復(fù)變函數(shù)課件：1-3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根

1、3 3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根& 1. 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的乘積與商乘積與商& 2. 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的乘冪乘冪& 3.復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的方根方根定理定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘， 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們的幅角相加。兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們的幅角相加。證明證明 設(shè)設(shè) z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 則則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2(cos(1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2) 1. 乘積與商

2、乘積與商因此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義幾何意義 將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z1按按逆時(shí)針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Argz2，再將其伸縮到再將其伸縮到|z2|倍。倍。A 定理定理1 1可推廣到可推廣到n 個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2定理定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于被除數(shù)與除兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于被除數(shù)與除 數(shù)的幅角之差。數(shù)的幅角之差。證明證明)(121212 ierrzzz Argz=Argz2-Argz1 即：即：由復(fù)數(shù)除法的定

3、義由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1，即，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（z20）212211, iierzerz 設(shè)設(shè)注注:上述幅角的等式的值是全體意義上的相上述幅角的等式的值是全體意義上的相等，而不是某一組值的相等。即：任意給等，而不是某一組值的相等。即：任意給定一個(gè)等式右邊兩個(gè)多值函數(shù)的一對(duì)可能定一個(gè)等式右邊兩個(gè)多值函數(shù)的一對(duì)可能取的值，左邊多值函數(shù)也必有一個(gè)值使這取的值，左邊多值函數(shù)也必有一個(gè)值使這個(gè)等式成立，反之也是一樣。個(gè)等式成立，反之也是一樣。設(shè)設(shè)z=re i，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明明

4、 zn=rn(cosn+isinn)=rnein。 innnerz 由由定定義義得得2.復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的乘冪乘冪定義定義 n個(gè)相同的復(fù)數(shù)個(gè)相同的復(fù)數(shù)z 的乘積，稱為的乘積，稱為z 的的n次冪，次冪， 記作記作z n，即，即z n=z z z（共（共n個(gè)）。個(gè)）。.1nnzz 定義定義特別：當(dāng)特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：時(shí)，即：zn=cosn+isinn，則有，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。問題問題 給定復(fù)數(shù)給定復(fù)數(shù)z=re i ，求所有的滿足，求所有的滿足n=z 的的 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。nz 記記,zeni 由由設(shè)設(shè) iinnree 有

5、有)(2,Zkknrn 3.復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的方根方根（開方）（開方）乘方的逆運(yùn)算乘方的逆運(yùn)算 當(dāng)當(dāng)z0時(shí)，有時(shí)，有n個(gè)不同的個(gè)不同的值與值與 z相對(duì)應(yīng)，每一相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的個(gè)這樣的值都稱為值都稱為z 的的n次方根，次方根，nkinnerz 2 )2sin2(cosnkinkrn )1, 2 , 1 , 0( nkA 當(dāng)當(dāng)k=0=0，1 1，n-1-1時(shí)，可得時(shí)，可得n個(gè)不同的根，個(gè)不同的根， 而而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。幾何上幾何上， 的的n個(gè)值是個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，以原點(diǎn)為中心， 為半為半徑的圓周上徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周即它們是內(nèi)接于該圓周的正的正n邊形的邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。個(gè)頂點(diǎn)。nznr（見見圖圖）如如)3 , 2 , 1 , 0()424sin424(cos2184