分析2思辨性名師課件

1、充滿數(shù)學(xué)思辨，充滿數(shù)學(xué)思辨， 深入考查數(shù)學(xué)思想深入考查數(shù)學(xué)思想 教育部考試中心對(duì)全國(guó)高考數(shù)學(xué)考試大綱的說(shuō)明中指出：教育部考試中心對(duì)全國(guó)高考數(shù)學(xué)考試大綱的說(shuō)明中指出：“ 數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和特點(diǎn)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)考試中就形成數(shù)學(xué)考試的學(xué)科特點(diǎn)。研究對(duì)象和特點(diǎn)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)考試中就形成數(shù)學(xué)考試的學(xué)科特點(diǎn)。” 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考試的學(xué)科特點(diǎn)的第二個(gè)方面就是考試的學(xué)科特點(diǎn)的第二個(gè)方面就是 “ 充滿思辨性：這個(gè)特點(diǎn)源于數(shù)學(xué)的抽象性，系統(tǒng)性和邏輯性，數(shù)充滿思辨性：這個(gè)特點(diǎn)源于數(shù)學(xué)的抽象性，系統(tǒng)性和邏輯性，數(shù)學(xué)不是知識(shí)性的學(xué)科，學(xué)不是知識(shí)性的學(xué)科，而是思維型的學(xué)科。而是思維型的學(xué)科。因此，因此，數(shù)學(xué)試題靠機(jī)械記憶，數(shù)學(xué)試題靠

2、機(jī)械記憶，只憑直覺(jué)和印象就可以作答的很少，只憑直覺(jué)和印象就可以作答的很少，為了正確解答，為了正確解答，就要求考生具備一就要求考生具備一定的觀察，分析和推斷能力。定的觀察，分析和推斷能力。” 思辨能力就是思考辨析能力。思辨能力就是思考辨析能力。 所謂思考指的是分析、所謂思考指的是分析、 推理、推理、 判斷等判斷等思維活動(dòng)；所謂辨析指的是對(duì)事物的情況、類別、事理等的辨別分析。思維活動(dòng)；所謂辨析指的是對(duì)事物的情況、類別、事理等的辨別分析。 數(shù)學(xué)思辨的魅力在什么地方呢？數(shù)學(xué)的思考辨析離不開(kāi)推理以及數(shù)學(xué)思辨的魅力在什么地方呢？數(shù)學(xué)的思考辨析離不開(kāi)推理以及與之相關(guān)的一系列數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用，與之相關(guān)

3、的一系列數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用，而推理的威力，而推理的威力， 則表現(xiàn)則表現(xiàn)在處理和解決問(wèn)題的分析方法上面。在處理和解決問(wèn)題的分析方法上面。 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思辨能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思辨能力， 最重要的是在最重要的是在準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念和基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念和基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，充分關(guān)注分析和處理問(wèn)題的方充分關(guān)注分析和處理問(wèn)題的方法。法。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不能以找到正確答案或者會(huì)求解為滿足，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不能以找到正確答案或者會(huì)求解為滿足，必須養(yǎng)成對(duì)必須養(yǎng)成對(duì)分析和處理問(wèn)題的方法進(jìn)行反思的習(xí)慣，分析和處理問(wèn)題的方法進(jìn)行反思的習(xí)慣，對(duì)每一個(gè)具體問(wèn)題的解析都要對(duì)每一個(gè)具體問(wèn)題的解析都要爭(zhēng)取找到最優(yōu)的解析方法

4、。爭(zhēng)取找到最優(yōu)的解析方法。 1.1.對(duì)數(shù)學(xué)概念的思辨對(duì)數(shù)學(xué)概念的思辨 . . 【例【例1】(2006年年,天津卷天津卷,理理,10) x已知函數(shù)已知函數(shù)y?f?x?的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y?a (a?0,且且a ?1)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于直直線線y?x對(duì)對(duì)稱稱,記記g?x?f?x?f?x?f?2?1?,若若y?g?x?在在區(qū)區(qū)間間?1?a,2 上是增函數(shù)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) 的取值范圍是的取值范圍是( ). ?2?1?1?(A)?2,? (B)?0,1? ?1,2? (C)?,1? (D)?0,? ?2?2?【分析及解】解法【分析及解】解法1.g?x?logax?logax?loga2?

5、1?,設(shè)設(shè)t?logax,a則化為則化為 g?x?h?t?t?tloga 2?1?當(dāng)當(dāng)a?1時(shí)時(shí),區(qū)區(qū) 間間 x?,2?化化 為為t?loga2,loga2?,若若h?t?在在?2?t?loga2,loga2?上增上增,則其圖象的對(duì)稱軸滿足則其圖象的對(duì)稱軸滿足 21aa11t?loga? ?loga2?loga?loga?a?與與a?1矛盾矛盾. 22242?1?當(dāng)當(dāng)0? a ?1時(shí)時(shí), 區(qū)間區(qū)間 x?,2?化為化為t?loga2,?loga2?, ?2?若若h?t?在在t?loga2,?loga2?上增上增,注意到注意到,此時(shí)此時(shí)logax?t為減函數(shù)為減函數(shù), 1aa11則其圖象的對(duì)稱軸則

6、其圖象的對(duì)稱軸 t?loga? ?loga2?loga?loga?a?,222421即即0?a?. 2解法解法2 .運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的特征運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的特征,避免分類討論避免分類討論. 12?g?x?logax?logax?loga2?1?2?lg x?lga?lg2?lgx? ?lg a2設(shè)設(shè)t? lg x,g?x?t?t?lga?lg2?t. ?1?則區(qū)間則區(qū)間 x?,2?化為化為t? lg2,lg2?, ?2?1?1?由由y?g?x?在區(qū)間在區(qū)間?,2?上是增函數(shù)及上是增函數(shù)及2?0, lg a?2?lga?lg211? ?lg2?lga?lg2? ?2lg2?lga?lg?a?. 可得可得

7、222?1?即即a?0,?. ?2? 本題的思辨性至少有這樣兩點(diǎn)本題的思辨性至少有這樣兩點(diǎn): (1) 對(duì)函數(shù)概念的理解對(duì)函數(shù)概念的理解. ?1?在解法在解法1中中,進(jìn)行換元時(shí)進(jìn)行換元時(shí), 設(shè)設(shè)t? logax,則當(dāng)則當(dāng) a ? 1時(shí)時(shí),區(qū)間區(qū)間x?,2?化化?2?1?為為t?loga2,loga2?,當(dāng)當(dāng)0?a?1時(shí)時(shí), 區(qū)間區(qū)間x?,2?化為化為 ?2?t?loga2,?loga2?, ?1?在解法在解法2中中,進(jìn)行換元時(shí)進(jìn)行換元時(shí), 設(shè)設(shè)t? lg x,則區(qū)間則區(qū)間 x?,2?化為化為?2?t?lg2,lg2?, 在解題時(shí)在解題時(shí),有許多考生都忽略了這一點(diǎn)：函數(shù)變了有許多考生都忽略了這一點(diǎn)

8、：函數(shù)變了,定義域要隨之改定義域要隨之改變變. (2) 對(duì)解法的選擇對(duì)解法的選擇. 解法解法1要對(duì)參數(shù)要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論,特別是特別是,當(dāng)當(dāng)0?a?1時(shí)時(shí),涉及到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性涉及到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,容易作錯(cuò)容易作錯(cuò),而解法而解法2,首先用了換底首先用了換底公式公式,從而避免了分類討論以及在復(fù)合函數(shù)中出現(xiàn)減函數(shù)的尷尬從而避免了分類討論以及在復(fù)合函數(shù)中出現(xiàn)減函數(shù)的尷尬. 這個(gè)題目在考查思辨中考查了函數(shù)思想。這個(gè)題目在考查思辨中考查了函數(shù)思想。 【例【例2】 (2006年年,福建卷福建卷,理理11) 已已知知OA=1,OB=3,OA?OB? 0,點(diǎn)點(diǎn)C在在AOB內(nèi)內(nèi)，且且m? A

9、OC? 30?，設(shè)，設(shè)OC?mOA?nOB?m ,n? R?)，則，則等于等于 n31(A) (B)3 (C) (D) 3 33【分析及解】【分析及解】 這個(gè)題目涉及到平面向量的四個(gè)基本概念這個(gè)題目涉及到平面向量的四個(gè)基本概念:向量的模向量的模,夾角夾角,數(shù)量積和平面向量基本定理數(shù)量積和平面向量基本定理,正確理解和運(yùn)用它們正確理解和運(yùn)用它們,會(huì)有效地解決會(huì)有效地解決問(wèn)題問(wèn)題. 方法方法1.利用利用OA?OB?0和向量的模和向量的模,直接求出直接求出m和和n. 設(shè)設(shè)OC?c，由，由OC?mOA?nOB，得，得OC?OA?mOA?nOB?OA , 3c. 即即ccos30?m ,m?23c. 又有

10、又有OC?OB?mOA?OB?nOB，即，即3 n?3 c?cos60?2m于是，于是，m?3 n,?3. n22方法方法2.設(shè)設(shè)OC?c，如圖，如圖， OC?OD?OE?c?cos30?OAOA?c?sin30?OBOB 31?c?OA?c?OB?mOA?nOB 22 33c3m于是，于是，m?c,n?c,?3. 2n2 36本題對(duì)向量的概念的要求是比較高的，本題對(duì)向量的概念的要求是比較高的， 尤其是尤其是方法方法2，如果對(duì)平面向量基本定理，實(shí)數(shù)與向量的，如果對(duì)平面向量基本定理，實(shí)數(shù)與向量的乘積和單位向量理解不深，就不會(huì)對(duì)向量乘積和單位向量理解不深，就不會(huì)對(duì)向量OC進(jìn)行進(jìn)行分解，因而就不能求

11、出分解，因而就不能求出m和和n的值。在解題中方程的值。在解題中方程思想與化歸與轉(zhuǎn)化思想起了作用。思想與化歸與轉(zhuǎn)化思想起了作用。 【例【例3】(2006 年年,北京卷北京卷,理理,5) ?(3 a?1) x?4 a,x?1已知已知f(x)? 是是(?,?)上的減函數(shù)，那么上的減函數(shù)，那么 x?1?logax,a 的取值范圍是的取值范圍是 ?1?11?1（A）?0,1? （B）?0,? （C）?,? （D）?,1? ?73?3?7【分析及解】【分析及解】本題從表面上看并不困難本題從表面上看并不困難, 1若若f?x?(3 a?1) x?4 a為減函數(shù)為減函數(shù),則則3 a?1?0?a?, 3若若f?x

12、? logax為減函數(shù)為減函數(shù),則則0? a ?1, ?1?于是于是, a 的取值范圍是的取值范圍是?0,? . ?3? 但是但是,這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的,對(duì)對(duì)(B)是誤選是誤選.為什么呢？解題時(shí)，忽略了為什么呢？解題時(shí)，忽略了分段函數(shù)的問(wèn)題分段函數(shù)的問(wèn)題. 因?yàn)槭欠侄魏瘮?shù)因?yàn)槭欠侄魏瘮?shù),又要求在又要求在(?,?)上是減函數(shù)上是減函數(shù),就涉及到分段函數(shù)就涉及到分段函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律的單調(diào)性的規(guī)律. 一般地一般地,若函數(shù)若函數(shù)f?x?在區(qū)間在區(qū)間?a,b?和和?c,d?上是增函數(shù)上是增函數(shù),在在并并區(qū)區(qū)間間?a,b? ?c,d?上不一定是增函數(shù)上不一定是增函數(shù),但但是是,只要增加一個(gè)條

13、件只要增加一個(gè)條件f?c?f?b?就可以了就可以了,同樣同樣, 若函數(shù)若函數(shù) f?x?在區(qū)間在區(qū)間?a,b?和和?c,d?上是減函上是減函數(shù)數(shù),在并區(qū)間在并區(qū)間?a,b? ?c,d?上不一定是減函數(shù)上不一定是減函數(shù),但是但是,只要增加一個(gè)條件只要增加一個(gè)條件f?c?f?b?就可以了就可以了,因此因此,本題還就必須滿足本題還就必須滿足 (3 a?1)?1?4 a?f?1?0,111即即a?,于是于是?a?,故選故選(C). 773【例【例4】 (2006年年,湖北卷湖北卷,理理3) 2若若?ABC的內(nèi)角的內(nèi)角A滿足滿足sin2A?，則，則sinA?cosA? 3151555(A) (B)? (C

14、) (D) ? 3333【分析及解】【分析及解】 本題的焦點(diǎn)在于如何判斷本題的焦點(diǎn)在于如何判斷sinA?cosA的正負(fù)，一種的正負(fù)，一種?3?思思 路路是是 ， 對(duì)對(duì)于于?0,?的的 角角A， 當(dāng)當(dāng)A?0,?時(shí)時(shí)，sinA?cosA?0，?4?3?A?,?時(shí)，時(shí)，sinA?cosA?0，此時(shí)，還有，此時(shí)，還有sin2A?0，由題設(shè)，必，由題設(shè)，必?4?有有sinA?cosA?0，因而排除（，因而排除（B） ， （D） ，經(jīng)計(jì)算，選（，經(jīng)計(jì)算，選（A）. 2?另另 一一種種思思路路是是， sin2A?0，這這時(shí)時(shí)，有有A?0,?，此此時(shí)時(shí)，3?2?， （D） ，經(jīng)計(jì)算，選（，經(jīng)計(jì)算，選（A）.三

15、角函數(shù)的三角函數(shù)的sinA?cosA?0，因而排除（，因而排除（B）正負(fù)是重要的數(shù)學(xué)概念，在解題中，充分利用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想。正負(fù)是重要的數(shù)學(xué)概念，在解題中，充分利用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想。加速了問(wèn)題的解決。加速了問(wèn)題的解決。 2.2.對(duì)題目條件的思辨對(duì)題目條件的思辨 . . 【例【例1】 (2006年年,天津卷天津卷,理理,5) 將將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和和2的兩個(gè)盒子里的兩個(gè)盒子里,使使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法則不同的放球方法有有( ). (A) 10 種種

16、(B) 20 種種 (C) 36 種種 (D) 52 種種 【分析及解】【分析及解】常見(jiàn)的題目是，將常見(jiàn)的題目是，將n個(gè)相同的球放到編號(hào)為個(gè)相同的球放到編號(hào)為1,2, ,m的盒子里，的盒子里，使球的個(gè)數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，使球的個(gè)數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，求不同放法的種數(shù)。求不同放法的種數(shù)。本題改造為本題改造為不同的球，使解法發(fā)生了變化，重在考查分類討論與整合的數(shù)學(xué)思想。不同的球，使解法發(fā)生了變化，重在考查分類討論與整合的數(shù)學(xué)思想。 22.第第1種可能種可能:1號(hào)盒放號(hào)盒放2個(gè)球個(gè)球,2號(hào)盒放號(hào)盒放2個(gè)球個(gè)球,此時(shí)有此時(shí)有C4C2種種; 第第2種可能種可能: 1號(hào)盒放號(hào)盒放1個(gè)球個(gè)球,2號(hào)盒放號(hào)盒放3個(gè)球個(gè)球

17、,此時(shí)有此時(shí)有C C種種; 于是于是,共有共有C C +C C =10種種. 143324221433【例【例2】 (2006年年,全國(guó)卷全國(guó)卷 ,理理,12) 設(shè)集合設(shè)集合I ?1,2,3,4,5?。選擇。選擇I的兩個(gè)非空子集的兩個(gè)非空子集A和和B，要使，要使B中中最小的數(shù)大于最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有 (A) 50種 (B) 49種 (C) 48種 (D) 47種 【分析及解】【分析及解】 這是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，這是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題， 關(guān)關(guān)鍵在于對(duì)題目的條件如何思考，鍵在于對(duì)題目的條件如何思考，（1）是）是A和和B是非空子集，是非空子集， （2）

18、是）是B中最小的數(shù)大于中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，中最大的數(shù)，怎樣實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)條件怎樣實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)條件?最好的方法是分類討論最好的方法是分類討論.從條件從條件(2)中的中的“B中最小中最小的數(shù)的數(shù)” 入手，顯然有四種情形：入手，顯然有四種情形： B中最小的數(shù)為中最小的數(shù)為2.此時(shí)此時(shí)A僅有僅有1中選法中選法,即即A?1?,而而B(niǎo)可以有可以有8中選法中選法,即即3,4,5三個(gè)元素可以在三個(gè)元素可以在B中中,也可以不在也可以不在B中中. B中最小的數(shù)為中最小的數(shù)為3,此時(shí)此時(shí)A有有3種選法種選法,即即A?1?,?2?,?1 ,2?,而而B(niǎo)有有4種選法種選法,即即4,5兩個(gè)元素可以在兩個(gè)元素可以在 B中

19、中,也可以不在也可以不在B中中. B中最小的數(shù)為中最小的數(shù)為4, 此時(shí)此時(shí)A有有7種選法種選法,即即A為為?1,2,3?的非空子集的非空子集,而而B(niǎo)有有2種選法種選法,即即5可以在可以在B中中,也可以不在也可以不在B中中. B中最小的數(shù)為中最小的數(shù)為5, 此時(shí)此時(shí)A有有15種選法種選法,即即A為為?1 ,2,3,4?的非空的非空子集子集,而而B(niǎo)僅有僅有1種選法種選法,即即5在在B中中. 由以上由以上, 不同的選擇方法共有不同的選擇方法共有1?8?3?4?7?2?15?1?49種種. 從這個(gè)解法中，可以看出，分類討論與整合的數(shù)學(xué)思想是解題的從這個(gè)解法中，可以看出，分類討論與整合的數(shù)學(xué)思想是解題的

20、關(guān)鍵。關(guān)鍵。 【例【例3】 (2006年年,安徽卷安徽卷,文，理文，理,11) 如果如果?A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于?A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（正弦值，則（ ） (A)?A1B1C1和和?A2B2C2都是銳角三角形都是銳角三角形 (B)?A1B1C1和和?A2B2C2都是鈍角三角形都是鈍角三角形 (C) ?A1B1C1是鈍角三角形，是鈍角三角形，?A2B2C2是銳角三角形是銳角三角形 (D)?A1B1C1是銳角三角形，是銳角三角形，?A2B2C2是鈍角三角形是鈍角三角形 【分析及解】【分析及解】 本題的思辨性在于如何理解和運(yùn)用題設(shè)的條

21、件本題的思辨性在于如何理解和運(yùn)用題設(shè)的條件. “ ?A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于?A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦的三個(gè)內(nèi)角的正弦值值” 這一條件表明這一條件表明: (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值均大于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值均大于0,則則?A1B1C1的三個(gè)的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于內(nèi)角的余弦值均大于0， 因此因此, ?A1B1C1是銳角三角形，是銳角三角形，這一判斷就排除這一判斷就排除了了(B),(C). (2) 下面只須判斷下面只須判斷 ?A2B2C2是銳角三角形還是鈍角三角形是銳角三角形還是鈍角三角形.這又可以利這又可以利?用條件用條件,因?yàn)樵?/p>

22、區(qū)間因?yàn)樵趨^(qū)間?0,?內(nèi)內(nèi),如果一個(gè)角的余弦等于另一個(gè)角的正弦如果一個(gè)角的余弦等于另一個(gè)角的正弦,?2?這兩個(gè)角互余這兩個(gè)角互余,即若即若?A2B2C2是銳角三角形，由是銳角三角形，由 ?sinA2?cosA1?sin(2?A1)?A2?2?A1?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得，得?B2?B1，那么，那么，22?sin C2?cos C1?sin(2?C1)?C2?2?C1?A2?B2?C2?，這是不可能的，這是不可能的.所以所以?A2B2C2是鈍角三角形。故選是鈍角三角形。故選D. 2在解題中，在解題中，把正弦通過(guò)已知轉(zhuǎn)化為余弦，把正弦通過(guò)已知轉(zhuǎn)化為余弦，再把余弦通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)

23、再把余弦通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化正弦，是思考問(wèn)題的關(guān)鍵化正弦，是思考問(wèn)題的關(guān)鍵. 【例【例4】(2006年年,天津卷天津卷,理理,21) 已知數(shù)列已知數(shù)列?xn?,?yn?滿足滿足x1?x2?1,y1?y2?2,并且并且 xn?1xnyn?1yn?,?(?為非零參數(shù)為非零參數(shù),n ?2,3,4, xnxn?1ynyn?1() 若若x1,x3,x5成等比數(shù)列成等比數(shù)列,求參數(shù)求參數(shù)?的值的值; xn?1xn?n?N?; () 當(dāng)當(dāng)? 0時(shí)時(shí),證明證明?yn?1yn) () 當(dāng)當(dāng)? 1時(shí)時(shí), x1?y1x2?y2?證明證明x2?y2x3?y3xn?yn?n?N?. ?xn?1?yn?1? 1對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù)?

24、賦予不同的值，賦予不同的值，可以得到不同的結(jié)論，可以得到不同的結(jié)論，是數(shù)學(xué)思辨的重要是數(shù)學(xué)思辨的重要內(nèi)容，在解題的過(guò)程中，化歸與轉(zhuǎn)化思想起了很大的作用，內(nèi)容，在解題的過(guò)程中，化歸與轉(zhuǎn)化思想起了很大的作用，如由如由xn?1xn?化歸為等比數(shù)列，就是解題的關(guān)鍵，在第化歸為等比數(shù)列，就是解題的關(guān)鍵，在第()問(wèn)中，利用第問(wèn)中，利用第xnxn?1xn?ynxn?yn1?n?，就會(huì)迎來(lái)解題的勝，就會(huì)迎來(lái)解題的勝()問(wèn)的結(jié)果把問(wèn)的結(jié)果把變化為變化為xn?1?yn?1xn?1?yn?1利，而第利，而第 ()問(wèn)，還可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，這也是對(duì)是否具備有限與問(wèn)，還可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，這也是對(duì)是否具備有限與無(wú)限

25、的數(shù)學(xué)思想的考驗(yàn)無(wú)限的數(shù)學(xué)思想的考驗(yàn). 此外，此外， 對(duì)充要條件的考查是對(duì)題目條件的思辨的很好的素材，對(duì)充要條件的考查是對(duì)題目條件的思辨的很好的素材，在全在全部的部的34 套試卷中，就有套試卷中，就有20 套考查了這一內(nèi)容。套考查了這一內(nèi)容。 3.3.對(duì)題目探究的思辨對(duì)題目探究的思辨 . . 【例【例1】(2006年年,上海卷上海卷,理理,12) 232三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題 “ 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式x? 25?x?5 x? ax在在?1,12?上上恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍” 提出各自的解題思路提出各自的解題思路 甲說(shuō)：甲說(shuō)：“ 只須不等式左邊的最小值不小

26、于右邊的最大值只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值” 乙說(shuō)：乙說(shuō)：“ 把不等式變形為左邊含變量把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值函數(shù)的最值” 丙說(shuō)：丙說(shuō)：“ 把不等式兩邊看成關(guān)于把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像的函數(shù)，作出函數(shù)圖像 ” 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的的取值范圍是取值范圍是 【分析及解】【分析及解】關(guān)鍵在于對(duì)甲，關(guān)鍵在于對(duì)甲，乙，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，丙的解題思路進(jìn)行思辨， 這一思這一思辨實(shí)際上是函數(shù)思想的反映辨實(shí)際上是函數(shù)思想的反

27、映. 232設(shè)設(shè) f?x?x? 25?x?5x ,g?x? ax . 甲的解題思路是對(duì)于甲的解題思路是對(duì)于x1?1 ,12?,x2?1 ,12?,若若f?x1?g?x2?恒成立恒成立,求求a的取值范圍的取值范圍.與題目與題目x?1 ,12?,f?x?g?x?恒成立恒成立,求求a的取值范圍的取值范圍的要求不一致的要求不一致.因而因而, 甲的解題思路不能解決本題甲的解題思路不能解決本題. 232按照丙的解題思路需作出函數(shù)按照丙的解題思路需作出函數(shù)f?x?x? 25?x?5x ,g?x? ax的圖象的圖象,然而然而,函數(shù)函數(shù)f?x?的圖象并不容易作出的圖象并不容易作出. f?x?a在在x?1 ,12

28、?上恒成立上恒成立,等價(jià)于等價(jià)于由乙的解題思路由乙的解題思路,本題化為本題化為x?f?x?x?1 ,12?時(shí)時(shí), ?a成立成立. ?x?minf?x?25?x?x x?5在在x?5?1 ,12?時(shí)時(shí),有最小值有最小值10 ,于是于是,a ?10 . 由由xx【例【例2】(2006年年,天津卷天津卷,理理,20) 3已知函數(shù)已知函數(shù)f?x?4 x?3 x cos?cos?,其中其中x? R,?為參數(shù)為參數(shù),且且160?2?. () 當(dāng)當(dāng)cos?0時(shí)時(shí),判斷函數(shù)判斷函數(shù) f?x?是否有極值是否有極值; 32() 要使函數(shù)要使函數(shù)f?x?的極小值大于零的極小值大于零,求參數(shù)求參數(shù)?的取值范圍的取值范

29、圍; () 若對(duì)若對(duì)()中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)?,函數(shù)函數(shù)f?x?在區(qū)間在區(qū)間?2 a?1, a?內(nèi)都是增函數(shù)內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍. 【 分分 析析 及及 解解 】() 當(dāng)當(dāng)cos?0時(shí)時(shí), f?x?4x3,則則 函函 數(shù)數(shù)f?x?在在?,?上是增函數(shù)上是增函數(shù),所以沒(méi)有極值所以沒(méi)有極值. 這這 一一 問(wèn)問(wèn) 在于在于 對(duì)對(duì) 函函 數(shù)的極數(shù)的極 值值 存存 在的在的 充充 要要 條件的條件的 思思 辨辨 ，如，如 果果 認(rèn)為認(rèn)為f?x?0有解，函數(shù)就有極值，勢(shì)必解錯(cuò)此問(wèn)。有解，函數(shù)就有極值，勢(shì)必解錯(cuò)此問(wèn)。 cos?() f ?x?12

30、 x?6xcos?,令令 f ?x?0得得x1?0,x2?. 2(1) 當(dāng)當(dāng) cos?0時(shí)時(shí), cos?cos?cos? 0,? x ? 0?,0? 22?2? ? 00 f?x? 2f?x? 極極大大值值 cos?x?2極極小小值值 因因此此,函函數(shù)數(shù)f?x?在在處處取取得得極極小小值值13?cos?3f?cos?. ? ?cos?416?2?313?cos?3cos?0得得 0?cos?解解 f?. ? ?cos?2416?2?3?11?因?yàn)橐驗(yàn)??2?,所以所以?或或. 6226(2) 當(dāng)當(dāng)cos?0時(shí)時(shí), cos?x ?,? 2?f?x? ? cos?cos? ?,0? 022? 0

31、0 ?0,? ? f?x? 極大值極大值 極極小小值值 3因此因此,函數(shù)函數(shù)f?x?在在x?0處取得極小值處取得極小值 f?0?cos? 163但是但是, f?0?cos?0與與cos?0矛盾矛盾,此時(shí)無(wú)解此時(shí)無(wú)解. 16? ? ?3?11?綜合以上綜合以上, 參數(shù)參數(shù)?的取值范圍是的取值范圍是?,? ?,?. ?6 2? ?26?這一問(wèn)是對(duì)分類討論思想的考查這一問(wèn)是對(duì)分類討論思想的考查 ?cos?,?,由題意由題意. () 由由(), 函數(shù)函數(shù)f?x?的增區(qū)間是的增區(qū)間是?,0?和和?2?2 a?1 ,a?應(yīng)是它們的子區(qū)間應(yīng)是它們的子區(qū)間.于是有于是有 ?2a?1?a,?a?1,?2 a?1

32、?a,?或或?cos?解得解得a ? 0或或?cos? ?2 a?1?.2 a?1?.?a?0,?2?24?3cos?3?cos?.解得解得a ?, 2 a?1?2 a?1?2 a?1?824?2?max由以上由以上, 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是?,0?第第()問(wèn)則考查了函數(shù)思想。問(wèn)則考查了函數(shù)思想。 ?4?3 ?,1? ?8?【例【例3】(2006年年,全國(guó)卷全國(guó)卷 ,理理,22) 41n?12設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列?an?的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和Sn?an?2?，n?1,2,3, 333（）求首項(xiàng)求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)與通項(xiàng)an； 32（）設(shè)設(shè)Tn?，n?1,2,3,，證明：，證明：?Ti? 2Sn

33、i?1nn【分析及解】【分析及解】 nn?（）的解法比較常規(guī)，容易得出的解法比較常規(guī)，容易得出 a1?2, an?4?2?n?N? （）一般的解法是對(duì)一般的解法是對(duì)Ti裂項(xiàng)，再對(duì)裂項(xiàng)，再對(duì)Ti求和。求和。 1n?12n?1把把a(bǔ)n?4?2代入題設(shè)的代入題設(shè)的Sn表達(dá)式中，得表達(dá)式中，得Sn?4?2?， 332n2n3?2n?1Tn?2n?1 nSn1?4n?1?2n?1?22?3?2?1333?2n3?11?n?n?1?, n?1n2?2?1?2?1?2?2?12?1?nn3?11111?2?3?n?n?1? ?Ti?1?22?2?12?12?12?12?1?i?13?1?3?1?n?1?.

34、2?2?2這一解法中，這一解法中，對(duì)對(duì)Ti裂項(xiàng)需要很強(qiáng)的運(yùn)算能力和判斷與決策能力，裂項(xiàng)需要很強(qiáng)的運(yùn)算能力和判斷與決策能力， 大大n部分考生不容易想到，即使想到用裂項(xiàng)求和，也不一定能解得出來(lái)。部分考生不容易想到，即使想到用裂項(xiàng)求和，也不一定能解得出來(lái)。 3?1?只要把結(jié)論加強(qiáng)為求證：只要把結(jié)論加強(qiáng)為求證：?Ti?1?n?1? ? 2?2?i?1就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。 1n?1n?12nn證法是這樣的。把證法是這樣的。把a(bǔ)n?4?2代入題設(shè)的代入題設(shè)的Sn表達(dá)式中，得表達(dá)式中，得Sn?4?2?， 33213?1?（1）n?1時(shí)，時(shí)，T1?1?1?1?1?， ?成立；成立；

35、 S12?2?1?k3?1?(2) 假設(shè)假設(shè)n?k時(shí)時(shí), ?成立成立,即即?Ti?1?k?1?, 2?2?i?1那么那么,n?k?1時(shí)時(shí), k?1k?3?1?2k?13?12k?1Ti?Ti?Tk?1?1?k?1?1?k?1?2k?3 ?k?12?2?1?4k?2?2k?2?22?2?1 2?3?2?1?i?1i?133?3?3?12k?12k?2?1?2k?1?1?k?1?2k?31?k?2? ?k?1k?12?2?1 2?3?2?1?2?2?1 2?1?3?1?1?k?2? 2?2?1?所以所以, n?k?1時(shí)時(shí), ?成立成立 n? ?3?1?3 于是于是,對(duì)對(duì)n? N?成立成立,即即?T

36、i?1?n?1?. 2?2?2i?1?n4. .4. .對(duì)解法選擇的思辨對(duì)解法選擇的思辨. 【例【例1】(2006年年,天津卷天津卷,理理,7) 已知數(shù)列已知數(shù)列?an?,?bn?都是公差為都是公差為1的等差數(shù)列的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為其首項(xiàng)分別為a1,b1,且且a1?b1?5,a1,b1? N,設(shè)設(shè)cn?abn?n? N?,則數(shù)列則數(shù)列?cn?的前的前10項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于?( ). (A)55 (B)70 (C) 85 (D) 100 【分析及解】解法【分析及解】解法1.設(shè)設(shè)b1?1,則則a1?ab1? 4.從而從而bn?n,于是有于是有 cn?abn?ab1?bn?1?1?4?n?1?n?

37、3.c1?c2?c10?1?2?10?30?85. 從而排除從而排除(A),(B),(D),而選而選(C). 解法解法2. ab1?a1?b1?1?1?4,abn?ab1?bn?1?1?bn?3?an?n?3. 又又an?bn?a1?n?1?b1?n?1?2 n?3?bn?n .于是于是 cn?abn?ab1?bn?1?1?4?n?1?n?3.c1?c2?c10?1?2?10?30?85. 【例【例2】 （2006年，四川卷，文）年，四川卷，文） 已知函數(shù)已知函數(shù) f?x?x?3 ax?1 ,g?x?f?x?ax?5，其中，其中 f?x?是的是的3導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù) （）對(duì)滿足對(duì)滿足?1? a ?1

38、的一切的一切a的值，都有的值，都有g(shù)?x? 0，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)x的取的取值范圍；值范圍； 2（）設(shè)設(shè)a? ?m，當(dāng)實(shí)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y?f?x?的的圖象與直線圖象與直線y? 3只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn) 【分析及解】只考慮（【分析及解】只考慮（ ） ，由題意由題意g?x?3 x2?ax?3 a?5，這是，這是一個(gè)給出參數(shù)一個(gè)給出參數(shù)a的范圍，解不等式的范圍，解不等式g?x?0的問(wèn)題，直接求解有困難，的問(wèn)題，直接求解有困難，也沒(méi)有好的解法，但是，如果換一個(gè)角度，把以也沒(méi)有好的解法，但是，如果換一個(gè)角度，把以x為變量的函數(shù)為變量的函數(shù)g?x?，由于參數(shù)

39、由于參數(shù)a的范圍的存在，改為以的范圍的存在，改為以a為變量的函數(shù)，即為變量的函數(shù)，即 令令?a?3?x?a?3 x2?5，?1?a?1?，則對(duì)，則對(duì) ?1?a?1，恒有，恒有g(shù)?x?0，即，即?a?0，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)?1?a?1，?a?0恒成立的問(wèn)恒成立的問(wèn)題，又由題，又由?a?是是a的一次函數(shù)，問(wèn)題就容易解決了的一次函數(shù)，問(wèn)題就容易解決了. 2?1?0?3x?x?2?0,2?只需只需? 即即?2解得解得? x?1 3?3x?x?8?0.?1?0?2?故故x?,1?時(shí)，對(duì)滿足時(shí)，對(duì)滿足?1? a ?1的一切的一切a的值，都有的值，都有g(shù)?x?0 ?3?【例【例3】 （2006年全國(guó)

40、卷年全國(guó)卷 ，文），文） 2設(shè)設(shè)a?R，二次函數(shù)，二次函數(shù) f(x)?ax?2 x?2 a.若若f(x)?0的解集為的解集為A， B?x|1?x?3?,A B?，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍. 【分析及解】【分析及解】 這是一個(gè)題目在不等式成立的前提下，這是一個(gè)題目在不等式成立的前提下，求參數(shù)的范圍求參數(shù)的范圍的問(wèn)題，的問(wèn)題， 這個(gè)題目的常規(guī)解法是：由題設(shè)這個(gè)題目的常規(guī)解法是：由題設(shè),a?0. 1111 f?x? 0 的的 兩兩 個(gè)個(gè) 根根 為為x1?2?2, x2?2?2,顯顯aaaa然然,x1?0. x2?0. (1) 當(dāng)當(dāng)a?0時(shí)時(shí),A?x x1?x?x2?, 11 A B? ?

41、 ?x2?1?2?2?1? a ? ?2. aa (2) 當(dāng)當(dāng)a?0時(shí)時(shí), A?x x?x1? ?xx?x?, 2116 A B? ? ?x2?3?2?2?3? a ?. aa7?6?于是于是,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是?,?2?,?. ?7?我們注意到我們注意到,題目的要求與大部分見(jiàn)到的題并不相同題目的要求與大部分見(jiàn)到的題并不相同.這類題目在試題中出現(xiàn)這類題目在試題中出現(xiàn)最多的是不等式恒成立的問(wèn)題最多的是不等式恒成立的問(wèn)題,而本題卻是一個(gè)不等式能成立的問(wèn)題而本題卻是一個(gè)不等式能成立的問(wèn)題,因?yàn)橐驗(yàn)?題目題目的條件是只要集合的條件是只要集合 A ,B的交集不是空集就可以的交集不是空集就可以,即即