結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)振動(dòng)分析的矩陣迭代法

1、2015200049學(xué)院：土木工程學(xué)院班級(jí)：學(xué)碩結(jié)構(gòu)一班姓名：張桂斌學(xué)號(hào)：2015200049振動(dòng)分析的矩陣迭代法（克拉夫書-第13章） 1.引言 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)求解實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，從幾個(gè)自由度的體系，到幾百甚至幾千個(gè)自由度的有限元模型，其中可能多達(dá)五十到一百個(gè)振型對(duì)反應(yīng)有不可忽略的影響。為有效地處理這些實(shí)際問題，需要較行列式求解方法更有效的振動(dòng)分析方法。 問題如何獲得結(jié)構(gòu)的無阻尼振型？ Stodola法以迭代為基礎(chǔ)，先假設(shè)初始振型并迭代調(diào)整至實(shí)際振型的適當(dāng)近似，再由運(yùn)動(dòng)方程確定震動(dòng)頻率。2.基本（第一）振型分析這個(gè)方法列式的起點(diǎn)是無阻尼自由振動(dòng)方程（11-33）：nnnmk2nnmfn2（1

2、3-1）nfkn1（13-2）nnnmk12（13-3）mk1D（動(dòng)力矩陣） （13-4）nnnD2（13-5） 先假定試探位移向量 ，使它盡可能接近第一振型的形狀，而振幅是任意的。即：）0（1）0（12）1（1Dn（13-5a）下標(biāo)“1”表示第一振型，上標(biāo)“（1）”表示第一次迭代的結(jié)果。）0（1）1（1D 振型幅值依賴于未知頻率，但在迭代過程中只需要振型形狀，省去頻率后的改進(jìn)形狀表示為：（13-7）該向量除以向量中最大的元素 來進(jìn)行規(guī)格化，得到改進(jìn)的迭代向量：）（max）1（1）（max）1（1）1（1）1（1（13-8）設(shè) k 為向量中任一自由度，頻率近似值為：)1(1)0(121kk （

3、13-9） 一般來說，所得的 和 是不一樣的，在這種情形下，真正的第一振型頻率介于式（13-9）求得的最大值與最小值之間：)1(1)0(1max)1(1)0(121min)1(1)0(1kkkk（13-10） 把質(zhì)量分布作為一個(gè)加權(quán)系數(shù)，取平均值求頻率的近似值。)1(1T）1（1)0(1T)1(121mm （13-11）當(dāng)?shù)^程收斂，s 次循環(huán)后的頻率為：）（max1）（max）（max）（1）（1）1（121sss（13-13）克拉夫書P205例題E13-1 通過計(jì)算圖E11-1的三層建筑框架的第一振型和頻率來說明矩陣迭代法。雖然用例題E11-1中導(dǎo)得的剛度矩陣求逆可以很容易求得該結(jié)構(gòu)的柔

4、度矩陣，但是為了說明柔度矩陣的求法，這里對(duì)每一個(gè)自由度相繼施加單位荷載進(jìn)行推導(dǎo)。根據(jù)定義，由這些單位荷載所產(chǎn)生的位移表示柔度影響系數(shù)。該結(jié)構(gòu)柔度矩陣為：動(dòng)力矩陣為：kipsin/2222552511360011k kf f243245.7545.71136001sm mf fD D用如下所示的表格形式表示迭代過程：00.950.1650.2211143245.7545.71136001D D）0（1）1（1287.5320.0296.11669.0296.17000.180.5400.010.12733.010.18000.1）1（1）2（1）3（1）2（1）3（1）4（1）5（1）4（115

5、9.5303.0082.11650.0082.17000.1182.5306.0121.11653.0121.17000.1四次迭代以后，形狀已收斂到足夠的精度。按式（13-13）求第一振型頻率：srad/52.1477.210082.173600/1000.1）（max）（max1）5（1）4（1213.收斂性的證明最初假定的形狀可用正規(guī)坐標(biāo)表示為）0（33）0（22）0（11)0(）0（1YYY（13-14）第一振動(dòng)頻率的振動(dòng)形狀所對(duì)應(yīng)的慣性力為)0(21)0(121)0(mmf（13-15）231）0（33221）0（2222）0（1211)0()()(mYYYf記 ，展開得21221)

6、/(nn（13-16）由這些慣性力產(chǎn)生的撓度為231）0（33221）0（2222）0（12111)0(1）1（1)()(mYYYkfk或21)0(21n）1（1)(nnnNYn nD D（13-17）n nn nD D2n（13-18）將其代入式（13-17）得21)0(1n）1（1)(nnNYn n（13-19）（max)(）（max)1(121)0(1n)1(1)1(1）1（1nnNYn n（13-20） 用最大的基準(zhǔn)元素 去除 ，使之規(guī)格化，從而得到最后改進(jìn)的第一次迭代循環(huán)的形狀 ，因此)max()1(1)1(1)1(1 用同樣的方法做下一次迭代循環(huán)得到第二次循環(huán)產(chǎn)生的形狀）（max)

7、(）（max)2(141)0(1n)2(1)2(1）2（1nnNYn n（13-21）sssssYY221）0（22）0（11)(1)(1)(1）（1)(）（max1）（max（13-22） 按此方式繼續(xù)進(jìn)行，經(jīng)過s次循環(huán)后得到結(jié)果ss2312211 最終結(jié)果可視為1)0(11)0(11）（1）（maxYYs證畢！（13-23）（13-24）4.高階振型分析第二振型分析假設(shè)任意第二振型）0（）0（2前乘 ，導(dǎo)得）0（22T1）0（11T1）0（2T1YYm mm mm mm mT1由于振型的正交特性，第一振型分量幅值為1）0（2T1）0（1YMm m（13-25）（13-26）（13-27）不包含第一振型的試探形狀為)0(11）0（2）0（2-Y（13-28） 在試探向量中消除第一振型分量的方便方法是應(yīng)用濾型矩陣)0(21)0(2T111）0（2）0（2M1-S Sm m1S S（13-29）其中m mS ST1111M1-（13-30）在這種情況下，式（13-5）可以寫成）0（2）1（2221D D（13-31）將式（13-29）代入式（13-31），得到）0（22）0（21）1（2221D DD DS S（13-32）其中12D DS SD D （13-33）此時(shí)，可用下式近似計(jì)算頻率)1(2）1（2)0(2T）1（222）（m mm m （13-34）式中）0（2