231雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1公開課精編版

1、選修選修2-1 2.3 雙曲線雙曲線 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 復(fù)習(xí)舊知 導(dǎo)入新知 1.1.橢圓的定義橢圓的定義 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離之的距離之 和和 等于常數(shù)等于常數(shù) 2 a ( 2a|F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. 2.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 xyyx?1 ,?1 (a?b?0 )2222abab2222 3.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 a,b,ca,b,c的關(guān)系的關(guān)系 a?b?c222復(fù)習(xí)舊知 導(dǎo)入新知 橢圓的定義：橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離的的距離的

2、 和和 等于常數(shù)等于常數(shù) 2 a ( 2 a|F1F2|0 ) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. 提出問題：提出問題： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離的的距離的 差差 等于常數(shù)等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？ 實(shí)驗(yàn)探究 生成定義 （一）用心觀察，小組共探（一）用心觀察，小組共探 （要求：（要求：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察圖中動(dòng)畫，對(duì)比橢圓第一定義的生成，思考請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察圖中動(dòng)畫，對(duì)比橢圓第一定義的生成，思考點(diǎn)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中在運(yùn)動(dòng)過程中那些量沒有發(fā)生變化那些量沒有發(fā)生變化？在試驗(yàn)中能否找到一種？在試驗(yàn)中能否找到一種等量關(guān)系等量關(guān)系？） 11取一條拉鏈；取一條拉鏈

3、； 數(shù)學(xué)試驗(yàn)演示數(shù)學(xué)試驗(yàn)演示 22如圖把它固定在如圖把它固定在 板上的兩點(diǎn)板上的兩點(diǎn) F F1 1、F F2 2； 3 3 拉動(dòng)拉鏈（拉動(dòng)拉鏈（M M）。）。 思考思考：拉鏈運(yùn)動(dòng)的：拉鏈運(yùn)動(dòng)的 軌跡是什么？軌跡是什么？ 動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示 實(shí)驗(yàn)探究 生成定義 （一）用心觀察，小組共探（一）用心觀察，小組共探 觀察觀察AB兩圖探究雙曲線的定義兩圖探究雙曲線的定義 如圖如圖(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a |MF |- -|MF |=|FF|=2 a 如圖如圖(B)，211數(shù)學(xué)試驗(yàn)演示數(shù)學(xué)試驗(yàn)演示 11取一條拉鏈；取一條拉鏈； 22如圖把它固定在如圖把它固定在 板上的兩點(diǎn)板上的兩點(diǎn)

4、 F F1 1、F F2 2； 3 3 拉動(dòng)拉鏈（拉動(dòng)拉鏈（M M）。）。 思考思考：拉鏈運(yùn)動(dòng)的：拉鏈運(yùn)動(dòng)的 軌跡是什么？軌跡是什么？ 由可得：由可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （差的絕對(duì)值）差的絕對(duì)值） 上面上面 兩條合起來叫做雙曲線兩條合起來叫做雙曲線 根據(jù)以上分析，試給雙曲線下一個(gè)根據(jù)以上分析，試給雙曲線下一個(gè) 完整的定義？完整的定義？ 實(shí)驗(yàn)探究 生成定義 雙曲線的幾何定義：雙曲線的幾何定義： 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個(gè)與兩個(gè)定點(diǎn)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的的距離的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)差的絕對(duì)值等于常數(shù) （小于（小于F1F2)的點(diǎn)的的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線軌跡叫做雙曲線. 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)

5、定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2 c 焦距焦距. （02a2c） 雙曲線定義的符號(hào)表述：雙曲線定義的符號(hào)表述： F1 M o F2 思考：思考： | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 02 a |F1F2|) 定義中需要注意什么定義中需要注意什么 ? 討論：討論：定義當(dāng)中條件定義當(dāng)中條件2a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 無軌跡。無軌跡。 （3）若）若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ F1 M F2 |MF|MF1 1|=|MF|=|MF2 2| | 線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線。的垂直平分線。 生活中的生活中的雙曲線雙曲線 生活

6、中的生活中的雙曲線雙曲線 可口可樂的下半部可口可樂的下半部 玉枕的形狀玉枕的形狀 生活中的生活中的雙曲線雙曲線 生活中的生活中的雙曲線雙曲線 理解概念 探求方程 （一）齊思共想，推導(dǎo)方程（一）齊思共想，推導(dǎo)方程 建系標(biāo)準(zhǔn)：簡(jiǎn)潔、對(duì)稱建系標(biāo)準(zhǔn)：簡(jiǎn)潔、對(duì)稱 以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,0) |MF | - |MF |=2a 12 求點(diǎn)求點(diǎn)M軌跡方程。軌跡方程。 y M O F 1 F 2 x 理解概念 探求方程 （二）自我展示，大家共賞（二）自我展示，大

7、家共賞 （自由發(fā)言，其他小組仔細(xì)觀察、聽取推導(dǎo)（自由發(fā)言，其他小組仔細(xì)觀察、聽取推導(dǎo)過程，如有不同見解及時(shí)補(bǔ)充。）過程，如有不同見解及時(shí)補(bǔ)充。） y MF1 _ P= M |MF1 | - | MF2| = + 2a o (x(x? ? c)c) ? ? y y ? ?(x(x? ? c)c) ? ? y y ? ? ? ?2a2a2 22 22 22 2再次平方再次平方，得，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由雙曲線的定義知由雙曲線的定義知，2c2a,即即ca,故故c2-a20, 令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2, ,其中其中b0,b0,代入整理得：代入整

8、理得： 2 x2 a- 2 yb1 = 2 (a0,b0) 理解概念 探求方程 （三）提煉精華，總結(jié)方程（三）提煉精華，總結(jié)方程 y M F1 方程方程 叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 a2 x- 1 = 2 (a0,b0) b2 yo 它表示的雙曲線焦點(diǎn)在它表示的雙曲線焦點(diǎn)在x軸軸上，上， 焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),且且c2=a2+b2 F2 x 思考：思考： 當(dāng)雙曲線的當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸軸上時(shí)上時(shí),它的標(biāo)準(zhǔn)方程它的標(biāo)準(zhǔn)方程 是怎樣的呢？是怎樣的呢？ 理解概念 探求方程 （三）提煉精華，總結(jié)方程（三）提煉精華，總結(jié)方程 （1 1）焦點(diǎn)在）焦點(diǎn)在x x

9、軸軸上上 y （2 2）焦點(diǎn)在）焦點(diǎn)在y y軸軸上上 y F2 F1 o F2 22x 222 c =abo F1 22x F F1 1（-c, 0-c, 0）、）、F F2 2（ c , 0 c , 0） xy 22=1 ab(a0, b0) F F1 1（0, -c0, -c）、）、F F2 2（ 0, c 0, c ） yx 22=1 ab根據(jù)系數(shù)正負(fù)來判斷焦點(diǎn)位置。根據(jù)系數(shù)正負(fù)來判斷焦點(diǎn)位置。 歸納比較 強(qiáng)化新知 雙雙曲曲線線與與橢橢圓圓區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系 橢橢 圓圓 定定 義義 方方 程程 雙曲線雙曲線 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 2222xyxy?1(

10、 a?b?0)?2?1( a?0, b?0)222abab2222yxyx?2?1( a?b?0)?2?1( a?0, b?0)22abab 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) F（c，0） F（0，c） F（c，0） F（0，c） a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2 a.b.c的的關(guān)系關(guān)系 ab0，a2=b2+c2 知識(shí)遷移 深化認(rèn)知 xy例例1 1: :如果方程如果方程 ? ? ?1表示雙曲表示雙曲2? ?mm? ?1線，求線，求m的取值范圍的取值范圍. . 由(2? ?m)(m? ?1)? ?0得m? ? ? ?2或m? ? ? ?1解解: : 22m的取值范圍為的取值范圍為(?,?

11、?2)(? ?1,?) 思考：思考： 22xy方程方程 ? ? ?1表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸雙曲線時(shí)，軸雙曲線時(shí)， 2? ?m m? ?1 m? ? ? ?2則則m的取值范圍的取值范圍_. 知識(shí)遷移 深化認(rèn)知 例例 2 2: :已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn)F1(? ?5,0), ,F2(5,0), ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足 PF1? ?PF2? ? 6, ,求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程. . 解：解： F1F2? ?106, PF1? ?PF2? ? 6 由雙曲線的定義可知，由雙曲線的定義可知， 點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支的軌跡是雙曲線的一支 ( (右支右支), ), 焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為 F1(? ?5,

12、0), F2(5,0) xy可設(shè)雙曲線方程為可設(shè)雙曲線方程為 : :2? ?2? ? 1 ( (a0,0,b0 0). ). ab2 22 22 22 2a=6,2=6,2c=10,=10,a=3,=3,c=5.=5.b=5=5 3 3 =16. =16. 22xy? ? ?1(x3). . 所以點(diǎn)所以點(diǎn) P 的軌跡方程為的軌跡方程為91622知識(shí)遷移 深化認(rèn)知 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練: :已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn)F1(? ?5,0), ,F2(5,0), ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足 PF1? ?PF2? ? 10, ,求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程. . 解：解： F1F2? ?10 , PF1? ?P

13、F2? ? 10 點(diǎn)點(diǎn) P 的軌跡是兩條射線的軌跡是兩條射線, , 軌跡方程為軌跡方程為y? ?0(x5或或x? ?5). . 四、插入視頻 例例3 3.已知圓已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓和圓C2：(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓動(dòng)圓M同時(shí)與圓同時(shí)與圓C1及圓及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心相外切，求動(dòng)圓圓心 M的軌的軌跡方程跡方程 解：設(shè)動(dòng)圓解：設(shè)動(dòng)圓M與圓與圓C1及圓及圓C2分別外切于點(diǎn)分別外切于點(diǎn)A 和和B，根據(jù)兩圓外切的條件，根據(jù)兩圓外切的條件， |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB| 這表明動(dòng)點(diǎn)這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)與兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)的距離的

14、差是常數(shù)2根根 據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)點(diǎn)M與與C2 的距離大，與的距離大，與C1的距離小的距離小)，這里，這里a=1，c=3，則，則b2=8，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為：，其軌跡方程為： 知識(shí)遷移 深化認(rèn)知 變式訓(xùn)練： 已知已知B（-5 ，0 ），），C（5 ，0 ）是三）是三3角形角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且的兩個(gè)頂點(diǎn)，且 sinB? ?sinC? ?sinA,5求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)A的的軌跡方程。軌跡方程。 解：在解：在ABCABC中，中，|BC|=10|BC|=10， 3 sinB? ?sinC? ?sinA

15、,533? ?AC? ?AB? ?BC? ? ?10? ?6? ?1055故頂點(diǎn)故頂點(diǎn)A的軌跡是以的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支為焦點(diǎn)的雙曲線的左支 又因又因c=5 ，a=3 ，則，則b=4 2 22 2xy? ?1 ( x? ? ? ?3)則頂點(diǎn)則頂點(diǎn)A的軌跡方程為的軌跡方程為 ? ?916知識(shí)遷移 深化認(rèn)知 xy?11、a=4，b=3 ,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 1692、焦點(diǎn)為（、焦點(diǎn)為（0, -6）,（0，6）,經(jīng)過點(diǎn)（經(jīng)過點(diǎn)（2，-5）的雙曲線的標(biāo)）的雙曲線的標(biāo) 22x準(zhǔn)方程是準(zhǔn)方程是 y?12016課堂練習(xí)課堂練習(xí) 22xy?13、設(shè)雙曲線、設(shè)雙曲線 上的點(diǎn)上的點(diǎn)P到到(5,0)的距離是的距離是15,則則P到到 1697或或23 (-5,0)的距離是的距離是