第1節(jié)實數(shù)25615717

1、1前前 言言 現(xiàn)代的自然科學和社會科學融合了大量的高等數(shù)學知識，現(xiàn)代的自然科學和社會科學融合了大量的高等數(shù)學知識，掌握其主體內(nèi)容成為一個大學生的必備技能掌握其主體內(nèi)容成為一個大學生的必備技能. . 本課程主要介紹三塊內(nèi)容：微積分學、級數(shù)理論和常微分本課程主要介紹三塊內(nèi)容：微積分學、級數(shù)理論和常微分方程，其中微積分學分為一元微積分學和多元微積分學方程，其中微積分學分為一元微積分學和多元微積分學. .通過高等數(shù)學的學習，不但使學生具備學習后續(xù)其他數(shù)學通過高等數(shù)學的學習，不但使學生具備學習后續(xù)其他數(shù)學課程和專業(yè)課程所需要的基本數(shù)學知識，而且還使學生在數(shù)學課程和專業(yè)課程所需要的基本數(shù)學知識，而且還使學

2、生在數(shù)學的抽象性、邏輯性與嚴密性方面受到必要的訓練和熏陶，使他的抽象性、邏輯性與嚴密性方面受到必要的訓練和熏陶，使他們具有理解和運用邏輯關系、研究和領會抽象事物、認識和利們具有理解和運用邏輯關系、研究和領會抽象事物、認識和利用數(shù)形規(guī)律的初步能力用數(shù)形規(guī)律的初步能力. . 因此，高等數(shù)學的學習不僅關系到學因此，高等數(shù)學的學習不僅關系到學生在整個大學期間甚至研究生期間的學習質(zhì)量，而且還關系到生在整個大學期間甚至研究生期間的學習質(zhì)量，而且還關系到學生的思維品質(zhì)、思辨能力、創(chuàng)造潛能等科學和文化素養(yǎng)學生的思維品質(zhì)、思辨能力、創(chuàng)造潛能等科學和文化素養(yǎng). . 高高等數(shù)學教學既是科學的基礎教育，又是文化基礎教

3、育，是素質(zhì)等數(shù)學教學既是科學的基礎教育，又是文化基礎教育，是素質(zhì)教育的一個重要的方面教育的一個重要的方面. .2 同時創(chuàng)同時創(chuàng)立了微積分，微積分研究的主要對立了微積分，微積分研究的主要對象就是函數(shù)象就是函數(shù).微積分微積分(Calculus) 是一門以變是一門以變量為研究對象、以量為研究對象、以極限極限方法作為研方法作為研究工具的數(shù)學學科，應用極限方法究工具的數(shù)學學科，應用極限方法研究各類變化率問題和幾何學中曲研究各類變化率問題和幾何學中曲線的切線問題，就產(chǎn)生了線的切線問題，就產(chǎn)生了微分學微分學；應用極限方法研究諸如曲邊梯形的應用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到微小量無窮積累的問面積等涉及

4、到微小量無窮積累的問題，就產(chǎn)生了題，就產(chǎn)生了積分學積分學. 英國數(shù)學家英國數(shù)學家牛頓牛頓和德國數(shù)學家和德國數(shù)學家萊布尼茲萊布尼茲3一、微積分的實際背景一、微積分的實際背景 1. 1. 瞬時速度瞬時速度 2. 2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 3. 3. 曲邊圖形的面積曲邊圖形的面積 二、微積分學的思想方法二、微積分學的思想方法 運動、變化、發(fā)展乃至質(zhì)變運動、變化、發(fā)展乃至質(zhì)變, ,是微積分的根本思是微積分的根本思想方法，但運動、變化的定量刻畫卻表現(xiàn)在它的反想方法，但運動、變化的定量刻畫卻表現(xiàn)在它的反面，即相對靜止之中，也就是說，用定量的方法來面，即相對靜止之中，也就是說，用定量的方法來刻畫變

5、量的變化刻畫變量的變化. .4三、微積分學的基本結(jié)構(gòu)三、微積分學的基本結(jié)構(gòu) 比如做家具：比如做家具： 原料：原料：工具：工具：產(chǎn)品一：導數(shù)產(chǎn)品一：導數(shù)產(chǎn)品二：積分產(chǎn)品二：積分方式一方式一方式二方式二函數(shù)函數(shù)極限極限5第一章第一章 函數(shù)函數(shù)6 由于實踐和各門科學自身發(fā)展的需要，由于實踐和各門科學自身發(fā)展的需要， 到了到了16世紀，世紀， 對物體運動的研究成為自然科學的中心問題對物體運動的研究成為自然科學的中心問題.與之相適應，與之相適應， 數(shù)學在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進數(shù)學在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進入了一個新的時代，即變量數(shù)學的時代入了一個新的時代，即變量數(shù)學的時代. 作為在運動作為在運動中

6、變化的量中變化的量(變量變量)及它們之間的依賴關系的反映，數(shù)及它們之間的依賴關系的反映，數(shù)學中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念學中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念. 例如，伽利略發(fā)現(xiàn)自由落體下落的距離例如，伽利略發(fā)現(xiàn)自由落體下落的距離 s 與經(jīng)與經(jīng)歷的時間歷的時間 t 的平方成正比，得到著名的公式的平方成正比，得到著名的公式 221gts 確定了變量確定了變量 t 與與 s 之間的依賴關系，即之間的依賴關系，即函數(shù)關系函數(shù)關系，這就是自由落體運動規(guī)律的數(shù)學表述這就是自由落體運動規(guī)律的數(shù)學表述. 7 數(shù)學的一項重要任務，就是要找出反映各種實數(shù)學的一項重要任務，就是要找出反映各種實際問題中變量的變化規(guī)律，即其中所蘊含

7、的變量之際問題中變量的變化規(guī)律，即其中所蘊含的變量之間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系. 函數(shù)是數(shù)學中最基本的概念之一，函數(shù)是數(shù)學中最基本的概念之一，微積分微積分研究研究函數(shù)的一些局部的和整體的性態(tài)函數(shù)的一些局部的和整體的性態(tài). 本章介紹函數(shù)的一般概念，幾種常用的表示方本章介紹函數(shù)的一般概念，幾種常用的表示方式，最基本的函數(shù)類式，最基本的函數(shù)類初等函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，以及經(jīng)濟學中幾種常用的函數(shù)以及經(jīng)濟學中幾種常用的函數(shù). 8第一節(jié)第一節(jié) 預備知識預備知識一、數(shù)的發(fā)展一、數(shù)的發(fā)展 隨著人類生活的需要，數(shù)也就伴隨著得到很大的發(fā)隨著人類生活的需要，數(shù)也就伴隨著得到很大的發(fā)展展 我們知道，實

8、數(shù)是由有理數(shù)與無理數(shù)兩部分組成有我們知道，實數(shù)是由有理數(shù)與無理數(shù)兩部分組成有理數(shù)包含零、正負整數(shù)與正負分數(shù)有理數(shù)可表示為的理數(shù)包含零、正負整數(shù)與正負分數(shù)有理數(shù)可表示為的形式（其中為整數(shù)，且），也可表示為整數(shù)、有限小數(shù)形式（其中為整數(shù)，且），也可表示為整數(shù)、有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù)只能表示成無限不循環(huán)小或無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù)只能表示成無限不循環(huán)小數(shù)用字母表示實數(shù)集數(shù)用字母表示實數(shù)集 實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應數(shù)軸上表示有理數(shù)的點實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應數(shù)軸上表示有理數(shù)的點稱為有理點，表示無理數(shù)的點稱為無理點數(shù)軸上任意稱為有理點，表示無理數(shù)的點稱為無理點數(shù)軸上任意兩個不同的有理點之間一定存在無窮多

9、個有理點，這稱兩個不同的有理點之間一定存在無窮多個有理點，這稱之為有理數(shù)的稠密性同樣地，無理數(shù)也具有稠密性之為有理數(shù)的稠密性同樣地，無理數(shù)也具有稠密性 9 在數(shù)的發(fā)展過程中，實數(shù)集依然不夠完善，由于在數(shù)的發(fā)展過程中，實數(shù)集依然不夠完善，由于需要，又引入了復數(shù)如為了解決代數(shù)中負數(shù)不能開需要，又引入了復數(shù)如為了解決代數(shù)中負數(shù)不能開偶次方根問題，引入了一個新數(shù)偶次方根問題，引入了一個新數(shù) ，叫做虛數(shù)單位，叫做虛數(shù)單位 規(guī)定：規(guī)定：(1)它的平方等于它的平方等于 ，即，即 ； (2) 實數(shù)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成

10、立乘運算律仍然成立 在這種規(guī)定下，在這種規(guī)定下， 可以與實數(shù)可以與實數(shù) 相乘，再與實數(shù)相乘，再與實數(shù) 相加，從而就有：相加，從而就有： （ ），稱為復數(shù)，），稱為復數(shù)，通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 ( ）全體）全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母 表示表示 復數(shù)一般有四種表示：代數(shù)形式、幾何形式、指復數(shù)一般有四種表示：代數(shù)形式、幾何形式、指數(shù)形式、三角形式數(shù)形式、三角形式. i112iibia為實數(shù)、baabCzbiaz為實數(shù)、ba10 代數(shù)形式代數(shù)形式 （ ），其中），其中 、 分別叫做分別叫做復數(shù)的實部與虛部復數(shù)的實部與虛部. 當當 時

11、，為實數(shù)時，為實數(shù); 當且僅當當且僅當 時，它是實數(shù)時，它是實數(shù)0；當；當 時，為虛數(shù)時，為虛數(shù). 當當 且且 時，時，稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù). 復數(shù)復數(shù) 稱為復數(shù)稱為復數(shù) 的共軛復的共軛復數(shù)在解決一元數(shù)在解決一元 次方程時，復數(shù)根是成對出現(xiàn)次方程時，復數(shù)根是成對出現(xiàn). 如如: 無實數(shù)根無實數(shù)根,復數(shù)根為復數(shù)根為 幾何形式幾何形式 復數(shù)復數(shù) 在直角坐標系中與坐標平面在直角坐標系中與坐標平面內(nèi)點內(nèi)點( )成一一對應關系成一一對應關系. 指數(shù)形式指數(shù)形式 由可知復數(shù)的指數(shù)形式為：由可知復數(shù)的指數(shù)形式為： （其中（其中 , ），其乘、除、乘方、開方可以），其乘、除、乘方、開方可以按照冪的運算法則進行按

12、照冪的運算法則進行 biaz為實數(shù)、baab0 ba0b0b0a0bnbiazbiaz0322 xxix21biazba、irez 22barabarctan11 三角形式三角形式 , 其中其中 稱為復數(shù)稱為復數(shù) 的模（的模（ ）；當）；當 時，時， 稱為復數(shù)稱為復數(shù) 輻輻角（復數(shù)角（復數(shù) 在坐標平面內(nèi)對應點與原點連線與坐標軸正在坐標平面內(nèi)對應點與原點連線與坐標軸正 半軸的夾角）半軸的夾角）)sin(cosirzrz22bar0rzz12 由數(shù)的發(fā)展，可見數(shù)有如下組由數(shù)的發(fā)展，可見數(shù)有如下組成結(jié)構(gòu)：成結(jié)構(gòu)：實數(shù)實數(shù)有理數(shù)有理數(shù)無理數(shù)無理數(shù)整數(shù)整數(shù)分數(shù)分數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù))正整數(shù)正

13、整數(shù)零零負整數(shù)負整數(shù)其中實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系其中實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系.qp有理數(shù)有理數(shù):其中其中p,q為既約為既約整數(shù)整數(shù),且且.0 q虛數(shù)虛數(shù)復數(shù)復數(shù)13二二. .實數(shù)的絕對值實數(shù)的絕對值定義定義 1.1 設設 x 為一實數(shù)，定義為一實數(shù)，定義 絕對值為絕對值為0 ,0 , |xxxxx幾何意義：幾何意義：| x |表示數(shù)軸上點表示數(shù)軸上點 x 到原點的距離到原點的距離.| x- - y|表示數(shù)軸上兩點表示數(shù)軸上兩點 x和和 y 之間的距離之間的距離.; |axaax axaxax |或或 0 xa| x絕對值不等式的解絕對值不等式的解:x14例例1 1 解下列絕對值不等

14、式：解下列絕對值不等式：解解3|1| )1( x2|1| )2( x3|1| )1( x313 x.412 x2|1| )2( x21 21 xx或或3 1 xx或或x1 21 21 x131 31 3315絕對值的基本性質(zhì)：絕對值的基本性質(zhì)：;0|x; |xx ; |xxx; |yxyx; |yxyx; |yxxy;|2xx .0,|yyxyx證略證略.kxkkkx)0( ,kxkxkkx或,)0( ,16三、常用的實數(shù)集三、常用的實數(shù)集自然數(shù)集自然數(shù)集, 3, 2, 1, 0 nN 整數(shù)集整數(shù)集, 3, 2, 1, 0nZ 有理數(shù)集有理數(shù)集,|互互素素且且qpZqNpqpQ 正整數(shù)集正整數(shù)集, 3, 2, 1 nZ 實數(shù)集實數(shù)集全體實數(shù)全體實數(shù) R數(shù)軸數(shù)軸0 x1本書中如無特別說明，均限于實數(shù)范圍內(nèi)本書中如無特別說明，均限于實數(shù)范圍內(nèi).17區(qū)間：區(qū)間：,|bxax 閉區(qū)間閉區(qū)間 集合集合,ba記作記作oxab，|bxax 開區(qū)間開區(qū)間 集合集合. ),(ba記作記作oxab18oxab,|bxax 左開右閉區(qū)間左開右閉區(qū)間 集合集合左閉右開區(qū)間左閉右開區(qū)間 集合集合,(ba記作記作,|bxax ),ba記作記作oxab19|),axxa |),(bxxb oxaoxb無窮區(qū)間無窮區(qū)間|),(Rxx ox20鄰域：鄰域：定義定義 1.