山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略幾何分冊(cè)第31章曼海姆定理

1、第31章曼海姆定理曼海姆定理一圓切的兩邊、及外接圓于點(diǎn)，則必通過(guò)的內(nèi)心（還可證內(nèi)心為的中點(diǎn)）證法l如圖，設(shè)已知圓與的外接圓的圓心分別為，的中點(diǎn)為，則，三點(diǎn)共線設(shè)直線交于點(diǎn)，注意到、共線，記過(guò)點(diǎn)的直徑的另一端點(diǎn)為，則由相交弦定理，有由，有注意到，得作的直徑，由，有由、，并注意，知又為弧的中點(diǎn)，于是，知為的內(nèi)心，且在上證法2如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)，的圓交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則由（為與的交點(diǎn)），知設(shè)直線交于點(diǎn)，則知為的中點(diǎn)（讀者可自證或參見(jiàn)下面的證法4）同理，知為的中點(diǎn)，從而的內(nèi)心為與的交點(diǎn)又由，知由，知于是，知與位似，且為位似中心故在直線上證法3同證法1所設(shè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則平分及弧設(shè)，分別為，的半徑此時(shí)，

2、點(diǎn)關(guān)于的冪為，且，則設(shè)交于，則于是，由三角形內(nèi)心的判定知為的內(nèi)心且在直線上證法4如圖，設(shè)直線交的外接圓于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則點(diǎn)平分（也可這樣證：過(guò)點(diǎn)作公切線，由，有)設(shè)直線交的外接圓于點(diǎn)，同理，知平分在圓內(nèi)接六邊形中，應(yīng)用帕斯卡定理，知三雙對(duì)邊與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)，與的交點(diǎn)三點(diǎn)共線，而為為內(nèi)心，則知內(nèi)心在上（若注意到，的平分線交于其中點(diǎn)，即知為中點(diǎn)）下面給出定理的應(yīng)用實(shí)例例l（數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問(wèn)題1163）已知與內(nèi)切于點(diǎn)，上的任意一點(diǎn)，弦，切于，弦過(guò)且交于，交于求證：證明如圖31-2，聯(lián)結(jié)，由曼海姆定理，知為的內(nèi)心，從而由，知亦有從而故例2（2003年土耳其數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知一個(gè)圓與的邊，相切，也和的外接

3、圓相切于點(diǎn)若是的內(nèi)心，證明：證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立，不妨設(shè)如圖，過(guò)點(diǎn)作公切線，設(shè)已知圓圓心為，它與邊，分別切于點(diǎn)，由曼海姆定理，知在上，且為中點(diǎn)顯然，三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)，則，且從而，即有注意：到故例3（2004年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題）設(shè)與的外接圓內(nèi)切并與邊、相切的圓為，記為圓的半徑，類(lèi)似地定義，是的內(nèi)切圓的半徑，證明：證明如圖，設(shè)圓上與，分別切于點(diǎn)，由曼海姆定理知的內(nèi)心在上，即的中點(diǎn)為其內(nèi)心設(shè)的圓心為，則同理，同理，注意到，即因此，故例4（2006年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題）從上任取，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)且與相切過(guò)點(diǎn)作不同于的的切線，點(diǎn)是與的不同于點(diǎn)的交點(diǎn)，設(shè)的的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)且與線段相

4、切求證：與相切證明如圖，設(shè)，分別與直線（即弦）相切于點(diǎn)，則由曼海姆定理知的中點(diǎn)為的內(nèi)切圓圓心，從而點(diǎn)在的平分線上延長(zhǎng)交于于點(diǎn)，則為優(yōu)孤的中點(diǎn)令與內(nèi)切于點(diǎn)，由圓與圓相切的性質(zhì)5知，、共線，從而知為優(yōu)弧的中點(diǎn)設(shè)與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由，知于是有聯(lián)結(jié)、，由，知，即有，以及于是，有由知，即知為線段的中點(diǎn)從而，以為圓心，為半徑的圓過(guò)點(diǎn)，且即切于點(diǎn)故知與重合，即與內(nèi)切于點(diǎn)下面再看定理的演變及應(yīng)用例5(試題)在中，邊，有一個(gè)圓內(nèi)切于的外接圓，并且與，分別相切于，求證：，兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心顯然，這是曼海姆定理的特殊情形該定理的4種證明都可移過(guò)來(lái)證明該題，下面，另給一種特殊證法證明如圖，設(shè)已知圓與的外接圓內(nèi)

5、切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)顯然，在直線上，且為的中點(diǎn)考慮以為中心的位似變換，以為圓心的圓經(jīng)過(guò)位似變換后變?yōu)榈膬?nèi)切圓因此，只需證明的像是即可，亦即證即可事實(shí)上，這由即得若考慮定理的逆命題，則有例6（1992年臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題）如圖，設(shè)是的內(nèi)心，過(guò)作的垂線分別交邊，于點(diǎn)、求證：分別與、相切于點(diǎn)，的圓必與的外接圓圓相切證明延長(zhǎng)交圓于，設(shè)圓的半徑為，則點(diǎn)對(duì)圓的冪為于是， 因?yàn)?，所以從而，因此，圓與圓相切下面，考慮定理的推廣，則有例7如圖，設(shè)為的邊上一點(diǎn)，一圓切的邊，分別于，點(diǎn)，又與的外接圓內(nèi)切于點(diǎn)，則必通過(guò)的內(nèi)心顯然，當(dāng)與重合時(shí)，此例即為曼海姆定理證明設(shè)直線，分別交的外接圓于，過(guò)作公切線，如圖6由，

6、知聯(lián)結(jié)，分別交已知小圓于，亦可證，即知，從而推知為的中點(diǎn)亦即平分設(shè)直線交于點(diǎn)由，知從而，由，知，四點(diǎn)共圓設(shè)直線交圓于，則，于是，注意到可證得平分，有，由弦切角定理的逆定理，知與相切于是，由，知由內(nèi)心的判定結(jié)論知為的內(nèi)心，且在上故必通過(guò)的內(nèi)心（為上一點(diǎn)時(shí)，同樣可證結(jié)論成立）例8（2007年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題）凸四邊形內(nèi)接于圓，與邊相交的一個(gè)圓與圓內(nèi)切，且分別與，相切于點(diǎn)，求證：的內(nèi)心與的內(nèi)心皆在直線上證明如圖，設(shè)與交于點(diǎn)對(duì)而言，在上，已知圓與，分別切于點(diǎn)，由例6的結(jié)論，知的內(nèi)心必在直線上同理，的內(nèi)心必在直線上注：在圖中，設(shè)兩圓內(nèi)切于點(diǎn)，直線，分別交圓于，點(diǎn)，則可推證，分別為弧，的中點(diǎn)，且可推證

7、（可參見(jiàn)例7的證明）若利用這個(gè)結(jié)論，再去掉內(nèi)部的小圓，則得到如下競(jìng)賽題：例9（2011年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題）如圖，設(shè)是銳角外接圓上弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上，是弧的中點(diǎn)，是弧上一點(diǎn)直線交交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)證明：若，則的內(nèi)心在直線上證明如圖，過(guò)點(diǎn)作圓的切線由，知，由弦切角定理的逆定理，知過(guò)、三點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)亦即該圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，因?yàn)榛〉闹悬c(diǎn)，知注意到，有由弦切角定理的逆定理，知過(guò)，三點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)同理，過(guò)，三點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)聯(lián)結(jié)，則圖變成了圖的情形，于是由例8的結(jié)論知本題結(jié)論成立例10（例2的推廣）如圖，已知與內(nèi)切（在的內(nèi)部）于點(diǎn)，點(diǎn)，在上分居兩側(cè)，過(guò)，分別作的切線（與在直線

8、異側(cè)）交于點(diǎn)若的內(nèi)心為， 則證明如圖，設(shè)，分別與切于點(diǎn)，與直線，的另一交點(diǎn)分別為，直線，分別與交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，分別與交于點(diǎn)，則由例7的證法及結(jié)論，知為的內(nèi)心，為的內(nèi)心過(guò)點(diǎn)作公切線，則，于是，知，四點(diǎn)共圓注意到，分別平分，知、三線共點(diǎn)于，且，即有，四點(diǎn)共圓于是，五點(diǎn)共圓同理，五點(diǎn)共圓故例11(塞巴爾特定理）設(shè)是的邊上任意一點(diǎn)，是的內(nèi)心，與，均相切，同時(shí)與的外接圓相切；與，均相切，同時(shí)與的外接圓相切，則，三點(diǎn)共線證明如圖，設(shè)與，分別切于點(diǎn)，與，分別切于點(diǎn)，由例6的結(jié)論，知直線與的交點(diǎn)即為的內(nèi)心注意到，則知從而，知為的直徑又為的直徑，所以點(diǎn)對(duì)與的冪相等因而點(diǎn)在與的根軸上同理，點(diǎn)也在與的根軸上因此，直線即為與的根軸故點(diǎn)在這兩圓的根軸上，亦即，三點(diǎn)共線練習(xí)題三十一1（2008年四川省競(jìng)賽題）已知與的邊，分別相切于和，與的外接圓內(nèi)切于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：2與的邊，分別切于點(diǎn)，又與的外接圓內(nèi)切于點(diǎn)，不含點(diǎn)的弧，的中點(diǎn)分別為，設(shè)的外接圓與的外接圓的第二個(gè)交點(diǎn)為，求證：四邊形為平行四邊形給出本章如下例題的另證3（2006年第18屆亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題）從上任取，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)且與相切，過(guò)點(diǎn)作不同于的的切線，點(diǎn)是與的不同于點(diǎn)的交點(diǎn)設(shè)是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)且與線段相切，求證：與相切4設(shè)為的邊上一點(diǎn)，一圓切的兩邊，于點(diǎn)，又知的外接圓內(nèi)切于點(diǎn)，則必通過(guò)的內(nèi)心5（2007年國(guó)家集