復變函數(shù)課件：3-6 解析函數(shù)的高階導數(shù)

1、6 6 解析函數(shù)的高階導數(shù)解析函數(shù)的高階導數(shù)內內 容容 簡簡 介介 本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導性，并導本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導性，并導出高階導數(shù)計算公式。研究表明：一個解析函出高階導數(shù)計算公式。研究表明：一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各階導數(shù)，它的值數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各階導數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示。這也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示。這一點與實變函數(shù)有本質區(qū)別。一點與實變函數(shù)有本質區(qū)別。求求導導得得兩兩邊邊在在積積分分號號下下對對對對積積分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzz

2、zzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明。以下將對這些公式的正確性加以證明。.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而且且它它的的內內部部正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線的的內內圍圍繞繞的的解解析析區(qū)區(qū)域域為為在在其其中中階階導導數(shù)數(shù)為為它它的的的的導導數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù)解解析析函函數(shù)數(shù) 定理定理證明證明 用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義。用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義。zzfzzfzfDznz )()(lim)(

3、.100000的的情情形形先先證證 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西積積分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令為令為I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 則則有有取取則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,000

4、00 ）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzzzzfizzfzzfzf 從從而而有有顯顯然然，的的長長度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的情形的情形的方法可證的方法可證式及推導式及推導再利用再利用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次類推，用數(shù)學歸納法可得依次類推，用數(shù)學歸納法可得 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(無無窮窮次次可可導導內內解解析析即即在在具具有有各各階階導導數(shù)數(shù)內內在在內內解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一個解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)。一個解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)。 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列積積分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面處處解析在全平面處處解析解解的的內內部部不不相相交交且且在在取取處處不不解解析析在在CCCizCizCizzez21221122,:.)1()2 21222222)1()1()1(CzCzCzdzzedzzedzze 212222)()()()(CzCzdzizizedz