2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校：班級:姓名:學(xué)號:一、填空題（共12小題）1.若集合 A=x|0v xv 3,集合 B=x|xv2,則 AAB =.9 22 . lim ?= rr* +13 .復(fù)數(shù)z滿足z?i = 1+i （i為虛數(shù)單位），則|z| =.4 .若關(guān)于x、y的方程組為“4y 1 ,則該方程組的增廣矩陣為 5 .設(shè)an是等差數(shù)列，且 ai = 3, a3+a5= 18,則 an=.6 .在（x+ 4 6的二項展開式中，常數(shù)項為 .7 .如果圓錐的底面圓半徑為1,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為 8.已知集合A= -2, - 12, 3,任取kCA,則哥函數(shù)f （x）

2、=xk為偶函數(shù)的概率為（結(jié)果用數(shù)值表示）.9 .在 ABC中，邊a、b、c滿足a+b=6, / C=120° ,則邊 c的最小值為10 .若函數(shù)y= ax+2a-二存在零點，則實數(shù) a的取值范圍是 .皂 I11 .已知數(shù)列an, a=1, nan+1 = （n+1） an+1,若對于任意的 aQ2, 2, nCN*,不等式n + 1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為飛 一 .12.如果方程組sinx 七5.11叼+1七11/三0sinx +2sin£+，J+nsinXn=2019有實數(shù)解，則正整數(shù) n的最小值是、單選題(共4小題)13 .若命題甲：x- 1=0,命題乙：lg2x-

3、lgx = 0,則命題甲是命題乙的()A .充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分也非必要條件14 .已知函數(shù)f 1 (x)為函數(shù)f (x)的反函數(shù)，且函數(shù) f (x- 1)的圖象經(jīng)過點(1,1),則函數(shù)f 1 (x)的圖象一定經(jīng)過點()A. (0, 1)B. (1, 0)C. (1, 2)D. (2, 1),且長軸為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(16.動點A (x, y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點作逆時針勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)一周的時間恰好是12秒，已知時間t=0時，點A的坐標(biāo)是,則動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t (單位：秒)的函數(shù)在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞增()A. 0, 3B. 3, 6C.

4、 6, 9D. 9, 12、解答題(共5小題)17.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SDL平面ABCD, SD=AD=a，點E是線段SD上任意一點.(1)求證：ACXBE;(2)試確定點E的位置，使BE與平面ABCD所成角的大小為3018 .已知函數(shù) f 二2s呂4V口2工(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在 ABC 中， 應(yīng)施迅 若函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過點(B, 2),求 ABC的面積.1.8萬元，在當(dāng)?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?dǎo)19 .某貧困村共有農(nóng)戶100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為下，村委會決定2020年初抽出5x戶(xCN*, x< 9)從事水果

5、銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶平均每戶年收入比上一年提高了4x%,而從事水果銷售的農(nóng)戶平均每戶年收入為(1)為了使從事水果種植的農(nóng)戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬元，那么2020年初至少應(yīng)抽出多少農(nóng)戶從事水果銷售工作?(2)若一年后，該村平均每戶的年收入為f (x)(萬元)，問f (x)的最大值是否可以達(dá)到2.1萬元?20 .已知曲線C: x2-y2=1,過點T (3 0)作直線l和曲線C交于A、B兩點.(1)求曲線C的焦點到它的漸近線之間的距離；(2)若t = 0,點A在第一象限，AHx軸，垂足為H,連結(jié)BH,求直線BH傾斜角的取值范圍；(3)過點T作另一條直線 m, m和曲線

6、C交于E、F兩點，問是否存在實數(shù) t,使得族而=0和筋|=|麗|同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數(shù)t的取值集合，如果不存在，請說明理由.21 .定義f(a1,a2,，an)=|a1 - a2|+|a2-a3|+|an-1-an|(n CN,n>3)為有限實數(shù)列an的波動強(qiáng)度.(1)求數(shù)列1, 4, 2, 3的波動強(qiáng)度；(2)若數(shù)列 a, b, c, d 滿足(a - b) (b - c) >0,判斷 f (a, b, c, d) w f (a, c, b, d)是否正確,如果正確請證明，如果錯誤請舉出反例；(3)設(shè)數(shù)列a1，a2,，an是數(shù)列 1+21, 2+22,3+23,，

7、n+2n 的一個排列,求 f(a1，a2,，an)的最大值，并說明理由.2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案一、填空題(共12小題)1 .【分析】進(jìn)行交集的運算即可.【解答】解：. A=x|0vxv 3, B=x|xv 2, .An B= (0, 2).故答案為：(0, 2).【知識點】交集及其運算2.【分析】【解答】利用數(shù)列的極限的運算法則化簡求解即可.解:口 2 lim5 nTaWn +1故答案為：3【知識點】數(shù)列的極限3.【分析】先求出復(fù)數(shù)z,然后利用求模公式可得答案.【解答】解：由iz=1+i得，-二=1 -i,1 1 (-1)故|z尸血， 故答案為：死.4.【分析】【解答

8、】【知識點】復(fù)數(shù)求模直接利用方程組的應(yīng)用和矩陣的應(yīng)用求出結(jié)果.|fK+y=l解：關(guān)于x、y的方程組為x-y=2所以該方程組的增廣矩陣為 1 1故答案為1 1 11U -1 2J【知識點】幾種特殊的矩陣變換5.【分析】結(jié)合已知及等差數(shù)列的通項公式可求d,進(jìn)而可求通項公式.【解答】解：: an是等差數(shù)列，且ai=3, a3+a5=l8,-2ai+6d=i8,d= 2,貝U an= 3+2 ( n - 1) = 2n+1 .故答案為：2n+1【知識點】等差數(shù)列的通項公式6.【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的哥指數(shù)等于0,求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項.3r解：(x+Wr) 6的二項

9、展開式中，通項公式為Tr+1 = c5?v之，令6-2二=0,可得r = 4,Vyb215故展開式中的常數(shù)項為故答案為：15.【知識點】二項式定理7 .【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解.【解答】 解：由圓錐的側(cè)面積公式 S=yLR=X (2<) X R=Xx2TtX 1X2=2兀.故答案為：2?！局R點】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積8 .【分析】基本事件總數(shù)n=8,備函數(shù)f(x) = xk為偶函數(shù)包含的基本事件個數(shù)m=2,由此能求出哥函數(shù)f (x) =xk為偶函數(shù)的概率.【解答】 解：集合A= - 2, - 1,-二，二，亍，1, 2, 3,任取k£A, 士 O 上基本事

10、件總數(shù)n= 8,哥函數(shù)f (x) = xk為偶函數(shù)包含的基本事件個數(shù)m=2,哥函數(shù)f (x) =xk為偶函數(shù)的概率為 P=2L=Z二.n 8 4故答案為：二.4【知識點】古典概型及其概率計算公式9 .【分析】由基本不等式mb< (且當(dāng))'可求ab的最大值，然后結(jié)合余弦定理即可求解c的最值.【解答】解：a+b=6, /C=120° ,批<(亭)憶9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，由余弦定理可得，c2 = a2+ b2 - 2ab x cos120 ° ,=a a+b) 2- ab,= 36-ab>36 -9=27,一二七.：則邊c的最小也3百.故答案為：標(biāo)

11、.【知識點】余弦定理10.【分析】根據(jù)題意，分析可得若函數(shù)y=ax+2a-J _/存在零點，則函數(shù)y= a(x+2)與v= 1-x有交點，分析兩個函數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案.【解答】 解：根據(jù)題意，若函數(shù) y=ax+2a-江；M存在零點，即方程 ax+2a - x 2 =0有解,則函數(shù)y=a (x+2)與y =函數(shù)y=a (x+2),其幾何意義為直線 y=a (x+2),過點(0, -2),斜率為a的直線,五二五 變形可得x2+y2=1, (y>0),為圓x2+y2 = 1的上半部分,如圖:必有解可得：0Waw«,即a的取值范圍為0,【知識點】直線與圓的

12、位置關(guān)系11.【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式化簡，通過累加法求出數(shù)列的通項公式，得到最大值，然后求解 的范圍即可.an + 1 ,an-J 11-二，n n-1 nT nan+l 11n+1 n n (n+1)累加可得n+1n+1 3- a?2t>2,即 a?2tw 1, aq - 2, 2,2?2y 1? t< - 1.故答案為：(-0°, 1. 【知識點】數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)列遞推式12 .【分析】442= 1936, 452= 2025,進(jìn)而從n= 89開始分析求解.【解答】 解：.442= 1936, 452=2025, 從 n=89 開始分析，當(dāng) n=89, (s

13、inx1+2sinx2+ -+nsinxn) max= - 1- 2- 3 44+45X 0+46+47+ +89= 1980當(dāng) n = 90, (sinx1+2sin x2+, + nsinxn) max= - 12 345+46+47+90= 2025當(dāng) sinx1+2sinx2+ - +nsinxn= - 1 - 2- 3 42 43X 0 44X 0 45+46X 0+47 X 0+48+49+90 = 2019 時，nmin = 90, 故答案為：90【知識點】不定方程和方程組二、單選題(共4小題)13 .【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.【解答】 解：若命題甲：

14、x- 1 = 0,命題乙：lg2x-lgx=0,若命題甲：x- 1=0,則 x= 1, lg2x- lgx =lg21- lg1 = 0, 則命題甲：x- 1 = 0,能推出命題乙：lg2x- lgx = 0,成立；若命題乙：lg2x-lgx= 0,貝Ulgx (lgx -1)=0,所以 lgx= 0 或lgx= 1,即x=1 或 x=10;命題乙：lg2x- lgx = 0,不能推出命題甲：x-1 = 0成立，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷.命題甲是命題乙的充分非必要條件； 故選：A. 【知識點】充要條件14 .【分析】由函數(shù)y=f (x- 1)的圖象必經(jīng)過點(1,1),推出f (

15、x)的圖象經(jīng)過點(0, 1),根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對稱性知，函數(shù)f1 (x)的圖象一定經(jīng)過點，從而解決問題.【解答】 解：因為函數(shù)f (x-1)的圖象經(jīng)過點(1, 1),所以f (x)的圖象經(jīng)過點(0, 1), 所以函數(shù)f1 (x)的圖象一定經(jīng)過點(1,0)點， 故選：B. 【知識點】反函數(shù)15 .【分析】由拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，可得橢圓半焦距c,又長軸為4,得a=2,由隱含條件求得b,則橢圓方程可求.【解答】 解：拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為F (1, 0),，所求橢圓的右焦點為（1, 0）,即c= 1,又 2a= 4,，a=2,貝U b2= a2 c2=4 1 = 3.22，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

16、程為43故選：C.【知識點】圓錐曲線的綜合16.【分析】由已知求出動點 A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t （單位：秒）的函數(shù)為:.兀y= sin （- - x+66）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，動點 A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t （單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.A= 1,【解答】 解：二.動點A （x, y）在圓x2+y2 = 1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，故 12秒旋轉(zhuǎn)一周，故 T=12, 3=f-,時間t=o時，點a的坐標(biāo)是（M3,）,故4=2L；226故動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t （單位：秒）的函數(shù)為：y= sin （JLx+匚）,66由一2L+2kTtW_2Lx+2L<2L+2k7t, kez 得：xq2

17、+12k, 2+12k, kZ, 2662TT TT即函數(shù) y=sin （,一x+）的單調(diào)增區(qū)間為-4+12k, 2+12k, kCZ,66k= 0, -4.2,k= 1, 8, 14.故選：D.【知識點】已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題三、解答題（共5小題）17.【分析】（1）連結(jié)BD,推導(dǎo)出 ACXBD, ACXSD,從而 AC,平面SBD,由此能證明 ACXBE.（2）設(shè)DE = t,由SDL平面 ABCD,得BE與平面 ABCD所成角為/ EBD .由tan/ EBD = tan30° =-y=,解得t=a-從而當(dāng)ED=a時，BE與平面ABCD所成角的大 小為30° .【

18、解答】 解：（1）證明：連結(jié) BD,二四邊形ABCD為正方形，AC± BD,又SDL平面 ABCD, AC?平面 ABCD, ACXSD. BDA SD=D,，AC，平面 SBD.又 BE?平面 SED, ACXBE.（2）解：設(shè) DE=t, .SDL平面 ABCD, BE與平面ABCD所成角為/ EBD .在 RtAEDB 中，由 tan/EBD = tan30° =,解得 t=a.V2a 3，當(dāng)ED=*£a時，BE與平面ABCD所成角的大小為30° .【知識點】直線與平面垂直的判定、直線與平面所成的角18.【分析】(1)根據(jù)二倍角的余弦公式及兩角和的

19、正弦公式可得出f lx) =2sin(2x'*"" 0)+1 ,從而得出f (x)的最小正周期為 兀，解今"4四"即可得出f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)根據(jù)條件可得出sm(郎根據(jù)B的范圍即可求出 B=.共3即可求出 ABC的面積.【解答】 解：(1) f(k) =cas2i + l-h/3sin2.f (x)的最小正周期為等十盆冗24普"k冗得,Zo 2十仁河十k五k k2,，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 -JT - TT鏟門，4門，底乙n、”;2(2) f (x)的圖象經(jīng)過點(B, 2),且 0VB v Tt,解得O1I氏 I Iba

20、 |=&|BC I |BA| = 12.ABC的面積為【知識點】三角函數(shù)的周期性及其求法、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律19.【分析】(1)根據(jù)增長率問題可列出L&(1哇)3)2. 4,進(jìn)而求得x的最小值即可; 25(2)根據(jù)題意可知式必=5i(3-i)+L 8X (1005i)100,化成二次函數(shù)形式,根據(jù)對稱軸可求出最大值.【解答】解：(1)根據(jù)題意，經(jīng)過三年，種植戶的平均收入為1.8 (1+4x%) 3,x>2.5161戶2.4,解得又因為xCZ,所以x>3,即至少抽出15戶貧困農(nóng)戶從事水果銷售工作;工十 12。)(宜E N*,工(-9) 占JJp對稱軸生N*

21、，因而當(dāng)x=5時，f (x) max=2.12>2.1,可以達(dá)到2.1萬元.s 34 " |【知識點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型20.【分析】(1)求出曲線C的焦點為0), fs(72i 0),漸近線方程y=±x,然后求解焦點到它的漸近線之間的距離.(2)設(shè) l: y=kx (0vkv 1), A (x1，巾)，B( - xi, yi), H (xi, 0),求出-士.然2z 2 2后求解范圍.(3)當(dāng)直線l: y=0,判斷結(jié)果；設(shè)l: y=k (x-t) (kw0),與雙曲線聯(lián)立可得(1-k2) x2+2k2tx- (1 + k2t2) =0,利用弦長公式，求出 AB

22、, EF,然后求解t,得到結(jié)果.【解答】解：(1)曲線C的焦點為F (近/0)( F/人 0),漸近線方程y=±x,由對稱性，不妨計算人& 0)到直線y=x的距離，=.2-V2(2)設(shè) l： y=kx (0<k< 1), A (x1，y)，B ( x1， y1)，H (x1，0),又因為點A在第一象限，所以0vkv 1,從而kBHe co,巨，所以直線BH傾斜角的取值范圍是CO, arctaj),(3)當(dāng)直線 l： y=0,直線 m： x ="出二2,pg,，當(dāng)直線l: x= t,直線m： y=0時，|t=±d2 (根據(jù)對稱性，這種不討論不扣分

23、)不妨設(shè) l:y= k(x-t)(kw 0),與雙曲線聯(lián)立可得(1 - k2)x2+2k2tx-(1 + k2t2)= 0,由弦長公式， I AB | = TH一7H 2" "卜:G,H-k2|H-k2|將k替換成'EF|=22Ik2-l|由 |AB|=|EF|,可彳導(dǎo) t t2- 1) k2+1=t2- 1 + k2, 解得 t2= 2,此時= 4 (k2t2 - k2+1) > 0 成立.因此滿足條件的集合為，血.【知識點】直線與雙曲線的位置關(guān)系21.【分析】(1)套定義直接求解即可；(2)解法1直接按定義求解，再根據(jù)絕對值里面的正負(fù)即可判斷；解法2假設(shè)a

24、>b>c,分d與a, b, c的大小討論四種情況依次去絕對值符號即可得出結(jié)論；(3)設(shè)匕2德' kiwn, bn是單調(diào)遞增數(shù)列.分 n是奇、偶數(shù)情況討論，依次求其最大值即可.【解答】解：(1) f(1, 4, 2, 3) = |1-4|+|4-2|+|2-3|=6(2) f (a, b, c, d) wf (a, c, b, d)是正確的；解法 1 ： f (a, b, c, d) - f (a, c, b, d) = |a - b|+|c- d|- a - c|- |b - d|,a> b> c 或 a< b< c,|a - b|- |a - c|

25、= - |b - c|, |c- d|- |b- d|< |b- c|所以 f (a, b, c, d) f (a, c, b, d) < 0,即 f (a, b, c, d) w f (a, c, b, d)并且當(dāng)b>c時，d>b可以取等號，當(dāng) c>b時，若dwb可以取等號，所以等號可以取到；解法2：不妨設(shè)a>b>c,分4種情況討論1若 d>a,貝 Uf(a,b, c, d) f (a,c,b, d)= (a b)+ (d c) (a c) (d b)=0, f (a, b,c,d) = f (a, c, b,d);2若 a>d>b

26、,貝 Uf(a,b,c,d) f(a,c,b,d)= (a b)+(d c)(a c)(d- b) =0, . f (a, b, c, d) =f(a, c, b, d);3若 b>d>c,貝 Uf(a,b,c,d) f(a,c,b,d)= (a b)+(d c)(a c)(b- d) = 2(d -b) <0,，f(a, b,c,d)vf(a,c,b, d);4若 c>d,貝 Uf(a,b,c,d)f(a,c,b,d)= (a b) + (c d) (a c) (b d)=2 (c- b) < 0, . f (a, b, c, d) v f (a, c, b, d); 設(shè)b/i+Z1，1wiwn, bn是單調(diào)遞增數(shù)列.分n是奇、偶數(shù)情況討論f(a1，a2,，an)=x1a1+x2a2+xnan