2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破類型六二次函數(shù)與三角形相似問題

1、類型六 二次函數(shù)與三角形相似問題例1、如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為 A (2, 1),且經(jīng)過原點(diǎn) O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B。求拋物線的解析式；(用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為 y 1x21 2拋物線的解析式為y (x 2)2 1,即y -x2 x 44如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形 OCDB1平行四邊形時(shí)，CD幺OB, 1由 01(x 2)2 1 得 x1 0,x2 4 , .B(4,0),OB =4.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為61o將 x=6 代入 y(x 2)2 1,得 y= 3,4 D(6, - 3);根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知 形，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 3),當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形 OCBD1平行四邊形時(shí)

2、，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1) 如圖2,由拋物線的對(duì)稱性可知 ：AO = AB,/AOB= Z ABO. x) 4若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) D在拋物線上，且以。C D B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn) P,使彳OBP與4OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。5,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB!平行四邊【答案】解：由題意可設(shè)拋物線的解析式為y a(x 2)2 1 ;拋物線過原點(diǎn)， 0 a(0 2)2 11a4若 BOP與 AOB相似,必須有/ POB= / BOAf / B

3、PO設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于 A'點(diǎn),顯然A' (2, 1)1直線OP的解析式為y lx2,11 2由一x-xx ,24得 x1 0, x2 6. P(6, 3)過 P作 PHx 軸，在 RtBEP 中,BE = 2,PE=3,.PB=月 W4.PB OB,.1. / BO由 Z BPO,.PBO與ABAO不相似，同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得 BOP與4AOB相似.例2、已知拋物線y ax2 bx c經(jīng)過P(J3,3) E 53,0及原點(diǎn)O(0,0) . 2(1)求拋物線的解析式.(由一般式 得拋物線的解析式為 y 2

4、x2 E3x) 33(2)過P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線PC卜方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q ,過點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形 OABC.是否存在點(diǎn) Q,使得4OPC與 PQB相似？若存在，求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.(3)如果符合(2)中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連結(jié) OQ ,矩形OABC內(nèi)的四個(gè)三角形 OPC, PQB, OQP, OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么?【答案】解：(1)由已知可得:3a 3b 3755.3,a b 0斛之個(gè)于,4223,因而得，拋物線的解析式為:5.3x .3

5、(2)存在.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m, n),則5.3m3BQ要使 zOCP s、PBQ,CPPBOC則有2 2 5.3一 m m331m 、, 33解之得，m1 2 3, m2m1 2J3時(shí)，n 2,即為Q點(diǎn),所以得Q(2 32)BQ PB要使 AOCP s/XQBP,，OC CP3 n m x 3則有3、32 2 5.3 m m333m - 3、.3解之得，m1 33,m2J3,當(dāng)m J3時(shí)，即為P點(diǎn),m1 3出時(shí)，n3,所以得 Q(3j3, 3).故存在兩個(gè)Q點(diǎn)使得 OCP與4PBQ相似.Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2依2) (373, 3).(3)在 RtzXOCP 中，因?yàn)?tan COPCPOC3&#

6、176;.所以 COP 30 .3當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2J3(2)時(shí)，BPQCOP30°.c 0所以 OPQ OCP B QAO因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三角形.AO 3又在 RtOAQ 中，因?yàn)?tan QOA QA 3 .所以 QOA 30° .即有 POQ QOA QPB COP 30°.所以 zOPC s pqb s oqp s&oqa ,又因?yàn)?QP ± OP, QA ± OA POQ AOQ 30°,所以 zOQA ©zOQP .例3、如圖，四邊形 OABO一張放在平面直角坐標(biāo)系中的

7、矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊B0f疊，使點(diǎn)B落在邊OA勺點(diǎn)D處。已知折疊CE 5& ,且tan EDA -。4(1)判斷AOCD與4ADE是否相似？請(qǐng)說明理由;(2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)是否存在過點(diǎn) D的直線l ,使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線 l、直線 CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果 不存在，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮拷猓?1) ZXOCD與4ADE相似。理由如下：由折疊知，CDE B 90°, . 12 90 , Q 13 90°,23.又; COD DAE 90°

8、,.OCDs/Xade。 AE 3 一 tan EDA 一，.設(shè) AE=3t, AD 4則 AD=4t。由勾股定理得DE=5t。 OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t 。OC CD由(1) /XOCDs/XADE ,得 OC CD AD DE,8t CD -,4t 5t .CD 10to在 ADCE 中，. CD2 DE2 CE2, .(10t)2 (5t)2 (5病2,解得 t=1。OC=8 AE=3 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0, 8),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10, 3),設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b ,10k b b 8,'解得1一,28,8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(16, 0)。(

9、3)滿足條件的直線l有2條：y=-2x+12, y=2x 12。如圖2:準(zhǔn)確畫出兩條直線。例4、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知二次函數(shù) y ax2 bx c(a 0)的圖象與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C ,其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,且過點(diǎn)(2,3)和(3, 12).(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(由一般式 得拋物線的解析式為 y x2 2x 3) (2)若直線l : y kx(k 0)與線段BC交于點(diǎn)D (不與點(diǎn)B, C重合)，則是否存在這樣 的直線l ,使得以B, O, D為頂點(diǎn)的三角形與 ABAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù) 表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

10、由； A( 1,0) B(3,0),C(0,3)(3)若點(diǎn)P是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角 PCO與 ACO的大小(不必證明)，并寫出此時(shí)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍.【答案】解：（1） Q二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過點(diǎn)（2,3）和（3, 12）,12aa 1，由 4a 2b c 3,解得 b 2,9a 3b 212. c 3.此二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2 2x 3.（2）假設(shè)存在直線l : y kx（k0）與線段BC交于點(diǎn)D （不與點(diǎn)B, C重合），使得以B, O, D為頂點(diǎn)的三角形與 ABAC相似.22在 y x 2x 3中，令 y 0,則由 x 2

11、x 3 0 ,解得 x11, X2 3A( 1,0), B(3,0).令 x 0,得 y 3.C（0,3）.設(shè)過點(diǎn)O的直線l交BC于點(diǎn)D ,過點(diǎn)D作DE，x軸于點(diǎn)E .Q點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.AB 4,OB OC 3, OBC 45oBC ，32 32 3%/2 .要使 /XBODs BAC或BDOsbAC,已有B B,則只需的四，bc| |ba|或空BCBDBA9、2成立.若是，則有BD伸01gBe 3 32 |BA|422295/2DE 2 BE BD4而 OBC 45°, BE DE . 2在RtABDE中，由勾股定理，得|BE

12、-9解得 BE DE 一(負(fù)值舍去).49 3 OE OB BE 3 -.4 43 9k 3.點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，一. 4 4將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y kx(k 0)中，求得滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為 y 3x.或求出直線 AC的函數(shù)表達(dá)式為y 3x 3 ,則與直線 AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y 3x.此時(shí)易知 BODs BAC,再求出直線 BC的函數(shù)表達(dá)式為 y x 3 .聯(lián)立一一 3 9 一y 3x, y x 3求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為 一，一 .14 4若是，則有|BD 但OgBA %4 2拒.|BC|372而 OBC 45°, BE DE .在 RDBDE 中，由勾股定理，得 |BE2

13、 |DE|2 2 BE 2 BD2 (2>/2)2 .解得BE DE 2 (負(fù)值舍去).OE OB BE 3 2 1.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y kx(k 0)中，求得k 2 .滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為 y 2x.12存在直線l : y 3x或y 2x與線段BC交于點(diǎn)D （不與點(diǎn)B, C重合），使得以3 9 ，、一D的坐標(biāo)分別為，一或（1,2）.4 4(3)設(shè)過點(diǎn) C(0,3), E(1,0)的直線 y kx3(k0）與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P .將點(diǎn)E（1,0）的坐標(biāo)代入ykx3中，求得k 3.此直線的函數(shù)表達(dá)式為3x 3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,3x3),并代入yx

14、2 2x 3,得 x2 5x 0 .解得Xi5, x20（不合題意，舍去）.5, y12.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,此時(shí)，銳角 PCOACO.又Q二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 x 1 ,點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) C的坐標(biāo)為（2,3）.當(dāng)xp 5時(shí)，銳角 PCO pACO;當(dāng)xp5時(shí)，銳角 PCOACO；xp 5時(shí)，銳角 PCOpACO.如圖所示，已知拋物線2x 1與x軸交于 A B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)(2)(3)求A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).過點(diǎn)A作AP/ CB交拋物線于點(diǎn) P,求四邊形ACB用勺面積.在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M過M作MG x軸于點(diǎn)G,使以A、MG三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似.若存在，

15、請(qǐng)求出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.B, O, D為頂點(diǎn)的三角形與 ABAC相似，且點(diǎn)y 0,得x2 1 0 解得x3(1,0) B (1,0)C (0, 1)(2)OA=OB=OC=BAC= ACO= BCO=45o1. AP/ CRPAB=45o過點(diǎn)P作PE x軸于E,則 APE為等腰直角三角形令 OE=a ,貝U PE=a.p (a,a 1)點(diǎn)P在拋物線y21 上，a 1 a 1解得a12 , a21 （不合題意，舍去）PE=3，四邊形 ACB用勺面積 S =1 AB?OC+1 AB?PE=1 2 1（3）.假設(shè)存在PAB= BAC =45oPA AC. MG X軸于點(diǎn)GMGA= PA

16、C =90o在 RtAOC中，OA=OC=.AC=、, 2在 RtPAE 中，AE=PE=3.AP= 3、, 2設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則2M (m, m1)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，則m 1.AG(i )當(dāng) AMG s PCA時(shí)，有PAMGCAo m 1- AG= m 1 , MG=m2 1 即一一 32m2 12.斛信m11 （舍去）m2 一（舍去）(ii)當(dāng)MAG sPCA時(shí)有AG 二 MGCA PAm 1.2_2m 1 - ,口一廠解得：m3.21 (舍去)m22.M ( 2,3)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，則m 1(i )當(dāng) AMGsPCA時(shí)有AG = MGPA CA1 AG=m 1, MG=m2 12m

17、 1 m 13,2、21 (舍去)4 7飛，9)(ii)當(dāng) MAGPCA時(shí)有AG = MGCA PA182m 1m 1即.23 2解得：m11 (舍去)m2 4.M (4,15)，存在點(diǎn)M使以A M G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCAffi似4 7M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3) , (4,7), (4,15)3 9例6、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZXABC是直角三角形，ACB 90°,點(diǎn)A, C3的坐標(biāo)分別為 A( 3,0) , C(1,0) , tan BAC -.4.一 _39(1)求過點(diǎn)A, B的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn) A( 3,0), C(1,0) , B (1,3) , y 3x 944(2)在x軸上找一點(diǎn) D ,連接DB ,使得zADB與AABC相似(不包括全等)，并求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下，如P, Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ ,設(shè)AP DQ m ,問是否存在這樣的 m使得 APQ與 ADB相似，如存在，請(qǐng)求出 m的值；如不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】解：(1) Q點(diǎn)A( 3,0) , C(1,0)AC4, BC tan/BAC AC3, B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)設(shè)過點(diǎn)A,B的直線的函數(shù)表達(dá)式為kx(3)