期權(quán)定價(jià)模型

1、 1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，Robert C. Merton獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡(jiǎn)稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。 1 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢(shì)。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的

2、情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在 了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票來(lái)復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。 在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想。2 布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Motion）起源于英國(guó)植物學(xué)家布郎對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征：特征特征1 (正態(tài)分布正態(tài)分布)特征特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量獨(dú)立增量） zzt 3維納過(guò)程的性質(zhì) z (T ) z (0)也是正態(tài)分布 均值等于 0 方差等

3、于T 標(biāo)準(zhǔn)差等于 方差可加性TniitzTz1)0()(為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？ 正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布 數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1 和特征2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程 維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（Quadratic Variation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的5 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō) 根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)

4、國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來(lái)刻畫(huà)股票的這種特征。有效市場(chǎng)三個(gè)層次61、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息，也就是說(shuō)不能通過(guò)技術(shù)分析獲得超過(guò)平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開(kāi)信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無(wú)助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在

5、股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒(méi)有用處。根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。 一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則意味著其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格，這顯然和弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)是一致的。 bdzadtdx 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動(dòng)，令漂移率為a，方差率為b2，：

6、or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程：adt為確定項(xiàng)，意味著x的漂移率是每單位時(shí)間為a；bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)x的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。9普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為tbtaxtatb tb 2 1、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為b2T。 2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。 Tb10 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作

7、變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就可以得到 這就是伊藤過(guò)程（Ito Process）。其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(11ttbdzdsaxtx000)( 在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。 12伊藤引理的運(yùn)用 如果我們知道x遵循的隨機(jī)過(guò)程，通過(guò)伊藤引理 可以推導(dǎo)出G (x, t )遵循的隨機(jī)過(guò)程。 由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的

8、資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此隨機(jī)過(guò)程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。 一般來(lái)說(shuō)，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過(guò)程（即幾何布朗運(yùn)動(dòng)）來(lái)表示： 2dSSdtSdz 之所以采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)其主要原因有兩個(gè)： 一是可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問(wèn)題，二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。 14案例案例11.1 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程所遵循的隨機(jī)過(guò)程假設(shè)變量S服從其中和都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機(jī)過(guò)程？由于和是常數(shù)，S顯然服從 ， 的伊藤過(guò)程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨

9、機(jī)過(guò)程。令 ，則代入式 我們就可得到 所遵循的隨機(jī)過(guò)程為 由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說(shuō)明股票的連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值 ，方差為 的正態(tài)分布。dSSdtSdz( , )a S tS( , )b S tSSGln0,1,1222tGSSGSSGbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SGln2ln()2dGdSdtdz2()2dt2dt*隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別lndSdSS15 從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則有 1 從自然對(duì)數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。2 股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，股票價(jià)格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布2

10、ln()2dGdSdtdz22222()22 ()()lnln ()(),ln ln()(),()var()1TTT tTT tT tTSSTtTtSSTtTtE SSeSS ee 16 3. Tt期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 是股票連續(xù)復(fù)利收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差，它也被稱為股票價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility）4. 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率。lnlnTSSTt22(),Tt17:1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。 2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而

11、幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無(wú)關(guān)的。 3 、較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 2/2181、證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 2、一般從歷史的證券價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。在計(jì)算中，一般來(lái)說(shuō)時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；時(shí)間窗口太短也不好；一般來(lái)說(shuō)采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。 :19當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于衍生證券價(jià)格G是標(biāo)的證

12、券價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過(guò)程： 比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價(jià)格G和股票價(jià)格S都受同一個(gè)不確定性來(lái)源dz的影響，這點(diǎn)對(duì)于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222220假設(shè)：1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)；2、允許賣空標(biāo)的證券；3、沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付；5、不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。 21 由于證券價(jià)格S遵循

13、幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 中，S的變化值 為： 在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f的變化值 為：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222 設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdSStf22 為了消除風(fēng)險(xiǎn)源 ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則： zSfffSx 在 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為：ffSS t代入和可得fStSSftf)21(222223tSSftf)21(2222中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因 此組合必須獲

14、得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即tr代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化簡(jiǎn)為rfSfSSfrStf222221*這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。24 觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者對(duì)于在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者對(duì)于dz所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。性的。在所有投資者對(duì)dz都是風(fēng)險(xiǎn)中性

15、的條件下（有時(shí)我們稱之為進(jìn)入了一個(gè)關(guān)于dz的“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”），所有風(fēng)險(xiǎn)源為dz的證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。25 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格

16、等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用26 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于( 11 0.5)元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9 元。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： 11 0.5=9 =0.25 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。27 假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合

17、的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此： 這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff28 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過(guò)下式來(lái)求：0.1 0.2510119(1)ePPP=62.66%

18、。29 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過(guò)下式來(lái)求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%。 可見(jiàn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。30 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：)0 ,max(XSET其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： )0 ,max()(XSEecTt

19、TrE31對(duì)右邊求值是一種積分過(guò)程，結(jié)果為：)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)(即這個(gè)變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。 )(1)(xNxN 這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。()max(,0)r T tTceESX從可以解得：323334222lnlnln2lnln22lnmax(,0)max(,0) ()() ()0 ()() (ln)ln() ()1()21ln2TTTTTXTTTTTXSTTXsW mX msWsW mX

20、mX mssW ssmX msESXSXh SdSSX h SdSh SdSeX hSdSeX h W dWeedWXh W dWmXeedWXNs222ln22ln2lnln22smX mssr T tSrTtXeh W dWXNTtSSrTtrTtXXSeNXNTtTt 35 36 37無(wú)收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：)()(12)(dSNdNXeptTr38無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：(

21、)12()()r T tCSN dXeN d39有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式 對(duì)于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)率，就可直接套用公式:分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。)()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr40 因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌

22、期權(quán)的價(jià)格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將 代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率)(tTqSe證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 一般來(lái)說(shuō)，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場(chǎng)平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。41有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式

23、看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 nt 提前執(zhí)行可能是合理nt價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。 時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和42 案例11.6 假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。 美式看跌期權(quán)的定價(jià) 美式看跌期權(quán)無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)有無(wú)收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此我們

24、一般通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。44我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價(jià)公式中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率則需要通過(guò)一定的計(jì)算求得估計(jì)值。45（一）估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在發(fā)達(dá)的金融市場(chǎng)上，很容易獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍然需要注意幾個(gè)問(wèn)題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來(lái)說(shuō)，在美國(guó)人們大多