第7章 剛體力學(xué)復(fù)習(xí)

1、1 ( Mechanics of Rigid Body ) 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 力矩和轉(zhuǎn)動慣量力矩和轉(zhuǎn)動慣量 剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理 角動量定理和角動量守恒定律角動量定理和角動量守恒定律 剛體的平面平行運動（純滾動）剛體的平面平行運動（純滾動） 剛體剛體是一個理想的力學(xué)模型，它是指各部分的相對是一個理想的力學(xué)模型，它是指各部分的相對位置在運動中（無論有無外力作用）均保持不變的位置在運動中（無論有無外力作用）均保持不變的物體。物體。2一一.剛體運動學(xué)剛體運動學(xué)-研究剛體按怎樣的規(guī)律研究剛體按怎樣的規(guī)律轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動? 剛體的定軸轉(zhuǎn)動可類比于質(zhì)點的直剛體的定軸轉(zhuǎn)動可類比于

2、質(zhì)點的直線線 運動運動 角位置-位置x 角速度 -速度 角加速度 -加速度ddtdxvdtddtdvadt3二二. 剛體動力學(xué)剛體動力學(xué)-研究剛體為什么會這樣研究剛體為什么會這樣轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動? 剛體的定軸轉(zhuǎn)動可類比于質(zhì)點剛體的定軸轉(zhuǎn)動可類比于質(zhì)點動力學(xué) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量I-質(zhì)點的質(zhì)量質(zhì)點的質(zhì)量m 角動量角動量 -動量動量 角動量定理角動量定理 -動量定理動量定理 轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理 -牛頓第二定律牛頓第二定律 相同的定理相同的定理-質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 L I,PmvdLMdtdPFdtM IFma4三三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系-轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動能定理類比于質(zhì)點的動能定理動能定理

3、類比于質(zhì)點的動能定理 轉(zhuǎn)動動能定理 質(zhì)點的動能定理2122211122MdII22211122CBF drmvmv5 四四.剛體的平面平行運動動力學(xué)的處理剛體的平面平行運動動力學(xué)的處理方法方法: 質(zhì)心運動定理+繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理 五五.剛體的平衡條件要掌握剛體的平衡條件要掌握61. 剛體的基本運動形式剛體的基本運動形式 剛體剛體由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點組成的質(zhì)由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點組成的質(zhì)點系，每個質(zhì)點稱為剛體的一個點系，每個質(zhì)點稱為剛體的一個質(zhì)量元質(zhì)量元。每個。每個質(zhì)點都服從質(zhì)點力學(xué)規(guī)律。質(zhì)點都服從質(zhì)點力學(xué)規(guī)律。基礎(chǔ)基礎(chǔ)剛體的運動剛體的運動平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動。任何復(fù)雜的運。任何復(fù)雜的運動為兩

4、者的疊加。動為兩者的疊加。7剛體的復(fù)雜運動剛體的復(fù)雜運動平動和轉(zhuǎn)動的疊加。cv* *. .剛體的平動可以簡化為質(zhì)點的運動。剛體的平動可以簡化為質(zhì)點的運動。8（a）2. 定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)描述定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)描述oXY如圖如圖(a)所示，所示，O-XYZ坐標(biāo)系的坐標(biāo)系的Z軸與轉(zhuǎn)軸重合。剛軸與轉(zhuǎn)軸重合。剛體上坐標(biāo)體上坐標(biāo)（X,Y）相同但相同但 Z 坐標(biāo)不同的質(zhì)元，具有坐標(biāo)不同的質(zhì)元，具有相同的運動狀態(tài)。用相同的運動狀態(tài)。用O-XY坐標(biāo)平面自剛體截出一平坐標(biāo)平面自剛體截出一平面圖形如圖面圖形如圖(b) 所示。所示。oXY（b）9oXYAAr在平面圖上除在平面圖上除O點外任選一點點外任選一點A，則圖形的

5、位置可由，則圖形的位置可由A的的位置唯一確定。位置唯一確定。A點的位置矢量為點的位置矢量為 ， 由于矢經(jīng)的大小由于矢經(jīng)的大小不變，故其位置可由自不變，故其位置可由自O(shè)X軸逆時針轉(zhuǎn)至軸逆時針轉(zhuǎn)至OA的角的角 說明。說明。r剛體定軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo)（規(guī)定：逆時針為正）。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo)（規(guī)定：逆時針為正）。故：剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程為：故：剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程為：( ) t在在 時間內(nèi)剛體發(fā)生角位移時間內(nèi)剛體發(fā)生角位移 t則剛體轉(zhuǎn)動的角速度為：則剛體轉(zhuǎn)動的角速度為：0limddttt 10則剛體轉(zhuǎn)動的角加速度為：則剛體轉(zhuǎn)動的角加速度為：0limddttt 與質(zhì)點運動學(xué)相似，已知初始條件，由角

6、速度、角加速與質(zhì)點運動學(xué)相似，已知初始條件，由角速度、角加速度通過積分可以求出剛體的運動方程。度通過積分可以求出剛體的運動方程。( ) t角加速度角加速度 為常量的轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動，則有：為常量的轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動，則有：2012tt0t 2202,角量角量,r v a 線量線量vrar113. 角速度的矢量性、角速度的矢量性、定軸轉(zhuǎn)動的特征：, , ,不同；相同。r v a s POX)1( ：角角坐坐標(biāo)標(biāo)角角位位置置dtd角速度：)2(rvvXOPrdtd大?。悍较颍河沂致菪▌t。11sradSI秒：弧度單位12dtd角加速度：) 3 (dtd大?。?反方向。與為減速運動，當(dāng)同方向；與為加速運動

7、，當(dāng)方向：, 02, 01dd22rrvaran)(22sradSI秒：弧度單位剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動說明：有限大小的角位移并不是矢量，只有無限小說明：有限大小的角位移并不是矢量，只有無限小 的角位移、角速度才是矢量。的角位移、角速度才是矢量。134. 剛體的平面運動剛體的平面運動剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面均與一固定剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面均與一固定平面平行剛體的平面運動。平面平行剛體的平面運動。利用與固定平面平行的平面在剛體體內(nèi)截出一平面圖利用與固定平面平行的平面在剛體體內(nèi)截出一平面圖形，此平面圖形位置確定，則剛體的位置即可確定。形，此平面圖形位置確定，則剛體的位置即

8、可確定。14xyO y xBBr rA在圖形所在的平面內(nèi)建立在圖形所在的平面內(nèi)建立Oxyz坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，z軸與圖形平軸與圖形平面垂直，如圖所示。在剛體上任選一點面垂直，如圖所示。在剛體上任選一點B基點基點，位置矢量為：位置矢量為： ，僅有，僅有B點還不點還不能完全確定剛體位置，能完全確定剛體位置，why？Br以基點以基點B為原點，建立如圖所為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系示的坐標(biāo)系 。 Bx yA為剛體上任一點，其為剛體上任一點，其位置矢量位置矢量 與與 軸的夾角為軸的夾角為 ，如何，如何確定剛體的位置呢？確定剛體的位置呢？ rBx15剛體平面運動可表示為：剛體平面運動可表示為：剛體隨基點的平動

9、剛體隨基點的平動剛剛體繞過基點且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動體繞過基點且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動剛體隨基點的平動剛體隨基點的平動:( )( )( )BBBBrr tx t iy t j繞過基點且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動繞過基點且與圖形平面垂直的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動( ) t說明：在運動學(xué)中，基點的選擇完全是任意的說明：在運動學(xué)中，基點的選擇完全是任意的16xyO y xBBrrA如圖所示，如圖所示，A點相對點相對 坐標(biāo)系的位置矢量為：坐標(biāo)系的位置矢量為：o xyBrrr兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，得：兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，得：ddddddBrrrvtttBvvvBvvr如何計算剛體平面運動時如何計算

10、剛體平面運動時A運動的速度運動的速度 ？v17cvP利用利用 討論車輪無滑滾動的條件。討論車輪無滑滾動的條件。Bvvr圓柱體滾動時，圓柱體邊緣上各點與支撐面接觸的圓柱體滾動時，圓柱體邊緣上各點與支撐面接觸的瞬時，與支撐面間無相對滑動瞬時，與支撐面間無相對滑動無滑滾動。無滑滾動。無滑滾動的特點無滑滾動的特點：圓柱體邊緣在與支撐面接觸時，相：圓柱體邊緣在與支撐面接觸時，相對于支撐面的瞬時速度為零。對于支撐面的瞬時速度為零。18則輪胎邊緣上任一點的速度為：則輪胎邊緣上任一點的速度為：cvvrPcvr 選擇車軸上一點選擇車軸上一點C為基點，平動速度為為基點，平動速度為 ，車輪，車輪半徑為半徑為 r ，

11、繞過，繞過C點的軸轉(zhuǎn)動的角速度為點的軸轉(zhuǎn)動的角速度為 ，cv車輪無滑滾動時，對于瞬時接觸地車輪無滑滾動時，對于瞬時接觸地面的面的P點，其瞬時速度為零。即：點，其瞬時速度為零。即：0cvr在如圖所示的坐標(biāo)系水平方向上的分量為：在如圖所示的坐標(biāo)系水平方向上的分量為：yxcxzvr上式即為圓柱體做無滑滾動的條件。上式即為圓柱體做無滑滾動的條件。19cvP擺線、圓滾線擺線、圓滾線圓柱體做無滑滾動時，邊緣上一點在空間畫出的軌圓柱體做無滑滾動時，邊緣上一點在空間畫出的軌跡如圖所示。跡如圖所示。20質(zhì)點的動量：質(zhì)點的動量：質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系的動量：pm v1niiiPm v一、剛體的質(zhì)心一、剛體的質(zhì)心質(zhì)點

12、系的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：iicim xxmiicim yymiicim zzmiicim rrm21則剛體的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：則剛體的質(zhì)心坐標(biāo)表示為：ddVcVx mxmddVcVy mymddVcVz mzm式中：ddV= dSm例例1:求長為求長為L的均勻細棒的質(zhì)心。的均勻細棒的質(zhì)心。(棒的質(zhì)量為棒的質(zhì)量為m)xydxxdmL解：選取質(zhì)量微元解：選取質(zhì)量微元dm，則，則 ddVcVx mxm2202LcMxdxLLxM即即:質(zhì)心位于棒中點處質(zhì)心位于棒中點處例例2:求半徑為求半徑為a的均勻半球體的質(zhì)心。的均勻半球體的質(zhì)心。r解：由對稱分析可知：解：由對稱分析可知：0ccxy

13、ddddVVcVVz mzVzmV23將半球分割成一個個半徑將半球分割成一個個半徑 r 的小圓盤，則：的小圓盤，則：232( cos )sincos2ddz= (asin )ddVraa032/23cossincos1 42338dddVcVz VaazaVa 如果剛體由幾個部分組成如果剛體由幾個部分組成,則剛體的質(zhì)心如何計算？則剛體的質(zhì)心如何計算？24如果剛體由幾個部分組成如果剛體由幾個部分組成,則剛體的質(zhì)心與組建剛體的則剛體的質(zhì)心與組建剛體的各部分的質(zhì)心關(guān)系仍可采用前面講過的質(zhì)心坐標(biāo)公式，各部分的質(zhì)心關(guān)系仍可采用前面講過的質(zhì)心坐標(biāo)公式，僅需做如下的變換僅需做如下的變換: im表示剛體各部分

14、的質(zhì)量表示剛體各部分的質(zhì)量,iiix y z,icicicxyz( 剛體各部分的質(zhì)心坐標(biāo)剛體各部分的質(zhì)心坐標(biāo) )iicCim xxmiicCim yymiicCim zzm25例例3: 在半徑為在半徑為R的均勻等厚大圓板一側(cè)挖去半徑為的均勻等厚大圓板一側(cè)挖去半徑為 R/2的小圓板，大小圓板相切，如圖所示。的小圓板，大小圓板相切，如圖所示。求：剩余部分的質(zhì)心。求：剩余部分的質(zhì)心。xyo解：建立如圖所示的坐標(biāo)系。考慮解：建立如圖所示的坐標(biāo)系?？紤] 對稱性可知：對稱性可知：0Cx 圓板單位面積的質(zhì)量；圓板單位面積的質(zhì)量；大圓板質(zhì)量：大圓板質(zhì)量：2MR大圓板質(zhì)心坐標(biāo)：大圓板質(zhì)心坐標(biāo)：0cx 26小圓板

15、質(zhì)心坐標(biāo)：小圓板質(zhì)心坐標(biāo)：小圓板質(zhì)量：小圓板質(zhì)量：214Rm 12cRx剩余部分質(zhì)量：剩余部分質(zhì)量：2234Rm 則剩余部分質(zhì)的質(zhì)心坐標(biāo)則剩余部分質(zhì)的質(zhì)心坐標(biāo) 由下式確定：由下式確定：2cx222234240cRRRxR26cRx xyo27二、剛體的動量與質(zhì)心運動定理二、剛體的動量與質(zhì)心運動定理剛體可視為由無窮多個質(zhì)點組成，則剛體的動量應(yīng)等剛體可視為由無窮多個質(zhì)點組成，則剛體的動量應(yīng)等于所有質(zhì)點動量的矢量和。即：于所有質(zhì)點動量的矢量和。即：i iPmviiiicim rm rrmm由質(zhì)心的定義式：由質(zhì)心的定義式：ddddtdtdtciiiirrmm rmci iPmvmv-剛體的動量剛體的動

16、量可得：可得：28dddddtdtcccmvvPmmat剛體動量表達式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，可得：剛體動量表達式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，可得：iF即：剛體質(zhì)心運動定理表示為作用在剛體上所即：剛體質(zhì)心運動定理表示為作用在剛體上所有外力的矢量和等于剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)心運動加速有外力的矢量和等于剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)心運動加速度的乘積。度的乘積。icFma剛體質(zhì)心運動定理剛體質(zhì)心運動定理若剛體所受合外力為零，則動量守恒。若剛體所受合外力為零，則動量守恒。29解解: 質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸,則質(zhì)心繞轉(zhuǎn)軸作半則質(zhì)心繞轉(zhuǎn)軸作半徑為徑為d的圓周運動的圓周運動, 其向心加速度為：其向心加速度為：例例4：園盤形勻質(zhì)飛輪：園盤形

17、勻質(zhì)飛輪m5kg，半徑，半徑r0.15m，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速 為為n400轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分，飛輪做勻速轉(zhuǎn)動，飛輪質(zhì)心距，飛輪做勻速轉(zhuǎn)動，飛輪質(zhì)心距 離轉(zhuǎn)軸離轉(zhuǎn)軸d0.001m。（忽略飛輪自身的質(zhì)量）。（忽略飛輪自身的質(zhì)量）rd222400 3.14/300.001( / )cadm s求求: 軸處所受作用力軸處所受作用力30方向方向:由質(zhì)心指向轉(zhuǎn)軸由質(zhì)心指向轉(zhuǎn)軸。由于轉(zhuǎn)動體質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸。由于轉(zhuǎn)動體質(zhì)心偏離轉(zhuǎn)軸,則則軸承和支座受到時上時下時左時右的周期力的作用軸承和支座受到時上時下時左時右的周期力的作用,使機座產(chǎn)生有害震動。使機座產(chǎn)生有害震動。由于當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)動時由于當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)動時,不考慮重力的影響不考慮重力的影響

18、,故軸承處受故軸承處受到的作用力大小為：到的作用力大小為：2227( )FmdN31一、剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量1m2mo1r2r1L2LL如圖所示，由如圖所示，由m1、m2以及細繩以及細繩組成的剛體，繞軸以組成的剛體，繞軸以 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)O點為軸上任意一點，則點為軸上任意一點，則m1和和m2對對O點的角動量分別為：點的角動量分別為：111 1Lrmv2222Lrm v則剛體對則剛體對O點的角動量為：點的角動量為：12LLL剛體對剛體對O點的角動量點的角動量 與角速度與角速度 方向不相同。方向不相同。L32說說 明：明：v 動量總是沿速度方向，但剛體繞定軸轉(zhuǎn)

19、動時的角動量總是沿速度方向，但剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的角 動量不一定沿角速度方向；動量不一定沿角速度方向；v 當(dāng)質(zhì)量分布與幾何形狀有共同的對稱軸，且剛體當(dāng)質(zhì)量分布與幾何形狀有共同的對稱軸，且剛體 繞該對稱軸轉(zhuǎn)動時，角動量與角速度方向相同；繞該對稱軸轉(zhuǎn)動時，角動量與角速度方向相同；222121 12 22zzzzzzLLLmrm rmr21()nzi iziLmr剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為：剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量為：33二、剛體對一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量二、剛體對一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量由剛體對軸的角動量的表達式：由剛體對軸的角動量的表達式：21()nzi iziLm r可知，令可知，令21nziiiIm r轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣

20、量則剛體對軸的角動量表示為：則剛體對軸的角動量表示為：zzzLI剛體：剛體：質(zhì)點：質(zhì)點：角動量、角動量、動量、動量、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量、質(zhì)量、角速度角速度速度速度轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 I 是用于描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。是用于描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：2dzLIrm34平行軸定理和正交定理平行軸定理和正交定理22222zi iiiiiiiixyImrm xymxm yIIXYZimixiyirO平行軸定理平行軸定理:2cIImdcdm正交軸定理正交軸定理:zxyIII35 例一例一 求一質(zhì)量為 m，長為 l 的均勻細棒的轉(zhuǎn)動慣量。（1）軸通

21、過棒的中心并與棒垂直。（2）軸通過棒的一端并與棒垂直。 解解：（1）在棒上取質(zhì)量元，長為 dx，離軸 O 為 x，棒的線密度為XlOxdxlm222mdIx dm xdlxdxl整個棒對軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為2222112llmIdIx dxmll則 dm 對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為36XldxOx（2）22013lmIx dxmll或利用平行軸定理2cIImd同樣得222111223lImlmml37 例二例二 求質(zhì)量為 m，半徑為 R 的細圓環(huán)和均勻薄圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。解解：（1）在圓環(huán)上取一質(zhì)量元為dlRmdldm2該質(zhì)量元對軸O 的轉(zhuǎn)動慣量為222mdIR

22、dmRdlR整個細圓環(huán)對軸O 的轉(zhuǎn)動慣量為22202RmIdIRdlmRRdlOR38ORrdr（2）在 r 處取一寬為 dr 的圓環(huán)，質(zhì)量為rdrRmdSdm22于是有2dIr dm整個薄圓盤對軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為22220122RmIr dmrrdrmRr中間挖空后如何？中間挖空后如何？39 例三例三 密度為的均勻矩形板，求通過與板面垂直的 幾何中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 。其中 a 為矩形板 的長，b 為它的寬。2212baabdmxyabOdxdydSdm2222dIxydmxydxdy它對過O且垂直于矩形板的軸的轉(zhuǎn)動慣量為 解一：解一：在矩形板上任取面元 dS，其質(zhì)量為40整個矩形板對該軸

23、的轉(zhuǎn)動慣量為整個矩形板對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為222222233222221312abababbaIdIxydxdyx y xyab ab 41223322211312aaayaIbx dxbxa b同理得：由垂直軸定理：22112xyIIIab ab223222313112bbbxbIay dyayab解二：解二：如圖：如圖：xyabOydy42影響I的因素：（一）（一）I與與M對轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)；對轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)；（二）（二）I與剛體質(zhì)量與剛體質(zhì)量M有關(guān)；有關(guān)；（三）（三）I與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量的計算：點轉(zhuǎn)動慣量的計算：點線線面面體體dVdSdldm43二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的二

24、、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量定理和和轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律（1 1） 角動量定理角動量定理由質(zhì)點系對由質(zhì)點系對Z軸的角動量定理，可得剛體軸的角動量定理，可得剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理：定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理：zdd(I)izMt00ztztd (I) (I)tiztMt44二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量定理和和轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律（1 1） 角動量定理角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理：00ztztd(I)(I)tiztMt即：作用于剛體上合外力矩的沖量等于剛即：作用于剛體上合外力矩的沖量等于剛體對該軸角動量的增量體對該軸角動量的增量角動量

25、定理角動量定理。45剛體為什么會轉(zhuǎn)動？剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的規(guī)律是什么？212kEI212,與比較，知I相對于質(zhì)點或剛體平動 的質(zhì)量是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。反映轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。kEmvm46力對轉(zhuǎn)軸的力矩大小力矩大小為sinFrFdMz 力對轉(zhuǎn)軸的力矩力矩等于在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的外力 F 的大小和 F 與軸之間的垂直距離 d 的乘積。SOFPdrZ內(nèi)在平面力SF47，所以有能改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)只有FFrMz一般情況一般情況FFF平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸48。牛頓：米單位NmSI代數(shù)和zM；方向，剛體順時針轉(zhuǎn)動，沿；方向，剛體逆時針轉(zhuǎn)動沿用代數(shù)表示為矢量。對定軸轉(zhuǎn)動，ZOMOZMMz

26、zz0, 0:49確確定定的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸。對對某某一一必必須須指指明明外外力力 FMz相同。相同，產(chǎn)生的效果完全可以不同，只要和是一完整的物理量，MFrM50地位相當(dāng)。相比較與牛頓第二定律,amF 瞬時性。同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言?？捎么鷶?shù)表示。的方向均在轉(zhuǎn)軸方位，和在定軸轉(zhuǎn)動中，zM 剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。zMI511221,一輕繩跨過一質(zhì)量為 的定滑輪（視為半徑為 的薄圓盤），繩兩端掛質(zhì)量為和兩物體，且滑輪軸間摩擦阻力矩為，繩與滑輪無相對滑動，求物體的加速度和繩中例1:的張力。fmrmmmmM根據(jù)牛頓定

27、律和轉(zhuǎn)動定律列方程：根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律列方程： 解：解：隔離物體，受力分析， 作示力圖。1m2mr52 3212121222221111mrMrTrTamTgmmamgmTmf對滑輪對對2211,TTTT 4ra繩與滑輪無相對滑動繩與滑輪無相對滑動2m2Tgm2a1m1Tgm1a1T2TfMOr53聯(lián)立（1）（4）式可解得22112mmmrMgmmaf2212212111mmmrMgmmmagmTf2212211222mmmrMgmmmagmTf54gmmmmagmmmmTTMmf21122121212時，有和摩擦阻力矩當(dāng)不計滑輪質(zhì)量55例例4： 一長為l 、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細桿豎直放置，

28、其下端與一固定絞鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動。由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細桿將在重力的作用下由靜止開始繞絞鏈 O 轉(zhuǎn)動。試計算細桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時的角加速度和角速度。所示。如圖的作用鏈對細桿的約束力，絞解：細桿受重力,NgmP的力矩分別為它們對轉(zhuǎn)軸絞鏈 Osin21mglMgm0NMOl2lNgm56由轉(zhuǎn)動定律 Isinmgl21213Im l于是得sin23lg由角加速度定義sin23lgdtd進行變換sin23lgdddtddddtd細桿繞軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為57移項得dlgdsin23得時，, 0, 0000t00sin23dlgd積分后化簡得角速度為c

29、os13lg對上式積分，并利用初始條件580: 一質(zhì)量 的勻質(zhì)矩形薄板繞其豎直邊轉(zhuǎn)動，初始角速度為，轉(zhuǎn)動時受到空氣阻力，阻力垂直于板面，每一小面積上所受阻力的大小正比于該面積和速度平方的乘積，比例常數(shù)為 。問經(jīng)過多少時間角速度減為原來的一半？已知薄板的豎直邊長為 ，水平邊例為 。5長mkbadskvdf2ab59 解：解：建立如圖坐標(biāo)系，在距原點 x 處取寬為 dx 的細薄板，根據(jù)題意，其受空氣的阻力為 bdxxkdskvdf22其對其對Oy 軸的轉(zhuǎn)動阻力矩為軸的轉(zhuǎn)動阻力矩為dxxkbxdfdMf32整個薄板的轉(zhuǎn)動阻力矩為整個薄板的轉(zhuǎn)動阻力矩為bakdxxkbdMMaff4203241Oxya

30、bdxx60細薄板對Oy 軸的轉(zhuǎn)動慣量為222mdIx dmxdsxbdxab整個薄板的轉(zhuǎn)動慣量為整個薄板的轉(zhuǎn)動慣量為22013amIdIx dxmaa由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律fdMIdt即即2243141dmabdtka61始條件兩邊積分，并考慮到初得2202003141dmdtbkat所以得0234bkamt 0, 0t621212,: 質(zhì)量為和的兩物體分別懸掛在組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為 和 兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為 和輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦均略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計。試求兩物體的加速例6度和繩的張力。mmRrII和組合輪的受力圖。解：用隔離體法分別作21,mmrR1m2m63根據(jù)

31、牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律 111111amTgmm對 222222amgmTm對 12123對組合輪 TR TrII2211,TTTTgm11T2Tgm21T2T64 111111amTgmm對 222222amgmTm對 12123對組合輪 TR T rII繩與滑輪無相對滑動繩與滑輪無相對滑動 421raRa65聯(lián)立（聯(lián)立（1）（4）式可解得式可解得12221212m Rm rgIIm Rm r121221212m Rm raRgIIm Rm r122221212m Rm rargIIm Rm r2122211221212IIm rm rRTmgIImRm r2121122221212IImR

32、mrRTm gIImRmr66例例7：兩個均質(zhì)園盤質(zhì)量分別為：兩個均質(zhì)園盤質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為，半徑分別為 R1、R2，在同一平面內(nèi)用軟皮帶相連，在，在同一平面內(nèi)用軟皮帶相連，在盤盤1的的 軸上施加力矩軸上施加力矩M，使之由靜止開始轉(zhuǎn)動，假設(shè)皮，使之由靜止開始轉(zhuǎn)動，假設(shè)皮 帶不打滑。帶不打滑。求：兩園盤的角加速度求：兩園盤的角加速度12, M1R2R121T1T2T2T解：對園盤解：對園盤1、園盤、園盤2進進行受力分析，如圖所示。行受力分析，如圖所示。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律列方程：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律列方程：6712111()MTT RI21222( )TTRI園盤園盤1：園盤園盤2：皮帶不打滑：皮

33、帶不打滑：1122RR解上述方程得：解上述方程得：221222112MRR IR I212222112MR RR IR I68212kEI22222221211221122kccccEImdImdImv69 cv221122kccEImvdvc70v力對剛體做的功是各個力力對剛體做的功是各個力對各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。對各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。v內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動平臺的力均不做功。內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動平臺的力均不做功。垂直很微小，認為點的矢徑為至，點處的質(zhì)元產(chǎn)生線位移角度，并使軸逆時針轉(zhuǎn)過作用，剛體繞個外力設(shè)剛體受轉(zhuǎn)動平面內(nèi)一OPsdsdrPOsdPdOZF,v（一）力矩的功（一）力矩的功OPFrZdsd7

34、1OPFrZdsd所以力矩的元功為為力矩的功做的功，外力轉(zhuǎn)到當(dāng)剛體從F212121dMMdAMddA72 212121111niiniidMMddMAA總v即即21dMA總總v（二）力矩的功（二）力矩的功率率MMdtMddtdAPv幾個外力對物體做功，則合外力做功之和幾個外力對物體做功，則合外力做功之和為為73221122211122AMdIdIIv 合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量的增量。74v niiiiniiiPiPmzmmggzmEE11v得得cPmgzE 度。勢能零點（地面）的高為剛體的質(zhì)心離開重力cz75v 如果剛體定軸轉(zhuǎn)動中除受外

35、力矩外，還受重如果剛體定軸轉(zhuǎn)動中除受外力矩外，還受重力力v矩作用，則有矩作用，則有2122211122外重MMdIIv當(dāng)選地球和物體為系統(tǒng)時，且當(dāng)選地球和物體為系統(tǒng)時，且2121ccM dmg zz 重76212222111122外ccM dmgzImgzI v 重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理的功能原理即，則剛體機械能守恒。力的合力矩。如果為除重力以外的其他外外外0MM212常量cmgzIv忽略地球動能的變化，則有忽略地球動能的變化，則有77v例例1： 如圖，已知滑輪的質(zhì)量為如圖，已知滑輪的質(zhì)量為 M，半徑為，半徑為 R ，物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為 m 彈簧的勁度系數(shù)為彈簧

36、的勁度系數(shù)為 k，斜面的傾角，斜面的傾角為為，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時，物體與斜面間光滑，物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變。設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，彈簧無形變。設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑忽略軸間摩擦阻力矩。求物體沿斜面下滑 x 米時的米時的速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）速度為多大？（滑輪視作薄圓盤）v解：解法一解：解法一v 選取選取 m,M,k 和地球和地球為系統(tǒng)，重力和彈性為系統(tǒng)，重力和彈性力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，力均為系統(tǒng)保守內(nèi)力，其它外力和非保守內(nèi)其它外力和非保守內(nèi)力均不做功，系統(tǒng)機力均不做功，系統(tǒng)機械能守恒。械能守恒。M

37、Rkx0PEmOm78MRkx0PEmOmv設(shè)設(shè) m 未釋放時未釋放時為初態(tài)，此時重為初態(tài)，此時重力勢能為零。當(dāng)力勢能為零。當(dāng)m 下滑下滑 x 后為終態(tài)。后為終態(tài)。v初態(tài)能量：初態(tài)能量：000pkoEEv（滑輪的重力（滑輪的重力勢能不變）勢能不變）v終態(tài)能終態(tài)能量：量：222111sin222kpMEEkxmgxmvI 79v由機械能守恒得由機械能守恒得 222111sin0 1222MkxmgxmvIv由角量和線量的關(guān)系由角量和線量的關(guān)系得得 22132MvRIM Rv聯(lián)立式（聯(lián)立式（1）、（）、（2）、（）、（3）得）得Mmkxmgxv221sin4280v解法二：解法二：選取選取 m、M

38、、k 為系統(tǒng)，由動能定為系統(tǒng)，由動能定理理2211022Mf dxmg dxmvIv繩子的張力為內(nèi)力。繩子的張力為內(nèi)力。v所以有所以有220011sin22xxMkxdxmgdxmvIv即即222111sin222MkxmgxmvIv代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。代入角量、線量關(guān)系并解之得相同結(jié)果。81v例例2：均質(zhì)桿的質(zhì)量為：均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為，長為l，一端為光滑的支點。，一端為光滑的支點。 v 最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動如圖所示。最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動如圖所示。 vov(2) 桿在鉛垂位置時，桿對支點的作用力。桿在鉛垂位置時，桿對支點的作用力。v求：求： (1

39、) 桿在鉛垂位置時，桿下端的線速度桿在鉛垂位置時，桿下端的線速度 ；vv解：解： (1) 桿在下擺過程中，只有桿重力做功，機械能桿在下擺過程中，只有桿重力做功，機械能v守恒，則有：守恒，則有：212cm g hI222221 11122 366lvmgmlmlmvl3vgl82v(2) 求支點受力。分析桿的受力情況如圖所示。求支點受力。分析桿的受力情況如圖所示。onNmgv根據(jù)質(zhì)心運動定理有：根據(jù)質(zhì)心運動定理有：cNmgmav選取如圖所示的自然坐標(biāo)系，得到分量表達式：選取如圖所示的自然坐標(biāo)系，得到分量表達式：2cnccvNmgmrNmav桿在鉛直位置時桿在鉛直位置時,不受力矩作用，不受力矩作用

40、，則角加速度為則角加速度為0，故，故0ca52nmgNN83v剛體的平面平行運動。剛體的平面平行運動。v平平v剛體上任一質(zhì)元的運動軌跡都平行于某一剛體上任一質(zhì)元的運動軌跡都平行于某一v面，這種運動稱為面，這種運動稱為v剛體的平面平行運動。剛體的平面平行運動。v特點：特點：v剛體上每一質(zhì)元的運動軌跡都是平面曲剛體上每一質(zhì)元的運動軌跡都是平面曲v線，且各平面互相平行；剛體在運動中轉(zhuǎn)軸始終線，且各平面互相平行；剛體在運動中轉(zhuǎn)軸始終v保持平行且垂直于某一固定平面。保持平行且垂直于某一固定平面。v復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：7.5 剛體平面運動的動力學(xué)剛體平面運動的動力學(xué)84 剛體平面平行運動的描述（運動學(xué)）剛體平面平

41、行運動的描述（運動學(xué)）v剛體平面平行運剛體平面平行運動動v整個剛體隨其質(zhì)整個剛體隨其質(zhì)心的心的平動平動v繞過質(zhì)心并垂直于運繞過質(zhì)心并垂直于運動平面的轉(zhuǎn)軸的動平面的轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動動v+cccavr,v聯(lián)系聯(lián)系rvvc轉(zhuǎn)aaacv描述描述85線加速度角加速度角速度，質(zhì)心加速度質(zhì)心速度，轉(zhuǎn)aavcccvcaCPr轉(zhuǎn)a86v剛體隨質(zhì)心的平動規(guī)律遵從質(zhì)心運動定理：剛體隨質(zhì)心的平動規(guī)律遵從質(zhì)心運動定理：ccciiamdtvdmdtrdmF22cyiyicxiximaFmaF87v剛體繞過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動遵從定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體繞過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動遵從定軸轉(zhuǎn)動定律：v v vcvcv vIvM v v物

42、理量。物理量。v均為對過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸均為對過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的的v v v v,v,vcvcvIvMv動動能能v2v2v2v1v2v1v vcvcvkvIvmvvEv v v勢能勢能vcvPvmgzvEv v總機械能總機械能vPvkvEvEvEv v v上述質(zhì)心運動定理和轉(zhuǎn)動定律稱為剛體平面運動的動力學(xué)規(guī)上述質(zhì)心運動定理和轉(zhuǎn)動定律稱為剛體平面運動的動力學(xué)規(guī)律。律。88v 摩擦力足夠大，其運動形式為無滑動的摩擦力足夠大，其運動形式為無滑動的滾動滾動純滾動純滾動。 摩擦力不夠大，則出現(xiàn)滑摩擦力不夠大，則出現(xiàn)滑動又滾動的情況。動又滾動的情況。v純滾純滾動條件：動條件：rdtdrdtdvardtdrdtdxv

43、rxcccccv 圓柱體或圓球沿一直線軌道的滾動圓柱體或圓球沿一直線軌道的滾動剛體平面平行運動的常見情況。剛體平面平行運動的常見情況。89v剛體上任一點的速度公式和純滾動的條剛體上任一點的速度公式和純滾動的條件件rvv0 rarvrxccc90cv例例1: 固定斜面傾角固定斜面傾角a，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均質(zhì)圓的均質(zhì)圓柱柱v 體順斜面向下作無滑運動。體順斜面向下作無滑運動。v求：圓柱體質(zhì)心加速度及斜面作用于圓柱的摩擦力。求：圓柱體質(zhì)心加速度及斜面作用于圓柱的摩擦力。xy x ymgfNv解：圓柱體的受力如圖所示。解：圓柱體的受力如圖所示。v由質(zhì)心運動定理有：由質(zhì)心運動定理有：c

44、Nmgfmav建立固定于斜向上的坐標(biāo)系建立固定于斜向上的坐標(biāo)系xoy，vy軸分量式為：軸分量式為：sincmgfma91212fRImRv剛體做無滑滾動時，有：剛體做無滑滾動時，有：caRv解上述方程，可得質(zhì)心加速度和斜面作用于圓柱解上述方程，可得質(zhì)心加速度和斜面作用于圓柱體體v的摩擦力分別為：的摩擦力分別為：2sin3cag1sin3fmgv利用對質(zhì)心利用對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定律軸的轉(zhuǎn)動定律有有：sincmgfma92v求：汽車前后車輪對地面的壓力。求：汽車前后車輪對地面的壓力。v例例1: 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小汽車在水平路面上急剎車，前后的小汽車在水平路面上急剎車，前后論論 均停止轉(zhuǎn)動。前后論相距均

45、停止轉(zhuǎn)動。前后論相距L，與地面，與地面的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為 ，汽車質(zhì)心離地面高度為，汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸，與前輪軸水平距離水平距離 。lc y xxyo1f2fmg2N1Nv解：汽車受力情況如圖所示。解：汽車受力情況如圖所示。v建立地面坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系如圖。建立地面坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系如圖。v由質(zhì)心運動定理有：由質(zhì)心運動定理有：1212cmgffNNma93v在地面坐標(biāo)系下寫出在地面坐標(biāo)系下寫出 y 分量表示式為：分量表示式為：120NNmgv同時考慮到摩擦力為：同時考慮到摩擦力為：1122,fNfNv對質(zhì)心坐標(biāo)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律：對質(zhì)心坐標(biāo)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律：1221()()0f

46、f hNLlN lv解上述方程，可得：解上述方程，可得：1()/Nmg L lh L 2()/Nmg lh Lv而汽車靜止在水平地面上時：而汽車靜止在水平地面上時：1()/Nmg LlL2/Nmgl L94v例例2 一個半徑為一個半徑為 R 的半球固定在地面上，在它的半球固定在地面上，在它的頂部有一半徑為的頂部有一半徑為 r 的球從靜止只滾不滑地開始的球從靜止只滾不滑地開始滾下，問：小球滾到何處恰好脫離大球面？滾下，問：小球滾到何處恰好脫離大球面？RrfNgm根據(jù)質(zhì)心運動定律，有 1cos2rRvmNmgcv 解：解：當(dāng)小球滾至任一當(dāng)小球滾至任一角度角度 時，其受力為時，其受力為Nfgm和支撐力，摩擦力重力95v 以小球和大球為系統(tǒng)，外力以小球和大球為系統(tǒng)，外力 不做功機不做功機械能守