雙曲線的漸近線和離心率

1、第34練雙曲線的漸近線和離心率題型一雙曲線的漸近線問題例1(2013·課標全國)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x破題切入點根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關系，進而求出漸近線答案C解析由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2，知bk.所以.即漸近線方程為y±x.故選C.題型二雙曲線的離心率問題例2已知O為坐標原點，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F，以OF為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A，B，若()·0

2、，則雙曲線的離心率e為()A2 B3C. D.破題切入點數(shù)形結合，畫出合適圖形，找出a，b間的關系答案C解析如圖，設OF的中點為T，由()·0可知ATOF，又A在以OF為直徑的圓上，A，又A在直線yx上，ab，e.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題例3已知A(1,2)，B(1,2)，動點P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_破題切入點先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓)，再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系，進一步列出關于離心率e的不等式進行求解答案(1,2)解析設P(x，y)，由題設條件，得動點P的軌跡為(

3、x1)(x1)(y2)·(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.總結提高(1)求解雙曲線的離心率的關鍵是找出雙曲線中a，c的關系，a，c關系的建立方法直接反映了試題的難易程度，最后在求得e之后注意e>1的條件，常用到數(shù)形結合(2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法由y±x±00，所以可以把標準方程1(a>0，b>0)中的

4、“1”用“0”替換即可得出漸近線方程雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數(shù)據(jù)，由于，當e逐漸增大時，的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大1已知雙曲線1(a>0，b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為()A2或 B.或C2或 D.或答案A解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則或.則e 或2，故選A.2已知雙曲線C：1 (a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為()A. B. C2 D3答案

5、A解析取雙曲線的漸近線yx，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點H的坐標為，則F2H的中點M的坐標為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e，故應選A.3(2014·綿陽模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，圓C的標準方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)，a2

6、b29.由得a25，b24.雙曲線的標準方程為1.4已知雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A(1，1) B(1，)C(，) D(1，)答案A解析根據(jù)正弦定理得，由，可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.因為e>1，所以|PF1|>|PF2|，點P在雙曲線的右支上又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，解得|PF2|.因為|PF2|>ca(不等式兩邊不能取等號，否則題中的分式中的分母為0，無意義)，所以>ca，即>e1，即(e1)2&

7、lt;2，解得e<1.又e>1，所以e(1，1)5(2014·湖北)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A. B.C3 D2答案A解析設|PF1|r1，|PF2|r2(r1>r2)，|F1F2|2c，橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得所以.令m，當時，mmax，所以()max，即的最大值為.6(2014·山東)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C

8、2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()Ax±y0 B.x±y0Cx±2y0 D2x±y0答案A解析由題意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得±，.令0，解得bx±ay0，x±y0.7若橢圓1(a>b>0)與雙曲線1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為_答案(0,1)解析可知e1，e1，所以ee2>2e1e10<e1e2<1.8過雙曲線1 (a>0，b>0)的左焦點F作圓x

9、2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線的右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為_答案解析設雙曲線的右焦點為F，由于E為PF的中點，坐標原點O為FF的中點，所以EOPF，又EOPF，所以PFPF，且|PF|2×a，故|PF|3a，根據(jù)勾股定理得|FF|a.所以雙曲線的離心率為.9(2014·浙江)設直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_答案解析雙曲線1的漸近線方程為y±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中點C坐標為(，)設直線l：x3y

10、m0(m0)，因為|PA|PB|，所以PCl，所以kPC3，化簡得a24b2.在雙曲線中，c2a2b25b2，所以e.10(2013·湖南)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率為_答案解析不妨設|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.又在PF1F2中，PF1F230°，由正弦定理得，PF2F190°，|F1F2|2a，雙曲線C的離心率e.11P(x0，y0)(x

11、0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值解(1)點P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意又有·，可得a25b2，c2a2b26b2，則e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)則設(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(

12、x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由(1)可知c26b2，由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240，解得0或4.12(2014·江西)如圖，已知雙曲線C：y21(a>0)的右焦點為F.點A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標原點)(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點M，與直線x相交于點N.證明：當點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值解(1)設F(c,0)，直線OB方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B(，)又直線