2020-2021學(xué)年中考數(shù)學(xué)壓軸題的滿分攻略-相似三角形的存在性問題

1、相似三角形的存在性問題【真題典藏】1. （2008年上海市第25題）（本題滿分14分，第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分4分， 第（3）小題滿分 5分）已知 AB= 2, AD=4, / DAB= 90° ,AD/BC （如圖13）. E是射線 BC上的動(dòng) 點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），M是線段DE的中點(diǎn).（1）設(shè)BE= x, 4ABM的面積為v,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）如果以線段 AB為直徑的圓與以線段 DE為直徑的圓外切，求線段 BE的長；（3）聯(lián)結(jié)BD,交線段AM于點(diǎn)N,如果以A、N、D為頂點(diǎn)的三角形與 BME相似，求線段 BE 的長.圖1備用圖2. （

2、2009年閘北區(qū)第 25題）如圖2, 4ABC中，AB= 5, AC= 3, cosA= . D為射線 BA上的10點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），作DE/BC交射線CA于點(diǎn)E.（1）若CE= x, BD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;（2）當(dāng)分別以線段 BD, CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求 DE的長度;（3）當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn) F,使4ABC與4DEF相似？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖23. （2010年上海市第 25題）如圖3,在RtABC中，/ ACB= 90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊AC相交于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延

3、長，與線段 BC的延長線交于點(diǎn) P.（1）當(dāng)/ B=30°時(shí)，連結(jié)AP,若4AEP與4BDP相似，求 CE的長;（2）若 CE= 2, BD= BC,求/ BPD 的正切值；1(3)若tan BPD 設(shè)CE= x, ABC的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.34. (2011年上海市第5. (2014年上海市第25題)參見考典38由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第5題.24題)如圖6,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx (a>0)經(jīng)過點(diǎn) A和x軸正半軸上的點(diǎn) B, A0= B0= 2, / AOB= 120°(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)連結(jié)

4、0M,求/ AOM的大??；(3)如果點(diǎn) C在x軸上，且 ABC與AOM相似，求點(diǎn) C的坐標(biāo).圖6【滿分攻略】我們先來解讀第1題( 2008年上海市第25題)的第(3)題，學(xué)習(xí)相似三角形的存在性問題：第一步，把兩個(gè)三角形涂上顏色或者畫上陰影(如圖6),尋找分類標(biāo)準(zhǔn)與分類方法.一般來講，不論用相似三角形的判定定理1,還是判定定理2,至少有一組角是相等的.我們可以看到，/ ADN的大小是確定不動(dòng)的，/ AND是鈍角，/ ADN= / DBE >/MBE,因此按 照與/ AND相等，分兩種情況/ ADN=Z BME;/ ADN= / BEM.第二步，拿起三角尺，按照分類情況反復(fù)比劃，畫兩個(gè)比較準(zhǔn)

5、確的示意圖(如圖7,圖8),把相等的角都標(biāo)記出來.第三步，具體情況具體分析. 如圖7,當(dāng)/ ADN= / BME時(shí)經(jīng)過等量代換，/ DBE= /BME,這日DBE與 BME就是1 o我們熟悉的相似二角形的典型圖A字形，那么EB2 EM ED ED2,這樣問題就轉(zhuǎn)化為如2何用含有x的式子表示ED的長.已知直角梯形的兩底和直腰，你說怎樣求斜腰ED呢？如圖8,ADN= / BEM時(shí)|經(jīng)過等量代換，/ DBE= / BEM,這日DBE是等腰三角形,BC= 2AD= 8.圖6圖7圖8還需要提醒的是，備用圖暗示要分類討論，合理利用試卷和答題紙上的備用圖，不要急于亂畫,先分好類，再反復(fù)比劃，后落筆.圖7不可

6、能畫準(zhǔn)確，但是要接近，這樣好觀察圖形間的關(guān)系.示范一下書寫，注意用標(biāo)志性的語句引領(lǐng)書寫的層次性和閱卷老師的眼球.（2）當(dāng)/ ADN= /BME 時(shí)，/ DBE= / BME,這日DB& BME.2122122 EB2EM ED ED2. x222（4 x）2.22X 2久 10 （舍去負(fù)值）.&/ ADN= / BEM 時(shí) | / DBE= /BEM,這日DBE 是等腰三角形， BC= 2AD= 8.綜上所述，當(dāng) ADN與4BME相似時(shí)，BE的長為2或8.我們?cè)賮斫庾x第 2題（ 2009年閘北區(qū)第25題）的第（3）題， 求等腰三角形 DEF的存在性.6 4由第（1）、（3）題知

7、，在 BDG 中，BD 5 x,DG x,cos BDG -.55第一步，尋找分類標(biāo)準(zhǔn)與分類方法.3 我們可以看到， ABC是確定的，那么 AB= 5, AC= 3, cosA= 暗不了什么？10 ABC是等腰三角形.由于 DE/BC,因此當(dāng) ABC與4DEF相似時(shí)， DEF與AADE、4ABC是 相似的等腰三角形.因此我們按照DE為腰或者底邊兩種情況進(jìn)行分類討論.9或圖10,圖第二步，拿起尺、規(guī)，按照分類情況反復(fù)比劃，畫兩個(gè)比較準(zhǔn)確的示意圖（如圖11）,把相等的角、邊都標(biāo)記出來.第三步，具體情況具體分析.當(dāng)DE為等腰三角形 DEF的腰時(shí)，不論你畫的是圖 9還是圖10,你都可以感受到 DE是4

8、ABC 的中位線.在圖10中，很容易知道 BF= DE= 2.5.在圖9中，你能否敏銳地觀察到 DBF與 EFC也是等腰三角形，并且 AB8 FEC根據(jù)對(duì) 應(yīng)邊成比例，這樣你就可以計(jì)算出FC的長了，從而彳#到BF= 4.1.如果你比劃出圖 9而反應(yīng)不出圖10,或者你比劃出圖10而反應(yīng)不出圖9,那說明你的思想還不 成熟：當(dāng)DE為等腰三角形 DEF的腰時(shí)，頂角的頂點(diǎn)是 D還是E?這是本題的二級(jí)（二次）分類.當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時(shí)，如圖11,四邊形DECF是平行四邊形，此時(shí)BFDF一，解3得BF125圖11我們用看圖說話的形式來分析第3題（2010年上海市第25題）的第（1）題:圖12中的

9、 ABC是30°角的直角三角形，因此圖13中的 ADE是等邊三角形，進(jìn)而得到圖14中的4BDP是頂角為120°的等腰三角形.這樣，如果 AEP與4BDP相似，那么只有一種情況，就是三角形AEP也是頂角為120°的等腰三角形，因此EP= EA= 1,從而得到CE= 0.5.如果你苦思冥想沒有思路，那么記住一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：遇到特殊角度，把能標(biāo)注的度數(shù)都標(biāo)注出來,或許就是柳暗花明.圖12圖13圖14考典31相似三角形的存在性問題1 .如圖1,平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)A(2, 3),線段AB垂直于y軸，垂足為B,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90° ,點(diǎn)B落

10、在點(diǎn)C處，直線BC與x軸的交于點(diǎn) D.(1)試求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)試求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)在(2)中所求拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與 ACD相僅1,2 .如圖2,已知直線y 2 x 1與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,將 AOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)A落在點(diǎn)C,點(diǎn)B落在點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A、D、C,其對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)P.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M在x軸上，且 ABM與4APD相似，求點(diǎn) M的坐標(biāo).3 .如圖3,在矩形 ABCD中，AB= 12cm, BC= 8cm.點(diǎn)E、

11、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿矩形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E、G的速度均為每秒2cm,點(diǎn)F的速度為每秒4cm.當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘.若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以 F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由.4 .如圖4, AB± BC, AD/BC, AB=3, AD=2.點(diǎn)P在線段 AB上，聯(lián)結(jié) PD,過點(diǎn) D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C.設(shè)線段AP的長為x.當(dāng)aAPA DPC時(shí)，求線段 BC的長.B考典31相似三角形的存在性問題1) (1) D (3, 0).2) ) y

12、= x2+2x+3.頂點(diǎn) E (1, 4).(3)如圖 1,圖 2,在 ACD中，由 A(2, 3)、C(2, 1)、D(3, 0), 得/ACD= 135° ,CD= J2, CA= 2.由A(2, 3)、E(1, 4),知AE= 江,AE與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為45因此要使得 AEF與4ACD相似，只有點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方時(shí)，/ AEF= 135°如圖1,當(dāng)EFEA絲時(shí)，EF _2_ .所以EF= 2.此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 CD 221, 6).如圖2,當(dāng)EFEACD時(shí)，EF 立.所以EF= 1.此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為CA 221, 5).2. (1) y=- (x+2)(x- 1) = - x2-x+2.(2) B(0,1), D(1,0),p( I,!)AN AO一 一，可得AM AB因?yàn)?APD是鈍角等腰三角形，如果 ABM與4APD相似，那么 ABM也是鈍角等腰三角形，分兩種情況:如圖3,當(dāng)BA= BM時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)為(2,0).如圖4,當(dāng)MA= MB時(shí)，點(diǎn) M在線段 AB的垂直平分線上，由 COSAAMAN ABAOAB22AO53 3.所以O(shè)M=,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0).圖3圖43.當(dāng)F在BC上時(shí),BE=