多元微積分下

1、第八講 多元微積分（下）考綱要求1 .理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法2 .了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.3 .了解二元函數(shù)的二階泰勒公式 .4 .會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）5.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.6 .掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法 .7 .掌握格林公式并會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)8 .了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方 法，會(huì)用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)算曲面、曲線積分 9 .了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算

2、.10 .會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、 曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）一、方向?qū)?shù)與梯度、向量場(chǎng)的散度與旋度問(wèn)題1何謂方向?qū)?shù)？如何計(jì)算方向?qū)?shù)？答r1.概念 三元函數(shù)u f（x,y,z）在點(diǎn)Po（X0,yo,Z0）沿方向l的方向?qū)?shù)f1 (Xo ,y0，z)limt 0f(x0 tcos ,y° tcos ,Zo tcos ) f (xo, y0,z0)其中 cos , cosr,cos為l的方向余弦2.計(jì)算公式若函數(shù)Uf （x, y, z）在點(diǎn)（x, y,z）可微，則函數(shù)在該點(diǎn)與&任意方向l的方向?qū)?shù)

3、都存在，且有ffffcos cos cos , lxyzr其中cos , cos , cos 為l的方向余弦3.計(jì)算步驟求u f (x, y, z)在點(diǎn)P0(Xo, yo,Zo)的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù);rr求方向向量l并單位化，得erl /、廠 (cos ,cos ,cos )； l代入公式 f- -cos cos cos l xyz2 x1.求函數(shù)z 1 (a處沿曲線2y二)在點(diǎn)b22 x-2 a2y1在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù).解【求方向?qū)?shù)】2x孑(2, 2)a b(2, 2)2yb2曲線的內(nèi)法向量n2x2 22y b2),單位內(nèi)法向量(2, 2)ren(b, a),a2 b2b"a2

4、=b2.a2 b2占八、2(a2 b2)abr曲線F (x, y) 0的法向重n(Fx，F(xiàn)y),前面的符號(hào)由法向量的方向確定.本題中£曲線的內(nèi)法線方向與ry軸正萬(wàn)向夾角為鈍角，故取 en(b, a)a-b2222.設(shè)n 曲面2x 3y2z 6在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量，求6x2 8y2一、，一u L在點(diǎn)P沿方向n的萬(wàn)向?qū)е?(91-1)r 解【關(guān)鍵是求出點(diǎn) P(1,1,1)處的grad u和單位外法向重en 1 (2,3,1)， 、14r- rn du) (4x,6y,2z)(4,6,2)，enl，l，l/'，'，'/6x(i,i,i)z , 6x

5、2 8y2(i,i,i)(i,i,i)8yz.6x2 8y26x2 8y2(i,i,i)(i,i,i)(1,1,1)故 n(i,i,i)_62_.14143 工4，11.1414、1478 _一， ，_ r曲面F(x, y,z) 0的法向量n(Fx,Fy,Fz),前面的符號(hào)由法向量的方向(曲面z軸正方向夾角為銳角，故取的側(cè))確定.本題中曲面在點(diǎn) P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量與r1en.(2,3,1).,14問(wèn)題2數(shù)量場(chǎng)的梯度答關(guān)鍵是理解概念、掌握計(jì)算方法 .設(shè)三元函數(shù)u f(x, y,z)在點(diǎn)(x, y,z)可微，則稱fr f r f Jgrad f (x, y,z) f (x, y,

6、z) i j kx y z為函數(shù)u f(x,y,z)在點(diǎn)(x, y,z)的梯度.梯度是一個(gè)向量，由于-u gradu e gradu cos ,其中 為gradu與l的 夾角，故梯度的方向是方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值.例題221 .設(shè)有一平面溫度場(chǎng) T(x, y) 100 x 2y ,場(chǎng)內(nèi)一粒子從 A(4,2)處出發(fā)始終沿著溫度上升最快的方向運(yùn)動(dòng)，試建立粒子運(yùn)動(dòng)所滿足的微分方程，并求出粒子運(yùn)動(dòng)的路徑方程.解 【利用梯度的性質(zhì)】設(shè) (x, y)是粒子運(yùn)動(dòng)的路徑上任意一點(diǎn)溫度上升最快的方向即該點(diǎn)的梯度方向，gradT ( 2x, 4y),粒子運(yùn)動(dòng)的路徑的方向(切線方向)(dx,

7、dy)/gradT ,故dy4y初始條件為y(4) 2,dx 2x xdy2dx2-,ln y 2ln x ln C , y Cx ,y x1由 y(4) 2,得 C 1,8 1c故粒子運(yùn)動(dòng)的路徑為 y x82 .設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy面，其底面所占的區(qū)域?yàn)開(kāi) 一. 、22 22D (x,y)x y xy 75,小山的圖度函數(shù)為 h(x,y) 75 x y xy設(shè)M xc y0為區(qū)域D上一點(diǎn)，問(wèn)h(x, y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0, y0)，試寫出g(xc y0)的表達(dá)式;現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度

8、最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是說(shuō)，要在 D的邊界線x2y2 xy75上找出使中g(shù)(x,y)達(dá)到最大值的點(diǎn)試確定攀登起點(diǎn)的位置.，一、h h斛 gradh(x, y)(xo,y°)(一，一)導(dǎo)佻)2 2x0,% 2y0)；x y方向?qū)?shù)的最大值 g(xo,y。)J(yo 2xo)2 (x0 2y°)2 ；求 g(x, y) "(y2x)2(x2VS 在 x2y2 xy 75 上的最大值,令 L(x,y, ) (y2x)2(x2y)2 (x2y2xy 75)Lx4(y2x)2(x2y)(2xy) 0解駐點(diǎn)方程 Ly 2(y 2x) 4(x 2y)(2y x) 0Lx2

9、 y2 xy 75 0(10 2 )x ( 8 )y 0即(8 )x (10 2 )y 0 22x y xy 75 0得駐點(diǎn)(5, 5),( 5,5),(5收,5石),(51 5封,g(5, 5) g( 5,5) 7450, g(5%/3,5>/3)g( 5>/3, 5a/3) >/?50 ,又g(x,y)在x2 y2 xy 75上的最大值存在，且 g( 5,5)g(5, 5),故(5,5),(5, 5)為所求的攀登起點(diǎn)習(xí)題1. (96-1-2)函數(shù) u ln(x Jy2 z2)在 A(1,0,1)處沿點(diǎn) A指向點(diǎn) B(3, 2,2)方向的1方向?qū)?shù)為.【1】2r uuur解

10、【關(guān)鍵是求出函數(shù)在點(diǎn)A(1,0,1)處的gradu和與l AB同向的單位向量 士】ruurr1lAB (2, 2,1), e -(2, 2,1),3u(1,0,1)(1,0,1)x (1,0,1)uy (1,0,1)(1,0,1)uz (1,0,1)(1,0,1)122、1110(一).2 332 3 22.直線l是直線2x 3z 6,在y 2z 4 0y z 5上的投影，求函數(shù)u cos2 xy 鳥(niǎo)在點(diǎn)P(0,0,1)沿直線l的方向?qū)?shù)，規(guī)定l與z軸正向夾角為銳角的方向 z為l的方向.r解【提不：關(guān)鍵是求出點(diǎn)P(0,0,1)處的gradu和與l同向的單位向量e】投影面過(guò)直線x z , ,設(shè)它

11、的方程為2x 3z 6 (y 2z 4) 0,y 2z 4 0ry z 5的法向重n1 (1,1, 1)垂直，53，0 ,即6x 5y z 38 0 ,直線l的方程為一 ,一 r, 一.其法向量n (2, ,32)與平面xr r故 nn1 0,即 23 20故投影面方程為2x 5y 1z 383336x 5y z 38 0, x y z 5,r k1(4,7,11)1r r其方向向量1r 6511r (4,7,11)e 二 186在點(diǎn)P(0,0,1)處,ux (0,0,1)2cosxy( sin xy)y(0,0,i)0,uy (0,0,1)uz (0,0,1)2cos xy( sin xy)

12、 x2zy|z (0,0,1)0,12 z (0,0,1)C 4.7 c 110 1 0 (0 0i)18618618677186J223.設(shè)一禮堂的頂部為一個(gè)半橢球面，其方程為1 ,求下雨時(shí)過(guò)屋頂上16 36點(diǎn)P(1,3，布)處的雨水流下的路線方程解設(shè)雨水流動(dòng)的路線在 xoy上的投影曲線L方程為y y(x),雨水沿著z下降最快的方向即沿著 z的梯度的反方向流動(dòng),故L上任一點(diǎn)處的切線平行于gradz(,),x ydx dydy 4y3代入，得C 3,故y從而有一上，即上 ,zzdx 9xx y22z 4、1 x y雨水流動(dòng)的路線方程為16 364y 3x9問(wèn)題3向量場(chǎng)的散度與旋度答考綱要求了解

13、散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算rrr”、1.設(shè)向量場(chǎng) F(x, y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k C，稱r p q r r ,divF -R為F在點(diǎn)(x, y,z)處的散度.x y zr2.向量場(chǎng) F(x, y,z)rrr iP(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k C(),稱rrrijkrrrotF為F在點(diǎn)(x, y, z)處的旋度.xyzPQR例題r/jn r1.向 量場(chǎng) F(x,y,z) xy i ye j xln(1 z )k 在點(diǎn) P(1,1,0)處 的放度rdiv F2解【求向量場(chǎng)的散度】r div F2xz：2，1 zr故 div

14、 F(1,1,0)2.2.設(shè)數(shù)量場(chǎng)U,貝U div(grad u)122y z解【求梯度場(chǎng)的散度】,/ ugradu ( xu) zdiv(grad u)2u2 x2u2y2u2z21n(x2z2)2x(x22y z22y2x2產(chǎn)(x22 z 2 y2 x 了 z)2由于函數(shù)關(guān)于自變量對(duì)稱,/ 22(x y22 ,2z ) z故 div(grad u)1222 .x y z3.設(shè)f (x, y, z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),rot(grad u)r01解【求梯度場(chǎng)的旋度】,/ ugradu ( xu) zrot(gradu)2( z y2)i y z2( z xr )jr r)k 0.二、偏導(dǎo)數(shù)的

15、幾何應(yīng)用問(wèn)題4如何求曲線的切線和法平面方程？答求切線方程的關(guān)鍵是：切點(diǎn)和切向量(切線的方向向量)x x(t) r1 .空間曲線y y(t)在點(diǎn) M(Xo,yo, %)處的切向重 (x (t0), y (t0), z (t。).z z(t)切線方程為X Xx (to)y y。 z z。 y (to) z(to)法平面是過(guò)切點(diǎn)M且與切線垂直的平面，其方程為x(to)(x xo) y (to)(y yo) z(t°)(z z0) 0.2.如果空間曲線方程為F (x, y, z) G(x,y,z)r0 ,則它在0r rFxFyM （xo, yo,。）處切向量rkFzGz問(wèn)題5如何求曲面的切平

16、面和法線? 答求切平面的關(guān)鍵是：切點(diǎn)和法向量 .2 .曲面 ：F (x, y, z) o在Mo(xo, yo, )處的法向量為rn (Fx(xo, yo,zo), Fy(xo, yo,zo), Fz(xo, yo,z。)切平面方程為Fx(xo, yo,zo )(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z z°) o.法線是過(guò)切點(diǎn) Mo且垂直于切平面的直線，其方程為x x。y yoz z. Fx(xo, yo, zo)Fy(xo,yo,z°) Fz(xo,yo,z°)3 .如果曲面方程為

17、z f(x,y),即f (x, y) z o,則它在Mo(x0, yo,z°)處的法向量r ，一 、/、 ,、n (fx(xo, yo), fy(xo, yo), 1).例題 22 .1 .曲面z x y與平面2x 4y z o平仃的切平面萬(wàn)程為 .解 設(shè)切點(diǎn)為M (xo, yo,zo),其中zo x2 y；,則切平面法向量(2xo,2yo, 1)平行于平面2x 4y z o的法向量(2,4, 1),故2x0,2 41解得 1,yo 2,zo 5,所求切平面方程為2(x 1) 4(y 2) (z 5) o,即2x 4y z 5.2.曲線x t,yt2,z t3在哪些點(diǎn)的切線平行于平面

18、x 2y z 4?解 曲線x t, y t2,z t3的切向量r (1, 2t,3t2)垂直于平面x 2y z 4的 法向量 n (1,2,1),即 rn 0,即 1 4t 3t2 0,解得 t 1,t -,311 1故此曲線在點(diǎn)(1, 1,1)和(g, g,m)的切線平行于平面 x 2y z 4.2 23 .設(shè)直線L:xyb0, xayz3 0在平面 上，而平面 與曲面z x y 相切于(1, 2,5)，求a,b.解 平面 與曲面z x2 y2相切于(1, 2,5), r其法向量 n (2x,2y, 1)(1, 2,5)(2, 4, 1),平面的方程為2x 4y z 5 0,直線L ： x

19、y b 0,x ay z 3 0的方向向量rrrijkrs110( 1,1,a1),1 a 1 rrr rs ns n 02 4 a 1 0 a 5,直線L的方程x y b 0, x ay z 3 0中，令y 0,得x b,z b 3,代入，得 2bb 3 5 0,故b 2.習(xí)題1.曲線22z x y2222x 2y z在(1,1,2)處的切線方程為0,法平面方程為曲線22z x y2222x 2y z在(1,1,2)處的切向量為0rrrijk(4,4,0)，2x 2y 1(4y 4yz,4xz 4x,0)|(1,1，)4x 4y2z(1,1,2)切線方程為法平面方程為(x 1) (y 1)

20、0,即x y 0.222xyz2 .試求正數(shù)的值，使得曲面xyz與曲面1在某一點(diǎn)相切.abc(xo, y0,Zo),它們的法向量r ,、分別為 n (yoZ0,ZoX0, x°yo)r n22x0 2y02z0),又n1 rr2,故c2x02a yoZo2yo24%2Zo2 c xoYo2 xo 2 a2 yo b22Zo2 c2又與a2 zoc2 xoa2 zo -2 c22 2 2Xo yoZo2.2 2a b c273.設(shè)函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(o,o)附近有定義，且fx(o,o) 3, fy(o,o)1,則().【C】(A) dz(o,o)3dx dy(B)曲面 z f(x

21、, y)在點(diǎn)(o,o, f(o,o)的法向量為3,1,1(C)曲線z"x'y在點(diǎn)(0,0, f (0,0)的切向量為1,0,3y o(D)曲線 z f(x, y)在點(diǎn)(0,0, f (0,0)的切向量為3,0,1 y o解 函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0,0)偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出 f(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微，排除A.r曲面z f (x, y)在點(diǎn)(0,0, f (0,0)的法向量nfx(0,0), fy(0,0), 13,1, 1排除B.曲線z f (x, y)在點(diǎn)(0,0, f (0,0)的切向量 y orrrijkfx(0,0) fy(0,0)1010三、三重積分rrr

22、ijk3 110101,0,3,故選擇 C.【切平面問(wèn)題，關(guān)鍵是切點(diǎn)和法向量】設(shè)兩曲面的公切點(diǎn)為三重積分的概念、性質(zhì)類似定積分，重點(diǎn)是計(jì)算問(wèn)題5如何用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分？ 答用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分的方法有兩種：坐標(biāo)面投影法和坐標(biāo)軸投影法.1 .坐標(biāo)面投影法(先一后二法)若 是 xy型區(qū)域，即 x,y,z z1 x,y z z2 x,y , x,y D ,且 Dxyx,y y x y y2 x , a x b ,則Z2 x,yby2 xZ2 x,yf(x,y,z)dV f(x,y,z)dzdxdy dx dy f(x,y,z)dz. zi x, yayi xzi x,yD計(jì)算步驟如下：畫出 的

23、圖形；確定積分限(投影找區(qū)域，穿刺找底面)：Z? x,y f(x,y,z)dV f (x, y,z)dz dxdy ; zi x,yD計(jì)算積分.當(dāng)?shù)膱D形不易畫出時(shí)，可以只畫出的投影區(qū)域的圖形.2 .坐標(biāo)軸投影法(先二后一法、截面法)設(shè)空間閉區(qū)域x,y,z x, y Dz, Ci z C2，其中Dz是豎標(biāo)為z的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域(截面)，則Cf (x,y,z) dV dz f (x, y,z) dxdy.CiDz計(jì)算步驟如下：畫出 的圖形；確定積分限(投影找區(qū)間，垂直找截面)：C2f(x, y,z)dV dz f (x, y, z) dxdyc1Dz計(jì)算積分.rc2C2一當(dāng) f

24、x, y ,z (z)時(shí)， (z)dV dz (z) dxdy (z)A(Dz)dz,其 ciCiDz中A(Dz)為Dz的面積.問(wèn)題6如何用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分？答 若的投影域?yàn)閳A域、環(huán)域及其部分域，被積函數(shù)含有Jx2 y2 ,常用柱面坐 標(biāo)計(jì)算.公式如下:f(x,y ,z) dV產(chǎn)1()蟲)，乙(，) z Z2 r,，則r2 ( )z2(r,)d rdr f (r cos , r sin , z) dz.ri( )zi(r,)問(wèn)題7如何用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分?為球域及其部分域,被積函數(shù)含有7x2y2 z2 ,常用球面坐標(biāo)計(jì)算.對(duì)于常見(jiàn)球域，讀者務(wù)必掌握確定積分限的方法尸：2222右 ：x y

25、 z R ,則f(x,y ,z) dVRf (r sin o cos ,r sinsin , r cos ) r2sin dr .若：x2 y2 z2 2Rz,則22Rcos2f(x,y,z) dVd 2 d f (r sin cos , rsin sin ,r cos )r sin dr000問(wèn)題8如何利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分的計(jì)算？答 若 關(guān)于xoy面對(duì)稱，f(x, y,z)關(guān)于z是奇函數(shù)，則f(x,y,z)dV 0;若 關(guān)于xoy面對(duì)稱，f (x,y, z)關(guān)于z是偶函數(shù)，則f(x,y,z)dV 2 f(x,y,z)dV.1若關(guān)于x,y對(duì)稱(即x, y互換，不變)，則f (x, y,z)

26、dV f(y,x,z) dV .問(wèn)題9計(jì)算三重積分的步驟答步驟如下：畫出 的圖形(根據(jù)積分區(qū)域、被積函數(shù)考察對(duì)稱性、選擇坐標(biāo)系、選擇積分次序)；確定積分限(關(guān)鍵)；計(jì)算積分.例題0,z 0,x z 圍成.【241.求y sn x dxdydz ,其中 由曲面y Jx, yx解【用坐標(biāo)面投影法計(jì)算，關(guān)鍵是確定積分限：投影找區(qū)域，穿刺找底面】的投影域D由y Jx, y 0,x 2圍成，故ysinx2 人 x . 2 x ysinx .2dxdydz .15 22-八 dx dy 2 dz .x000 x42222.求z2dxdydz,其中 為與當(dāng)今 1.a b c解【用坐標(biāo)軸投影法計(jì)算，關(guān)鍵是確定

27、積分限：投影找區(qū)間，垂直找截面】422截面Dz ： / 1 a b2c ,z dxdydz dzDzc 2 z22 ab 0 z (1 )dz c3 .求(x z) dxdydz,2z-2-，c2c 2z dxdy cz ab(1c 2 z2 ab 0 z (1 )dz由曲面z , x2z)dzc4 abc,z q1 x y 圍成.解 【先利用對(duì)稱性，再利用柱坐標(biāo)或者球坐標(biāo)計(jì)算】關(guān)于yoz面對(duì)稱，xdxdydz 01【用柱坐標(biāo)計(jì)算】的投影域D ： x2 y2 1 ,2211 r2zdxdydz d m rdr zdz 一 , 00r8故 (x z)dxdydzxdxdydzzdxdydz【用球

28、坐標(biāo)計(jì)算】2zdxdydz ° d14d r cosI0r2 sin dr故 (x z)dxdydzxdxdydz zdxdydz .22 24.求(x2 y2) dV ,225.由z x y , z 1,z 2圍成.【】解 【先利用積分的可加性，再利用柱坐標(biāo)計(jì)算】設(shè)1由z x2 y2,z 2圍成， 2由z x2 y2,z 1圍成，則22222 222 2(x y ) dV (x y ) dV (x y ) dV122,x 0, y 0, z 0 ,則yoz面、xoz面對(duì)稱，被2224d rdr 2 r dz00r2.,2225.設(shè)區(qū)域 i ：x y z卜列等式成立的是().(A)x

29、dV 4 xdV12(C)zdV 4zdV12解選才i C,因?yàn)榉e分區(qū)域212 45d rdr 2 rdz .00r242c222R , z 0 ,2 ： x y z(B)ydV 4 ydV12(D)xyzdV 4 xyzdV1 22 222-、1 ： x y z R ,z 0積函數(shù)f (x, y, z) z關(guān)于x和y都是偶函數(shù)，故zdV 4 zdV .12成.222226.設(shè)區(qū)域 ：x y z R ,則 x dV4 R515解 關(guān)于自變量對(duì)稱，x2dVy2dVz2dV 1 (x2 y2 z2) dV30dsindrR515習(xí)題1.求(x2 y2 )dV ,由曲線y2 2z, x0繞z軸旋轉(zhuǎn)一

30、周所成曲面與z 8圍解旋轉(zhuǎn)拋物面方程為2z x2y2,投影域?yàn)镈 ： x2 y2 16,用柱面坐標(biāo)計(jì)算,222(x2 y2)dV2 48 24 3 r2d rdr r2 r dz 2 r (8 )dr00、022 (2r4 r6)1210242.設(shè)f (x)在0,1上連續(xù),證明iy1i3f (x)dx f (y)dy f (z)dz ( 0 f (t)dt).xx3!0證設(shè)F (x) f (x),只要證11y13f(x)dx f(y)dy f(z)dz -F(1) F(0)3.xx3!f (x)dx x f (y)dy x f (z)dz11°f(x)dx xf(y)F(y)F(x)

31、dy12f(x)2F2(1)12F(x)F(1) -F2(x)dx，12f(x)12F2(y)1F(x)F(y) dxx1 1 2131f (x)F(x) F(1)2dx 1F(x) F(1)3 2 06131 i 3-F(1) F(0)3 -(0f(t)dt)3. 3!3!.一2223.f(u)連續(xù)，：0 z h,x y t , F (t)z2f (x2 y2)dV,求空及dtlim t 0 t2解的投影域D ： x2 y2 t2,下底面z 0,上底面z h ,利用柱坐標(biāo)計(jì)算，得2,222th 2,2F(t)z2 f (x2 y2)dV 0 d 0rdr 0 z2 f(r2)dz2dFdtt

32、 1 3.20 r3h3 f(r2)hdr, 13尸223尸22 與 h3 f(t2)h - h3t 2 htf(t2),t 1322 r-h f(r )hdrF (t)0lim lim3t 0 t2 t 0t213213 尸阿1h3 f(t2)h-h3 f(0)h331 3.22 t-h3f(t2)hlim3t 02t-h3f (0)h.4. (03-1)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,f (x2 y2 z2)dvF(t)(t)f(x2 y2)dG(t)D(t)-22f (x y )dDt 2t f (x )dx222(x, y) x y t-«/、222,2 r ,其中 t (x,

33、 y,z) x y z t , D t討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性;，、，2證明當(dāng)t 0時(shí)，F(xiàn) 一G(t).解 用球坐標(biāo)計(jì)算，f(xtT22，0f(r2)rdr2人t -2t -22令 g(t) t 0 f (r )rdr 0f(r )rdr,g(t) t0f(r2)rdr t2f(t2) t2f(t2)t°f(r2)rdr,t (0,), f(x)連續(xù)且恒大于零，g (t)t0f(r2)rdr 0, g(t)遞增，g(t) g(0) 0, F(t) 0, F(t)遞增.t 22t 2 2f(r2)r2dr 2 f(r2)rdr只要證明：當(dāng) t 0時(shí)，F(xiàn)(t) -G(t) 0

34、 -0 0,即° f (r2)rdro f(x2)dx0 f (r2)r2dr : f(x2)dx 0 f(r2)rdr2 0.令 H(t) : f (r2)r2dr ： f (x2)dx ： f (r2)rdr2, 一 22t 一 2一 2t 一 22_2 t _ 2H (t) f(t2)t2 0 f (x2)dx f(t2) 0 f (r2)r2dr 2f (t2)t ° f(r2)rdr一 22t 一 2t _22_t_2_2t _22f(t )t 0 f (r)dr 0 f (r )r dr 2t 0 f (r )rdr f (t ) 0 f (r )(t r) d

35、r ,t (0,), H (t) 0, H(t)遞增，又 H(t)在0, y2 z2)dV0 d 0d 0f(r2)r2sin dr 40f(r2)r2dr,(t)2tctc用極坐標(biāo)計(jì)算，f (x y )d 0 d 0 f (r )rdr 20 f (r )rdr ,D(t)t 2t 2由對(duì)稱性，t f (x )dx 2 0f (x)dx.2 t f(r2)r2drt (0,), F(t)-，f (r2)rdr2f(t2)tF (t)t 220f(r2)rdr220f (r2)rdr 0 f (r2)r2dr f (t2)t)上連續(xù)，故H(t) H(0) 0,2tf(t2)t 0f(r2)rd

36、rt0f(r2)r2dr一 2 _即 F(t) G(t).四、第一類曲線積分(概念、性質(zhì)類似二重積分)問(wèn)題10如何計(jì)算第一類曲線積分？答利用曲線的參數(shù)方程將第一類曲線積分化為定積分是計(jì)算第一類曲線積分的基本 方法，計(jì)算步驟如下：寫出曲線L的參數(shù)方程：x x(t), y y(t),t ,;根據(jù)計(jì)算公式將曲線積分表為定積分(把 x、y、ds依次換為x(t)、y(t)、“2(t) y2(t)dt,并注意 積分下限小于積分上限)：f (x, y)ds f (x(t), y(t)Jx2(t) y 2(t)dt ; L計(jì)算定積分.將曲線積分化為定積分的關(guān)鍵是寫出曲線L的參數(shù)方程.讀者應(yīng)熟悉曲線的直角坐標(biāo)方

37、程、極坐標(biāo)方程、面交式方程化為參數(shù)方程的方法若平面曲線 L由直角坐標(biāo)方程y y(x), x a,b給出，則選取 x為參數(shù)，x x ,y y(x), ds J1 y ,積分區(qū)間為a,b;若平面曲線L由極坐標(biāo)方程r r(),給出，則選取 為參數(shù)，x r ( )cos , y r ( )sin , ds Jr2( )r 2( )d ,積分區(qū)間為,;若空間曲線由一般式(面交式)方程給出，則可先寫出它的投影曲線的參數(shù)方程，再寫出空間曲線的參數(shù)方程.計(jì)算第一類曲線積分時(shí)，還可以利用曲線L的方程簡(jiǎn)化被積函數(shù)(此方法僅僅適用于曲線、曲面積分)，利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第一類曲線積分的計(jì)算：若曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，f(x,

38、 y)關(guān)于y是奇函數(shù)，則 f(x,y)ds 0；L若曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，f (x, y)關(guān)于y是偶函數(shù)，則 f(x,y)ds 2 f(x, y)ds;LLi若曲線L關(guān)于x , y對(duì)稱(交換x、y , L的方程不變)，則f (x, y)ds f(y, x)ds,LL特別 f(x)dsf(y)ds.LL2x1設(shè)L為橢圓一例題1,其周長(zhǎng)記為a ,貝U (2xy 3x2 4y2)dsL解【利用對(duì)稱性和曲線方程簡(jiǎn)化計(jì)算】由對(duì)稱性知，2xyds 0,L2 x L的方程為42y- 1 ,即 3x2 4y2= 12 ,故 3(3x2 4y2)dsL所以2(2xy 3x2L12 ds 12a,L2、4y2)ds

39、 12a.2.設(shè).,.2為球面x222y z a與平面x2 .0的交線，求曲線積分z ds.【利用對(duì)稱性和曲線方程簡(jiǎn)化計(jì)算】關(guān)于x, y,z具有輪換對(duì)稱性，故z2ds2 .x ds2 .y dsz2)ds1 a2ds31 2 a3習(xí)題1.設(shè)L為下半圓周(x2 y2)dsL利用曲線方程x22.求3.求x ds,其中L為(x2 y2)dsL1.12庖dsL曲線L關(guān)于x,y對(duì)稱,22lx (y 1)ds,其中x dsydsL2l(x y )ds1 ds 2.2.2lL為圓周2y.i 8在曲線L上,2y 0,且曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，故22x y 22dslx (y 1)x2L2 ,y ds 2, x2

40、yL12 ds ，其中 L1: x cost, ysint,t 2,2' 22x y .2 dslX (y 1)；. 2 2sin tdt22t sin 一2t cos22 2 (cos；sin ；)dt4 2 2(cos；sin|)dt8.4.求evx y ds ,其中LL為圓周x2 ya2,直線y x, x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.【ea(24a)2】解 LL1L2其中L1 :L2 :y x,x0, 2L3： y 0,x 0, a利用曲線方程,2dsL1ea d sL1a a ae ,4化為定積分,e 2x . 12 12dxy2e dsL2x2 y2e dsL3a x

41、 72T2-,0e10 dx故 eK 'dsLa a ae 2e 2.4五、第二類曲線積分(變力沿曲線所作的功)問(wèn)題11第二類曲線積分的概念與性質(zhì).答要結(jié)合變力沿曲線所作的功理解第二類曲線積分的概念與性質(zhì)、rrr1 .定義 向量值函數(shù)F P(x, y)i Q(x,y)j在定向曲線L上的積分(第二類曲線積 r r, , r分) F eds Pdx Qdy ,其中e為曲線L的單位切向量.LL規(guī)定切向量的方向與曲線L的方向一致.2 .性質(zhì)線性性；可加性；r rr萬(wàn)向性： F eds F eds;LL垂直性：若曲線L垂直于x軸，則x型積分 Pdx 0;L若曲線L垂直于y軸，則y型積分 Qdy

42、0.L問(wèn)題12如何計(jì)算第二類曲線積分？答計(jì)算第二類曲線積分的基本方法是利用曲線的參數(shù)方程化為定積分，步驟如下：寫出曲線L的參數(shù)方程：x x(t), y y(t), t從 到根據(jù)計(jì)算公式將曲線積分表為定積分(注意積分下限對(duì)應(yīng)起點(diǎn)， 積分上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn)):P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x(t), y(t)x (t) Q(x(t), y(t)y (t)dt ;L計(jì)算定積分.此外，常常利用格林公式、斯托克斯公式、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)計(jì)算第二類曲線積分計(jì)算第二類曲線積分時(shí)，還可以利用曲線L的方程簡(jiǎn)化被積函數(shù)；利用垂直性簡(jiǎn)化第二類曲線積分的計(jì)算.例題1 .在過(guò)點(diǎn)0(0,0)和A( ,0)的曲線族y

43、asinx(a 0)中，求一條曲線L ,使得從0(0,0)到 A( ,0)的積分(1 y3)dx (2x y)dy 的值最小. L解【先利用參數(shù)方程計(jì)算曲線積分，再求最小值】曲線L的參數(shù)方程為x x, y a sin x,x 0,I (a)(1 y3)dx (2x y)dyL° 1 a3 sin3 x (2x asinx)acosxdx 4a ；a3,令 I (a) 4(a2 1) 0,解得 a 1 (0, ) , I (a) 8a, I (1) 8 0,故a 1時(shí)，I(a)最小.所求曲線為ysin x , x 0,.2.設(shè) M (2x)是橢球面a22A 1上第一卦限點(diǎn), b cr

44、r ryzi zxj xyk 的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M (,)，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，力F所作的功最大？并求功的最大值.解 【先利用第二類曲線積分求功，再求功的最大值】從原點(diǎn)到點(diǎn) M的直線段L的參數(shù)方程為x t,y t,z t, t從0到1,r力F所作的功WrF dr yzdx zxdy xydzLLt2dt再求W(0,0,令 L(,)2(-2ab2L解駐點(diǎn)方程L22a2甘22c20,0,0,得惟一駐點(diǎn)a.3,b3,c.3.b221 0,c由實(shí)際問(wèn)題知，功的最大值存在故當(dāng)_a_瓜.3'、石時(shí)，力rF所作的功最大，功的最大值為W abc.9問(wèn)題13如何利用格林公式計(jì)算平面上第二類曲

45、線積分?答 設(shè)有界閉區(qū)域D的邊界曲線L由分段光滑的曲線組成，函數(shù)P(x, y),Q(x, y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式Pdx Qdy d ld x y其中L為D的正向邊界曲線.使用格林公式時(shí)要先驗(yàn)證格林公式的條件(封閉性、方向性、連續(xù)性):L為閉曲線正向,P(x,y),Q(x,y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).要掌握不滿足條件時(shí)的處理方法： 當(dāng)L不是閉曲線時(shí),應(yīng)添加輔助線使其封閉，當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)某個(gè)點(diǎn)不滿足條件時(shí)，應(yīng)作輔助線將其挖去例題1.求 I (exsiny x y)dx (ex cosy x)dy , L 為從點(diǎn) A(2,0)沿 y T2x_xL到點(diǎn)0(0,0)的弧

46、.解 【從被積函數(shù)和積分曲線看，直接計(jì)算較為困難，考慮用格林公式】Qxe cos y xQ xe cosy xP ex cos y 1 , y作輔助曲線L1 :0, x從0到2,由格林公式得Il(ex sin y xL1y)dx (excosy x)dy( xP)d0,y22,xx(e sin y x y)dx (e cosy x)dy 。 xdxI I1 I22.2 .求I，嗎 咤,L是以(1, 0)為中心，R (>1)為半徑的圓周，取逆時(shí)針?lè)絣 4x y向.解 【從被積函數(shù)和積分曲線看，化為定積分計(jì)算較為困難，考慮用格林公式】x22,22、_22(4x y ) y 2y y 4x222222)(4x y )(4x y )4x y22_22_Q 4x y x 8x y 4x P222222)x(4x y)(4xy) y在L圍成的區(qū)域內(nèi)作橢圓 L1 : 4x2 y2,取順時(shí)針?lè)较?，由格林公式得I1嗎絆(工上)d0,L L1 4x y D x y, xdy ydx 11I22 xdy ydx 1 ( 1)dLiLiDi故 I I1 I2.習(xí)題則曲線積分 xdy 2ydxL221 . (04-1)設(shè)L為正向圓周x y 2在第一象限中的部分,的值為322 .求I1dxi dy 2，其