連續(xù)介質(zhì)力學(xué)幾個(gè)定律

1、 76 第二章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本定律 在第一章中，我們僅考察了連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，而沒(méi)有考慮到引起運(yùn)動(dòng)和變形的因素。本章我們將引入應(yīng)力等概念，并給出連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本定律：質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量平衡定律、動(dòng)量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量 在物體的運(yùn)動(dòng)中，物體的兩部分之間或物體與其外界間的力學(xué)作用是通過(guò)力來(lái)描述的。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中我們主要研究三種類(lèi)型的力：(1)一個(gè)物體的兩部分之間的接觸力；(2)由外界作用于物體邊界上的接觸力；(3)由外界作用于物體內(nèi)部點(diǎn)的非接觸力(如重力、離心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力總是通過(guò)某一接觸面發(fā)生作用的，因此通

2、常把作用于單位接觸面積上的接觸力稱(chēng)為表面力，或簡(jiǎn)稱(chēng)面力；由于(3)型力作用于物體整個(gè)體積內(nèi)所含的物質(zhì)點(diǎn)，因此通常把它稱(chēng)為體積力，或簡(jiǎn)稱(chēng)體力。 在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中重要的公理之一就是關(guān)于接觸力形式的柯西假設(shè)?？挛骷僭O(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的時(shí)刻t對(duì)于任何物質(zhì)坐標(biāo)X和與之對(duì)應(yīng)的接觸面S上的單位法矢量n，表面力的存在形式為 ?ntXtt,? (2.101) 通常，我們規(guī)定?ntXtt,?指向接觸面S的外法向時(shí)為正，反之為負(fù)(見(jiàn)圖2.1). 現(xiàn)在不管在X和S面與S'面的曲率相差多少。 為了研究物體內(nèi)部的力學(xué)狀態(tài)，我們把一物體用一假想平面S截?cái)喑蓛刹糠諥和B，如圖2.3所示。此時(shí)S面就是A和B相互作用的接觸面

3、，B部分對(duì)A部分一點(diǎn)的作用，便可以用A部分截面上的表面力tn來(lái)表征，我們稱(chēng)之為應(yīng)力矢量。反過(guò)來(lái)，考慮A部分對(duì)B部分作用，按照牛頓的作用與反作用定律可得應(yīng)力矢量tn?。它與tn作用于同一平面上的同一點(diǎn)處，并且大小相等，方向相反。即 ttnn? (2.102) 對(duì)于物體內(nèi)部的一點(diǎn)P，通過(guò)它可以有無(wú)窮多個(gè)方向的截面，而對(duì)于不同方向的截面，應(yīng)力矢量也就不同，這種復(fù)雜情況只有引進(jìn)應(yīng)力張量的概念才能充分地加以描述。為了刻畫(huà)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)想在一點(diǎn)P的附近任意給定一個(gè)單位法矢量為 ?,cos,cos,cos321?n ?nenene?321, (2.103) 的平截面。相應(yīng)地，過(guò)P點(diǎn)沿活動(dòng)標(biāo)架作三個(gè)坐標(biāo)平

4、面。于是它們?cè)谖矬w內(nèi)截得一個(gè)微小四面體，如圖2.4所示。在這個(gè)微小四面體的每一個(gè)面上，都受有物體的其余部分給它的作用力，不妨設(shè)在ABC上受到的作用力為tA?，在PBC，PCA與PAB上的作用力分別為?tA11?、?tA22?與?tA33?，其中?A與?Ai分別為各微小平面的面積，作用于微小四面體ABCP上單位質(zhì)量的體力為b。 現(xiàn)在假設(shè)對(duì)物體的任何部分，特別是對(duì)微小四面體ABCP而言，動(dòng)量的變化率與作用的合力成正比。雖然這是個(gè)很自然且牛頓第二定律更強(qiáng)的新假設(shè)(因?yàn)榕ｎD第二定律只適用于整個(gè)物體)，然而，它卻不能用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證，因?yàn)椴豢?77 能做內(nèi)部表面接觸力的直接測(cè)定，這種力的存在與大小只能由其

5、它量的觀測(cè)推知。描述一點(diǎn)是應(yīng)力張量，描述通過(guò)一點(diǎn)的某一截面是應(yīng)力矢量。 對(duì)于微小四面體ABCP，柯西定律給出 tAtAtAtAbV?112233? ?tAtAbVii? ?tAtAbhVii?cos?13 ?tmaVa? ?13?hAa? (2.104) 其中?為物體的密度，h為P點(diǎn)到ABC面的距離，并且考慮到微小四面體的體積. ?VhA?13 (2.105) 2.104式也可寫(xiě)成 ttbhhaii?cos?1313 (2.106) 當(dāng)微小四面體體積趨于零時(shí)，即?A?0，?h?0，則有 ttii?cos? (2.107) 考慮到2.103式，并令 tTeTeTeiiii?112233 ?Tei

6、ji (2.108) 則式2.107可寫(xiě)成 ?jijiiieTentt?cos ?TneeTnjiij? ?neeTtijijii?cos ?nTneeTTjiij? (2.109) 當(dāng)T對(duì)稱(chēng)時(shí)，則 tnTTn? (2.110) 其中 jiijeeTT? (2.111) 稱(chēng)為應(yīng)力張量，其矩陣形式為 ?333231232221131211TTTTTTTTTT (2.112) 如果物體中一點(diǎn)處的應(yīng)力張量已知，那么由式2.112可以得到通過(guò)該點(diǎn)的任何截面上的應(yīng)力矢量，因此應(yīng)力張量完全地刻畫(huà)了物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 由Ai面上的應(yīng)力矢量ti的定義可知，?tXttii,?，而由式2.108知 ?tXTT

7、ijij,?，因此式2.109變?yōu)??tXTnntXt,? (2.113) 上式就是柯西假設(shè)的具體形式，常稱(chēng)之為柯西基本定理。 下面我們研究應(yīng)力張量T的各分量的力學(xué)意義?？紤]到 78 TeTeteijijij? 故知，Tij代表作用于ei方向截面上的應(yīng)力矢量ti在ej方向上的分量，如圖2.5所示。 我們從圖2.5看到，應(yīng)力張量T的對(duì)角線元素?jiTij?位于所作用平面的法線方向內(nèi)，故稱(chēng)之為法向應(yīng)力分量；應(yīng)力張量T的非對(duì)角線元素?jiTij?位于所作用的平面內(nèi)，故稱(chēng)為剪切應(yīng)力分量。 2.2 質(zhì)量守恒定律 物質(zhì)無(wú)論經(jīng)過(guò)怎樣形式運(yùn)動(dòng)，其總質(zhì)量是不變的，這就是古典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的最重要規(guī)律之一質(zhì)量守恒

8、定律。下面我們研究質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 設(shè)?為物體的密度，dV表示物質(zhì)點(diǎn)的體積，由于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量保持不變，所以 ?0?dVDtD? (2.201) 展開(kāi)有 ?0?dVDtDdVDtD? (2.202) 又由式 ? ?dVdivvdVxvdVDtDii? (2.203) 于是式2.202可寫(xiě)成 DDtvxii?0 (2.204) 其不變性形式為 DDtdivv?0 (2.205) 其中 DDttvxii? (2.206) vt? 把上式代入式2.204，則得 ?0?iixvt? (2.207) 其不變性形式為 ?0divvvt?注明是張量，只是一個(gè)函數(shù)，既不是矢量，又不是張量 (2.2

9、08) 式2.205和式2.208就是質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式質(zhì)量守恒方程，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常稱(chēng)為連續(xù)性方程。 79 在正交曲線坐標(biāo)系中，利用式:jiiggH?，連續(xù)性方程可寫(xiě)為 ?01213331223211321?HHvHHvHHvHHHt? (2.209) 在直角坐標(biāo)系中，連續(xù)性方程為 ? ? ?0?zvyvxvtzyx? (2.210) 在柱面坐標(biāo)系中，利用第第一部分二章式2.13.03，連續(xù)性方程為 ?011?zvvrrrvrtzr? (2.211) 在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分二章式式2.13.04，連續(xù)性方程為 ? ?0sin1sinsin1122?vrvrrvrrtr (2.2

10、12) 連續(xù)性方程也可用物質(zhì)描述法表示。在這種情況下質(zhì)量定恒定律要求 ?dVtxdVtXVV,000? (2.213) 其中V是物質(zhì)在現(xiàn)時(shí)刻所占據(jù)的體積，而V0是物質(zhì)在時(shí)刻t0所占據(jù)的體積。于是 ?000,00JdVttXxdVtXVV? ?0,0JdVtXV? (2.214) 因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系式對(duì)任意體積V0都必須成立，故得 ?0?J (2.215) 它表示?J與時(shí)間無(wú)關(guān)，即 ?Jconst? (2.216) 這就是物質(zhì)形式的連續(xù)性方程。 2.3 動(dòng)量平衡定律 歐拉把下列關(guān)系作為在連續(xù)介質(zhì)中普遍成立的一般性原理： DmDtf? (2.301) 它稱(chēng)為歐拉第一運(yùn)動(dòng)定律。上式說(shuō)明任意物體具有的動(dòng)量的

11、變化率等于作用于該物體上的合力f。 設(shè)所研究物體在其體積V上受有連續(xù)分布的體力和在其體積的邊界面S上連續(xù)分布的接觸力fc，因此物體上所受合力為 fffbc? (2.302) 其中 bdVfVb? (2.303) tdSfSc? (2.304) 物體的動(dòng)量為 vdVmV? (2.305) dVDtDxV? 80 于是將式2.302和式2.305代入式2.301則 bdVtdSadVVSV? (2.306) 其中aDxDt?22表示x點(diǎn)的加速度。由式2.109，可將上式改寫(xiě)為 adVbdVTdSnVVS? (2.307) 利用高斯公式 TdVTdSnVS? (2.308) 則得 adVbdVTdV

12、VVS? (2.309) 即 ?0?dVabTV? (2.310) 考慮到V的任意性，則 ?Tba?0 (2.311) 即 divTba? (2.312) 需要指出的是，這里的散度是對(duì)于空間坐標(biāo)的。上式稱(chēng)為柯西第一運(yùn)動(dòng)定律。其指標(biāo)形式為 Tbajiiii;? (2.313) 展開(kāi)得 ?TxTxTxba11121231311? (2.314) ?TxTxTxba12122232322? (2.315) ?TxTxTxb (2.316) 特別地，在靜止的情況下，物體的加速度為零，則式2.313化為 divTb?0 (2.317) 在彈性力學(xué)中，上式稱(chēng)為平衡方程。 在柱面坐

13、標(biāo)系中，利用第一部分第二章2.13.4.d可得上式化為 ?TrrTTzTTrbrrrzrrrr?10 (2.318) ?TrrTTzTTrbrzrr?10 (2.319) ?TrrTTzTrbrzzzzrzz?10 (2.320) 在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分第二章2.13.4.e，則2.317式可化為 ?0cot21sin11?rrrrrrrrbTTTTrTrTrrT? (2.321) ?0cot21sin11?bTTTTrTrTrrTrrr (2.322) 81 ?0cot21sin11?bTTTTrTrTrrTrrr(2.323) 2.4 動(dòng)量矩平衡定律 對(duì)于任意物體下列關(guān)系式成立： D

14、MDtlxx00? (2.401) 其中Mx0表示物體繞x0點(diǎn)的動(dòng)量矩，lx0表示作用于物體上的力對(duì)x0點(diǎn)的合力矩。上式稱(chēng)為歐拉第二運(yùn)動(dòng)定律。 設(shè)作用于物體上的力矩只是由體力和接觸力引起的,故其合力矩為 ?000SxVSlxxbdVxxtd? (2.402) 而物體的動(dòng)量矩為 ? ?dVDtDxxxMVx?00? (2.403) 將式2.402和式2.403代入式2.401，并考慮到 ? ?0VDDxxxdVDtDt? (2.404) ? ? ? ?20002VVVDxxDxDxDxDdVxxdVxxdVDtDtDtDtDt? ? ? ?200200VVVDxDxDxDxdVxxdVxxDtD

15、tDtDDdVDtt?張量本身叉乘是質(zhì)量守恒 ? ?202VDxxxdVDt? (2.405) 可得 ?000SVVSxxadVxxbdVxxtd? (2.406) 其中aDxDt?22表示x點(diǎn)的加速度?？紤]到式2.110和高斯公式，則 ?0000V0SSSVSVSxxbdVxxtdxxadxxtdxxnTdV? ?可知 ?adVxxdSTnxxbdVxxVSV?000? ?00VSxxbadVnTxxdS?混合積互換 ?00VxxbaTxxdV?積分定理 ?00VljklljjkiijlljlkkxxbaeTxxedV?張量運(yùn)算 ?dVxxTabxxellijijjllkljkV00? ?d

16、VxxTxxTabxxelliijlliijjjllkljkV00;0? 82 ?0;0VljkklijijljiljiTbaexxTdV?根據(jù)平衡方程，紅色部分為 dVeTkilijljkV? dVeTkijijkV? ?0 (2.407) 考慮到體積V的任意性，得 ?ijkijT?0 (2.408) 因此，Tij必須對(duì)稱(chēng)張量，即 TTijji? (2.409) 或 TTT? (2.410) 上式叫做柯西第二運(yùn)動(dòng)定律。柯西第二運(yùn)動(dòng)定律限定應(yīng)力張量為對(duì)稱(chēng)張量，其中只有六個(gè)獨(dú)立分量。 2.5 能量守恒定律 在連續(xù)介質(zhì)中，如果只研究力學(xué)量的影響，而不考慮熱學(xué)效應(yīng)，那么連續(xù)介質(zhì)的能量守恒定律可以直接

17、由運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出。首先，將運(yùn)動(dòng)方程 ?TbDvDt? (2.501) 點(diǎn)乘速度矢量v ? ?DtDvvbvTv? (2.502) 在體積V上積分 ?bdVvdVTvDtDvvVVV? (2.503) 考慮到 dVvvDtDDtDvvVV?21? ?1202VVDvvdVvvDDdVDtt?質(zhì)量守恒 vdVvDtDV?21 dVvDtDV221? ?DKDt (2.504) 上式表示在體積V中的總動(dòng)能dVvKV221?的時(shí)間變化率。另外，考慮到 ?iijjTvTv;? ?ijijiijjTvTv;,? ?TvvT:? 83 ?TWDvT:? ?:WTTvDT?反對(duì)陳與對(duì)稱(chēng)雙點(diǎn)乘是0 ?TDvT:?

18、 (2.505) 這里利用了反稱(chēng)張量W與對(duì)稱(chēng)張量T之間的雙重點(diǎn)積為零的性質(zhì)。 把式2.504和式2.505代回到式2.503中去，則得 ?bdVvdVvTTdVDDtDKVVV?: (2.506) 運(yùn)用高斯公式把上式右邊第一體積分化為面積分，并利用柯西假設(shè)t?tnT?，則 ?VSTvdVnTvdS?添加取掉無(wú)影響 vdStS? (2.507) 將上式代入式2.506，于是我們得到在純力學(xué)作用下的能量方程 :DVSVDKDTdVtvdSbvdVDt?其中是速度梯度的對(duì)稱(chēng)部分 (2.508) 其中方程左邊兩項(xiàng)分別表示連續(xù)介質(zhì)的動(dòng)能和內(nèi)能(應(yīng)力生熱)的時(shí)間變化率，右邊兩項(xiàng)分別表示接觸力和體力所做的功

19、率。若令U表示內(nèi)能，則能量方程5.508也可簡(jiǎn)潔地寫(xiě)成 DKDtDUDtDWDt? (2.509) 其中DWDt表示接觸力和體力的功率，記號(hào)D表示這個(gè)量不一定能寫(xiě)成某個(gè)函數(shù)的全微分形式。 如果同時(shí)考慮機(jī)械能和非機(jī)械能，那么就必須用能量守恒定律的一般形式。能量守恒定律的一般形式可以表述為：動(dòng)能加上內(nèi)能對(duì)時(shí)間的變化率等于總功率加上在單位時(shí)間內(nèi)供給物體的各種其它形式的能量。這些能量包括熱能、化學(xué)能、電磁能等等。本書(shū)只考慮機(jī)械能和熱能，于是能量守恒定律就化為著名的熱力學(xué)第一定律的形式。 對(duì)于熱力連續(xù)介質(zhì)(thermomechanical continua)來(lái)說(shuō)，通常把內(nèi)能的時(shí)間變化率寫(xiě)成 ?udVDt

20、DDtDUV? ?0VVDudVuDdVDtDt?是 ?dVDtDuV? (2.510) 其中u稱(chēng)為比內(nèi)能，表示每單位質(zhì)量的內(nèi)能密度。另外，我們定義矢量f為在單位時(shí)間內(nèi)每單位面積的熱通量，函數(shù)q為在單位時(shí)間內(nèi)每單位質(zhì)量的熱輻射量，于是物體總熱量的增量變化率為 qdVndSfDtQDVS? (2.511) 其中n為物體表面的外法向，熱通量矢量f由傅立葉定律給出，即 fkT? (2.512) 84 這里k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，T為溫度。 于是熱力連續(xù)介質(zhì)的能量方程可以寫(xiě)成 DKDtDUDtDWDtDQDt? (2.513) 或?qū)懗煞e分形式 qdVndSfbdVvvdStdVDtDuvdVvDtDVSVSV

21、V?21 (2.514) 把上式右邊面積分化為體積分后再移到左端，則有 ? ?12VVDvvDudVTvvbfqdVDtDt?高斯公式 (2.515) 由于體積V是任意的，故有 ? ?qfbvvTuvvDtD?112 (2.516) 利用式2.505，則上式化為 ?qfbvTvTDDtDuDtDvv?1:1 (2.517) 整理得 111:0DvTbDuDTftvDqDt?平衡方程 (2.518) 考慮到運(yùn)動(dòng)方程成立，則有 DuDtDTfq?11?: (2.519) 或 DuDtDTfxqijijii?11? (2.520) 上式表示物體內(nèi)能的時(shí)間變化率等于應(yīng)力功率和吸收的熱量之和。 式2.5

22、13、式2.514、和式2.519都是能量守恒定律的表現(xiàn)形式。 2.6 狀態(tài)方程熵定律 完整地表征一個(gè)熱力學(xué)統(tǒng)稱(chēng)做是對(duì)這個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的描述。用來(lái)描述這個(gè)狀態(tài)的物理量稱(chēng)狀態(tài)參數(shù)。狀態(tài)參數(shù)隨著時(shí)間變化表征一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程。但是，在一般情況下，這些狀態(tài)參數(shù)并不全是獨(dú)立的，它們之間存在著某種關(guān)系。這種關(guān)系就稱(chēng)為狀態(tài)方程。如果某個(gè)狀態(tài)參數(shù)可以通過(guò)其它幾個(gè)狀態(tài)參數(shù)表出，則稱(chēng)它為狀態(tài)函數(shù)。 現(xiàn)在，我們考慮一個(gè)均勻的熱力學(xué)系統(tǒng)，它處于平衡狀態(tài)，即在沒(méi)有外界影響的條件下，系統(tǒng)的各部分在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不發(fā)生任何變化。描述這樣一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)為：幾何參數(shù)V(體積)、力學(xué)參數(shù)p(壓力)及熱力學(xué)參數(shù)T(溫度)。聯(lián)系這三個(gè)

23、量的關(guān)系的狀態(tài)方程可寫(xiě)成 ?0,?TVpF (2.601) 85 這里需要指出的是，對(duì)于一定的物質(zhì)來(lái)說(shuō)，狀態(tài)方程是普遍適用的，也就是說(shuō)，構(gòu)成熱力學(xué)系統(tǒng)的物質(zhì)一經(jīng)選定，狀態(tài)方程的具體形式也就確定了。 例如對(duì)于完全氣體而言，狀態(tài)方程的具體形式可寫(xiě)成 pVmMRT?0 (2.602) 其中m為氣體的質(zhì)量，M為分子量，R0是克分子氣體常數(shù)。 在上一節(jié)我們?cè)鴶⑹鲞^(guò)熱力學(xué)第一定律，它公設(shè)機(jī)械能和熱能可以互相轉(zhuǎn)換，但是，只根據(jù)熱力學(xué)第一定律還不能判定這種轉(zhuǎn)換過(guò)程是否可逆。事實(shí)上，所有的真實(shí)過(guò)程都是不可逆的，但可逆過(guò)程卻是一個(gè)非常有用的假設(shè)，因?yàn)樵谠S多情況下，能量耗損是可以忽略不計(jì)的?？赡嫘耘袚?jù)由熱力學(xué)第二定

24、律給出。 熱力學(xué)第二定律公設(shè)存在兩個(gè)獨(dú)立狀態(tài)函數(shù)：絕對(duì)溫度T和熵S。它們有如下性質(zhì)：絕對(duì)溫度T為一正量，它僅僅是經(jīng)驗(yàn)溫度?(即我們通常見(jiàn)到的溫度)的函數(shù)，熵S和體積V一樣，是一個(gè)廣延量，而溫度是與熵相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量，正如壓強(qiáng)是與體積相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量一樣。一個(gè)物體的強(qiáng)度量代表物質(zhì)的內(nèi)在性質(zhì)，與物體的質(zhì)量大小無(wú)關(guān)，而一個(gè)物體的廣延量則可分解為物體上各個(gè)子部分上的廣延量之和。因此，一連續(xù)介質(zhì)的總熵S可寫(xiě)成下列形式： sdVSV? (2.603) 這里s表示連續(xù)介質(zhì)中的熵密度，即每單位質(zhì)量中的熵。 一個(gè)系統(tǒng)的熵既可由于與外界相互作用而發(fā)生改變，也可由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生變化而改變，因此 ?iedsdsds? (

25、2.604) 這里ds是熵密度的增量,?eds是由于與外部相互作用而引起的熵密度增量。?ids是由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生變化而引起的熵密度的增量。?ids決不能為負(fù)值。它在可逆過(guò)程中為零，在不可逆過(guò)程中為正，即 ?0?ids (不可逆過(guò)程) (2.605) ?0?ids (可逆過(guò)程) (2.606) 在可逆過(guò)程中，如果令?Rdq表示供給系統(tǒng)的每單位質(zhì)量的熱量，則?eds可表示為 ? ?TdqdsRe? (可逆過(guò)程) (2.607) 按照熱力學(xué)第二定律，在連續(xù)介質(zhì)所占據(jù)的物理空間中總熵的時(shí)間變率不小于通過(guò)連續(xù)介質(zhì)表面流入的熵與連續(xù)體內(nèi)部源產(chǎn)生的熵之和。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)熵原理可以以積分形式表示為 dSTnf

26、edVsdVdtdSVV? (2.608) 稱(chēng)之為克勞修斯杜姆不等式，其中e為單位質(zhì)量中的局部熵源。上式中的等號(hào)成立時(shí)表示可逆過(guò)程，不等號(hào)成立時(shí)代表不可逆過(guò)程。 利用質(zhì)量守恒定律 ?dVdtdSdVdtdssdVdtdVVV? dVdtdsV? 86 和高斯公式 dVTfdSTnfVV? 考慮到體積V的任意性，則由式2.608可得克勞修斯杜姆不等式的微分形式 01?Tfedtds? (2.609) 2.7 主應(yīng)力最大剪應(yīng)力 tnT?表示物體中一點(diǎn)周?chē)煌较蛏系膽?yīng)力矢量公式，當(dāng)應(yīng)力張量已知時(shí)，在給定的任何一個(gè)方向n上的應(yīng)力矢量就由tnT?給出。下面，我們將要討論的問(wèn)題是，對(duì)于某給定點(diǎn)來(lái)說(shuō)，在什

27、么方向上法向應(yīng)力Tn取駐值。這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為在n為單位矢量的條件下，即 nnnnnn2122232? ?nnkk1 (2.701) 時(shí)，求Tn的條件極值問(wèn)題。運(yùn)用大家所熟知的拉格朗日乘子法，有 ?Tnfnnii?0 (2.702) 其中f為約束條件 ?011?kknnnnnf (2.703) 考慮到TTijji?，則由式2.110可得 TntnTnn? ?llqppqkkeneeTen? ?kpkpqlqlnTn ?nTnppqq (2.704) 將上式代入式2.702，則 ?Tnfnnii? ?1?kkiqpqpinnnnTnn? ?nnTnnTnnnnnpipqqppqqikik2 ?pip

28、qqppqqikikTnnTn2 ?02?iqiqnnT? (2.705) 或?qū)懗刹蛔冃孕问?，?Tnn? (2.706) 或 ?0?nIT? (2.707) 寫(xiě)成展開(kāi)形式，則為 ?0313212111?nTnTnT? ?0323222121?nTnTnT? 87 ?0333232131?nTnTnT? (2.708) 上列方程中n具有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即 Tijij?0 (2.709) 或 ?312230?III (2.710) 其中 ITTTTtrTii1112233? (2.711) ITTTTTTTTTTTT2111221221113313322233233?

29、?ijjjiiTTT?21 ?2221trTtrT? (2.712) ITTTTTTTTTTTij3111213122223313233?det (2.713) 這里I1，I2，I3是應(yīng)力張量T的三個(gè)主不變量，分別稱(chēng)為第一、第二、第三應(yīng)力不變量。方程的解?1，?2，?3為特征值，n1，n2，n3為特征矢量。其中若?ij?，則nnij?。 事實(shí)上，在ni方向上法向應(yīng)力值就是ni所對(duì)應(yīng)的特征值。將式2.706與ni點(diǎn)乘，得 ?iiiiiiiinnnTntn? (2.714) 則?i就是ni方向上的應(yīng)力，稱(chēng)為主應(yīng)力，而ni稱(chēng)為主方向，主方向所確定的平面稱(chēng)為主平面。 若ni和nj不兩個(gè)不同的主方向?j

30、i?，則在ni面上nj方向的剪應(yīng)力Tij為 TnTnnnijijiij?0 (2.715) 故主應(yīng)力平面上的剪應(yīng)力為零。若以(n1，n2，n3)為坐標(biāo)單位基矢量，并令?iiT?，則應(yīng)力張量矩陣具有下列形式： ?321000000TTTT (2.716) 即 TTnniii? (2.717) 現(xiàn)在我們來(lái)討論最大剪切應(yīng)力問(wèn)題。為了計(jì)算方便，不妨將坐標(biāo)系選取在主方向上，即取(e1，e2，e3)為主方向。設(shè)n是通過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)的某一平面的單位法向矢量，則 nnenenenekk?112233 (2.718) 作用于該平面的應(yīng)力矢量分量為 tnTneTeekkiii? (2.719) nTenTekikiiiii? (2.720) 在該平面上的法向應(yīng)力為 88 TtnnTeneniiijj? ?nnTijiij? 2iinT? (2.721) 若