§4可降階的二階微分方程_第1頁(yè)
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1、10 4 可降階的二階微分方程 課 題： 0 4可降階的二階微分方程 教學(xué)目的 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)過(guò)程： 通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握三類(lèi)可降階的二階微分方程解法 三類(lèi)可降階的二階微分方程解法 后兩類(lèi)可降階的二階微分方程解法 、y(n)f (x)型的微分方程 求解方法 積分 n 次：y(n 1) f(x)dx G y(n 2) f(x)dx C1dx C2 例 1 求微分方程 y e2x cos x 的通解 解對(duì)所給方程接連積分三次得 這就是所給方程的通解 A y e2x sinx 2C1 y e2x cosx 2Gx C2 4 y 1e2x sinx Gx2 C2x C3 8 這就是所給方程的

2、通解 f(x y)型的微分方程 解法設(shè) y p 則方程化為 P f(x p) 設(shè) p f(x p)的通解為 p (x Ci)則 dy dx 原方程的通解為丄e2x 2 丄e2x 4 ie2x 8 sinx G cosx Gx C2 sinx ICiX2 C2x C3 (x,Ci) y (xQ)dx C2 例 2 求微分方程 (1 x2)y 2xy 滿(mǎn)足初始條件 y|x 0 1 y |x 0 3 的特解 解 所給方程是 y f(x y)型的 設(shè) y p 代入方程并分離變量后 有 dp 壬 dx p 1 x2 兩邊積分得 In|p| ln(1 x2) C 即 p y C1(1 x2) (C1 eC

3、) 由條件 y |x o 3 得 C1 3 所以 y 3(1 x2) 兩邊再積分得 y x3 3x C2 又由條件 y|x 0 1 得 C2 1 于是所求的特解為 y x3 3x 1 、y f(y y)型的微分方程 解法設(shè) y p 有 dp dp dy dp dx dy dx p dy 原方程化為p# f(yP) 設(shè)方程p血f (y,p)的通解為 y p dy (y C1)則原方程的通解為 dy (y,C1) x C2 例 3 求微分 yy y2 0 的通解 解設(shè) y p 則y pdp dy 代入方程得ypdP p2 0 dy 在 y 0、p 0 時(shí) 約去 p 并分離變量 得 dp dy p y 兩邊積分得 In|p| In|y| Inc 即 p Cy 或 y Cy(C c) 再分離變量并兩邊積分便得原方程的通解為 ln|y| Cx Inci 或 y CieCx(Ci ci) 例 4 求微分 yy y2 0 的通解 解設(shè) y p 則原方程化為yp蟲(chóng)p2 0 dy 當(dāng) y 0、p 0 時(shí)有 dp 1 dy

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