2018寒假半角模型

1、半角模型過等腰 ABC（AB=AC頂角A引兩條射線且它們的夾角為/A,這兩條射線 與底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于 M、N兩點(diǎn)，貝U BM、MN、NC之間必然存在固定的 關(guān)系，這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角 A相關(guān)解決辦法：以A為中心，把 CAN （順時(shí)針或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)a度，至 ABN,連接MN ' 結(jié)論：、 AMNAAMN，MN=MN'2、若BM、MN、N '洪線，則存在x+y+z型的關(guān)系若不共線，則 BMN中，/ MB必與/A相關(guān)應(yīng)用環(huán)境：1、 頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30° 45°、60°、75° 90°,或它

2、們的補(bǔ)角為這些特殊角度的時(shí)候；2、正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形3、過底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條角平分線、腰上的高、底角的 鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或菱形的另外兩邊4、此等腰三角形的相關(guān)弦半角模型1 a =_ B且日 + Y =180°.條件： 2思路：（1）、延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的線段（延長(zhǎng)CD到E，使ED=BM連AE或延長(zhǎng)CB到F，使FB=DN,連AF ）E結(jié)論： MN=BM+DN C餉n =2AB am AN分別平分/ BMN和/ DNM（2）對(duì)稱（翻折）思路:分別將 ABM和厶ADN以AM和AN為對(duì)稱軸翻折，但一定要證明 M、P、N三點(diǎn)共

3、線（/B+ / D=1800且AB=AD）例題應(yīng)用：例1、在正方形ABC呼，若M N分別在邊BC CD上移動(dòng)，且滿足MN=BMDN求證：/MAN= 45： C mn 2AB .AM AN分別平分/ BMN和/ DNM.思路同上略.例2拓展：在正方形 ABCD中，已知/ MAN= 45 ,若M N分別在邊 CB DC勺延長(zhǎng)線上移動(dòng)， .試探究線段MN BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH例3在四邊形 ABCDK ZB+Z D=180 , AB=AD，若E、F分別在邊1 NEAF =NBAD.BC CDLh,且滿足 EF=BE+DF.求證：2（提示）B例 4,在厶 ABC中，AB=AC

4、/ BAC=N DAE=120，若 BD=5 CE=8 求 DE例五.請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖 1在Rt ABC中，.BAC=90 , AB =AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上 兩動(dòng)點(diǎn)，若 DAE =45 探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把=AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED，使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1) 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式， 并對(duì)你的猜想給予證 明；(2) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,其它條 件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明.圖1

5、例6探究：(1) 如圖1,在正方形 ABCD中，E、F分別是BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM45°試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)(2) 如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)?在四邊形ABCD中，AB= AD,/ B+Z D1=180°, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且Z EAFZ BAD，貝U( 1)問中的結(jié)2論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；(3) 在(2)問中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BCCD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明R

6、EC圖L練習(xí)鞏固1如圖，在四邊形 ABC中, / B= ZD= 90 , AB=AD，若NEAFE、F分別在邊BG CD上的點(diǎn)，且=1 BAD.2.求證:EF=BEDF.（提示）練習(xí)鞏固2,已知：正方形ABCD中，.MAN =45，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它 的兩邊分別交CB DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn) M N.（1）如圖1,當(dāng).MN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM二DN時(shí)，有BM DN二MN .當(dāng).MN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM = DN時(shí)，如圖2,請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立， 請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng).MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣 的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你

7、的猜想，并證明.練習(xí)鞏固3(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,. B =. D=90 , E,F分別是1邊 BC,CD 上的點(diǎn)，且.EAF = . BAD .求證：EF =BE - FD ；2D(2)如圖在四邊形 ABCD中，AB二AD,. B+ . D =180，E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且.EAF氣.BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.DF(3) 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=AD，. B . ADC =180，E ,F 分別是邊 BC,CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且.EAF =1. BAD， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證2明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)

8、量關(guān)系，并證明.(4)如圖，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片 ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD 上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P,連接EP.(1)如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)， AEM的周長(zhǎng)=6 cm； 求證：EP=AE+DP ;(2 )隨著落點(diǎn) M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn) M不與A、D重合)， PDM的周長(zhǎng)是 否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由.(5).如圖17,正方形ABCD E、F分別為BC、CD邊上一點(diǎn).(1) 若/ EAF=40.求證：EF=BE+DF(2) 若/ AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/ EAF=45),問/CEF的周長(zhǎng)是否隨/ AEF位置 的變化

9、而變化？(3) 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,如果/ CEF的周長(zhǎng)為2 .求/ EAF的度數(shù).圖171練習(xí)鞏固 4.女口圖，五邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DE=EACAD =ZBAE，求 2/ BAE練習(xí)鞏固5.如圖，已知在正方形 ABCD中 NMAF4450，連接BD與 AM AN分別交于E、F兩點(diǎn)求證：（1） MN=MB+DN（2）點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長(zhǎng)；（3）CMN勺周長(zhǎng)等于正方形ABCDi長(zhǎng)的2倍;(4)SABCDSCMN2ABMN(5) 若 MAB=20。，求 AMN(6) 若 MAB 二:0 Y : Y： 45；，求 AMN(7) EF2 = EB2 DF ；(8

10、) AEN與AFM等腰三角形;(9) 弘二 1 oS AMN 2DNC練習(xí)鞏固 6.在等邊ABC的兩邊AB , AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M , N , D為ABC 外一點(diǎn)，且.MDN =60 , BDC =120 , BD =CD，探究：當(dāng)點(diǎn) M ,N 分別愛直線AB，AC上移動(dòng)時(shí),BM , BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系及.AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.CAD圖D圖(1) 如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB ,AC上，且DM二DN時(shí)，BM , NC , MN之間的數(shù)量關(guān)系式：此時(shí)Q =L(2) 如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB ,AC上，且DM =DN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論 還成立嗎？寫出你的

11、猜想并加以證明；(3) 如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N分別在邊AB ,CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN二x，則Q二 (用x，L表示)練習(xí)鞏固7.如圖所示， ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形， BDC是頂角為120° 的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的/ MDN點(diǎn)M N分別在AB, AC上,求 AMN勺周長(zhǎng)練習(xí)鞏固 8.如圖，在正方形 ABCD中, BE=3 EF=5, DF=4求/ BAE£ DCF為多少度。AXSC鞏固練習(xí)9、(三新練習(xí)冊(cè)P131)如圖1,RtAABC也RtA EDF，/ ACB=Z F=90°，/ A=Z E=30° . EDF繞著邊AB的中點(diǎn)

12、D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K.(1)如圖 2、圖 3,當(dāng)/CDF=0° 或 60°時(shí),AM+CKMK(填如圖 4,當(dāng)/CDF=30° 時(shí)，AM+CK_MK(只填“”“,“ 或“V”.)=)猜想：如圖1，當(dāng)0°<Z CDFv60°時(shí)，AM+CK結(jié)論.MK，證明你所得到的(3)如果MK2 CKAM2，請(qǐng)直接寫出/ CDF的度數(shù)和 坐 的值.圖1圖3*必會(huì)結(jié)論 圖形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD , E、F分別在邊BC、CD上，且 EAF =45，AE、AF 分別交 BD 于 H、G，連 EF .一、全等關(guān)系（1）

13、求證： DF BE =EF ； DG2 BH =HG2 ； AE 平 分.BEF，AF 平分.DFE .、相似關(guān)系(2) 求證： CE =2DG ； CF =2BH ； EF h£2HG.(3 )求證： AB2 =BG DH ； AG2=BG HG ；BE DF 1CE CF "2 .三、垂直關(guān)系A(chǔ)B(4) 求證： AG _ EG ； AH _ FH ； tan. HCF 二竺.BE(5) 、和差關(guān)系求證： BG -DG hf2BE ; AD DF f ：；2DH ； |BE - DF F 2|BH - DG |.中考鏈接-正方形二相關(guān)題型-半角模型1, (2016石景山2

14、8) 在正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接BE(1) 請(qǐng)你在圖-1畫出 BEM,使得 BEM與ABEC關(guān)于直線BE對(duì)稱；(2) 若邊AD上存在一點(diǎn)F,使得AF+CE=E,請(qǐng)你在圖2中探究/ ABF與 / CBE的數(shù)量關(guān)系并證明；(3) 在(2)的條件下，若點(diǎn)E為邊CD的三等分點(diǎn)，且CE<DE請(qǐng)寫出求cos/ FED的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)答案1所示.備用圖(2) . ABF 與 CBE 的數(shù)量關(guān)系： ABF CBE =45 . 分 證明：連接BF，EF，延長(zhǎng)DC到G，使得CG=AF，連接BG3分四邊形ABCD為正方形，BA AB 二 BC，- A= BCD 二 ABC = 9

15、0 . IBAF BCG .F BF 二 BG， ABF 二 CBG . AF CE 二 EF， EF 二GE.分4G6ED BEFBEG ./ FBE =/ MBE = ABF CBE . ABFCBE =45 . 分5(3)求解思路如下：a .設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3a，AF為x，則E x a，DF = 3a - x ;b.在 RtAEFD 中，由 EF=DF 2 DE2從而得到X與a的關(guān)系2x = 3a ;c.根據(jù)cos, FED=D|=臭，可求得結(jié)果7分2, （2016門頭溝28） 在正方形ABCD中，連接BD.（1）如圖1, AE丄BD于E.直接寫出/ BAE的度數(shù).2）如圖1,在（1 ）

16、的條件下，將 AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到 AB'E； AB與BD交于M , AE'的延長(zhǎng)線與BD交于N. 依題意補(bǔ)全圖1; 用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（3）如圖2，E、F是邊BC CD上的點(diǎn)， CEF周長(zhǎng)是正方形 ABCD周長(zhǎng)的 一半，AE、AF分別與BD交于M、N,寫出判斷線段 BM、DN、MN之 間數(shù)量關(guān)系的思路.（不必寫出完整推理過程）ADBCEFA解：(1)Z BAE=45°1/ Q /7b|f TI2/( 4rrt |f A 分（2）依題意補(bǔ)全圖形（如圖1）；2分B M、 D N 和 MN之間的數(shù)量

17、關(guān)系是BM 2+ N D 2 = M N 2. 3分C門頭溝28.（本小題滿分7分）證明：如圖1,將厶AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得厶AFB./ ADB=Z ABD=45°./ FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90°由勾股定理得fB+bmJfm2.FB 圖1 C圖2/ ADB=Z FBA / 仁/ 3, DN=BF, AF=AN.正方形 ABCD, AE± BD,旋轉(zhuǎn) ABE 得到 AB'E',Z E'AB=45°,Z 2+Z 3=90° 45°=45°,又tZ仁Z

18、 3, Z 2+Z 仁45°.即 Z FAM=45°. Z FAM = Z E'AB=45°. 又VAM=AM, AF=AN, AFMA ANM. FM=MN .又 vfB2+BM2=FM2,DN 如圖3,當(dāng)/BA(=： , (0 < ： <90°) ,Z DAE= 時(shí)，BD DE、EC應(yīng)滿足的等量 關(guān)系是.【參考：sin2m+cos2a=1】+BM2=MN25分(3) 判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路如下：a.如圖2,將厶ADF繞點(diǎn)A瞬時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得厶ABG,推出DF=GB; 匕由厶CEF的周長(zhǎng)等于正方形 AB

19、CD周長(zhǎng)的一半，得 EF=DF+BEc.由 DF=GB和 EF=DF+BE推出 EF=GE,進(jìn)而得 AE3A AEF4. 由厶AEGA AEF推出/ EAF=Z EAG=45°e .與 同 理，可 證MN2 = BM2+DN2 . 7分3 (. 2016一模(1)如圖1,點(diǎn)E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn),/ EAF=45°,連接EF,貝U EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BEFD.連結(jié)BD, 交AE、AF于點(diǎn)M、N,且MN、BM、DN滿足MN 2二BM 2 DN 2，請(qǐng)證明這個(gè) 等量關(guān)系；(2)在厶ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn).圖1圖2如圖2,當(dāng)/ BAC=60°, / DAE=30°時(shí)，BD DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是5. (1)如圖， ABC中，.C =90 , AB的垂直平分線交 AC于點(diǎn)D,連接BD.若