付紅利的股票期權，其看漲期權對于歐式不支付紅利的股票期權，其看漲期權（買權）的在定價日（買權）的在定價日t的定價公式為的定價公式為2021-12-2629 （1）設當前時刻為）設當前時刻為t，到期時刻，到期時刻T，若股票，若股票價格服從幾何布朗

17、運動，若已經(jīng)當前時刻價格服從幾何布朗運動，若已經(jīng)當前時刻t的股票價格為的股票價格為St,則則T時刻的股票價格的期時刻的股票價格的期望值為望值為B-S買權定價公式推導買權定價公式推導()exp ()TtE SSTt（13.13）exp()tS2021-12-2630()exp()TtE SSr（13.14）由（由（13.13）和（）和（13.14）得到）得到r（13.15） 根據(jù)根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風險中性微分方程可知，定價是在風險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風險回報，條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風險回報，則則這表明：在風險中性的世界中，任何可交易的金這表明：在風險中性的世界中，

18、任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風險利率。融資產(chǎn)的回報率均為無風險利率。2021-12-2631（2）在）在風險中性的條件下風險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風險利率無風險利率r，故買權期望值的現(xiàn)值為，故買權期望值的現(xiàn)值為max(,0)rtTCeESX0() ()0()XrTTTTTXeSX f SdSf SdS(),0,rTTTeE SXSXSX（13.16）() ()rTTTXeSX f SdS2021-12-2632 由于由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為為22(ln(ln)1()exp22TTTTSESf SS 22221()exp221

19、1()exp22rtTXrTXTssCedSuussKedSSuu（13.17）第第1項項第第2項項將將ln,(ln),TTSs ESs u 由由(13.16)得到得到2021-12-2633（3）化簡（）化簡（13.17）中的第）中的第1、2項，先化簡第項，先化簡第1項項221()exp22rTXssedSuu2211()exp( ln)exp(ln)exp22rttTTXTssSS eSdSSuu2211()exp(lnln)exp22tTtTXTssSSSrdSSuu（13.18）當前時刻價格，不是變量當前時刻價格，不是變量2021-12-2634lnlnTtSSr22(ln)ln(/2

20、)1ln(ln)()2TttTESSSES因為，則2(/2) )ssrr22(/2)(/2)ssssu （13.19）(ln)TESsr由于，所以2021-12-2635 將（將（13.19）與（）與（13.18）內(nèi)的第）內(nèi)的第2個指數(shù)項個指數(shù)項合并，即合并，即222()(/2)2ssssuu22222(1/2)22(/2)() uu sususs222422(1/2)222uu su sussss222242(1/2)2 ()(2)us ussu sus222(1/2)()usus （13.20）2021-12-2636將（將（13.20）代入（）代入（13.18）22211()exp()2

21、2tTXTsusSdSSuu下面，將利用變量代換來簡化下面，將利用變量代換來簡化（13.21），不妨令），不妨令（13.21）2()susyu111(ln)TTTdydsdSdSuuuS所以，2021-12-263722ln(ln)()TTSESsusyu 2ln(/)(/2)TtESSr2(ln)ln(/2)TtESSr22lnln(/2) TtSSry 2lnln(/2)TtSSr 2021-12-2638y的積分下限為的積分下限為2lnln(/2)|TtSXXSry 21ln(/)(/2)tSXrd y的積分上限為的積分上限為2lnln(/2)|TtSSry 2021-12-2639將將

22、dy與與y代入（代入（13.21），即有），即有1211exp()22tTdTySuS dyS u111()()ttSNdS N d這樣就完成了第這樣就完成了第1項的證明。項的證明。22211()exp()22tTXTsusSdSSuu121exp()22tdySdy（13.22）2021-12-2640()/zssu(ln)1TTTdSdsdzdSuuuS下面證明下面證明B-S公式中的第公式中的第2項，項，2211()exp22XrTTssXedSSuu首先進行變量代換，令首先進行變量代換，令TTdSuS dz2021-12-2641 則則z的積分下限的積分下限2lnln(/2)|TTTTt

23、SXSXSXSSrsszu 2lnln(/2)tXSr 2d z的積分上限的積分上限|TSz 2ln(/)(/2)tSXr 2021-12-2642 將將z和和dz代入代入2211()exp22rTXTssXedSSuu2211exp22rTdTzXeuS dzS u 221()()rrXeNdXeN d （13.23）221exp22rdzXedz 2021-12-264312()()rttCS N dXeN d則由（則由（13.22）和（）和（13.23）得到）得到21ln(/)(/2)tSXrd 22ln(/)(/2)tSXrd 1d 其中其中2021-12-2644pr0dN(d)例如

24、例如:當當d1.96時時,N(d)913.5%2021-12-2645B-S買權公式的意義買權公式的意義 N(d2)是在風險中性世界中是在風險中性世界中ST大于大于X的概率，的概率，或者說式歐式看漲期權被執(zhí)行的概率?；蛘哒f式歐式看漲期權被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的風險中性期望的風險中性期望值的現(xiàn)值。值的現(xiàn)值。 2211()exp22rTXTssXedSSuu2()rXeN d 2021-12-2646 其次，其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)是復制交易策略中股票的數(shù)量

25、，量，SN（d1)就是股票的市值就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。則是復制交易策略中負債的價值。假設兩個假設兩個N(d)均為均為1，看漲期權價值為，看漲期權價值為St-Xe-rT，則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲則沒有不確定性。如果確實執(zhí)行了，我們就獲得了以得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權，而承擔了現(xiàn)為現(xiàn)價的股票的所有權，而承擔了現(xiàn)值值Xe-rT的債務。的債務。 期權的價值關于標的資產(chǎn)的價格及其方差，期權的價值關于標的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)的函數(shù)，具有

26、如下性質(zhì)，具有如下性質(zhì))(1dNFactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: Calls2021-12-2648So = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/9

27、5) + (0.10+(0 5 2/2) / (0 5 0 0.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (0 50 0.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example2021-12-2649Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option Value2021-12-265013.6 看跌期權的定價看跌期權的定

28、價 利用金融工程的原理來看待期權平價關系利用金融工程的原理來看待期權平價關系 考慮如下兩個組合：考慮如下兩個組合：組合組合A：一份歐式看漲期權加上金額為：一份歐式看漲期權加上金額為 的現(xiàn)金的現(xiàn)金組合組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權相：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)同的歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn))(tTrXe2021-12-2651 組合組合A到期時刻到期時刻T的收益的收益()()max(0,)max(,)r T tr T tTTTCXeeSXXX S 組合組合B到期時刻到期時刻T的收益的收益max(0,)max(,)TTTTTPSXSSX S 兩個

29、組合具有相同的價格，且由于歐式期權不能兩個組合具有相同的價格，且由于歐式期權不能提前執(zhí)行，則在提前執(zhí)行，則在t時刻兩個組合價值相等，否則就時刻兩個組合價值相等，否則就有套利，即有套利，即()r T ttttPCXeS此為看漲看跌期權平價公式。此為看漲看跌期權平價公式。2021-12-265212()()rttCS N dXeN d()12()()rr T ttttPS N dXeN dXeS()21(1()(1()r T ttXeN dSN d()21()()r T ttXeNdS Nd從幾何圖性上看，二者對影響期權的關鍵指標從幾何圖性上看，二者對影響期權的關鍵指標都進行了負向變換，是關于縱向?qū)ΨQ的。都進行了負向變換，是關于縱向?qū)ΨQ的。2021-12-26531212(,)()()rTttttCC S d dXS N dXeN d121221(,) ()() ()()tttrTtrTtPCSddXS NdXeNdXeNdS Nd （- ）標的資標的資產(chǎn)價格產(chǎn)價格期權價值期權價值2021-12-265413.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權定價有收益資產(chǎn)的歐式期權定價 當標的證券已知收益的現(xiàn)值為當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們