小波分析方法及其電力應用

1、小波分析方法及其小波分析方法及其在電力系統(tǒng)中的應用在電力系統(tǒng)中的應用內容z1. 引言z2. 回顧傅立葉分析z3. 小波變換簡介z4. 連續(xù)小波變換z5. 離散小波變換z6. 小波包變換簡介z7. 電力系統(tǒng)應用1. 引言z傳統(tǒng)的時頻信號分析是建立在傅里葉變換的基礎上。但是，傅里葉分析只有頻率分辨率而沒有時間分辨率。它無法表述信號的時頻局域性質，而時頻局域性質恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關鍵的性質。z為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們對傅里葉分析加以改進，提出短時傅立葉變換（加窗傅立葉變換）等方法，但仍有許多問題難以解決。z小波分析也是一種時頻分析的方法，它克服了傅立葉分析的局限性，同時具有頻率分辨率和

2、時間分辨率。2. 回顧傅立葉分析z傅立葉變換（ Fourier Transform ）zFast Fourier Transform (FFT)zDiscrete Fourier Transform (DFT)zShort Time Fourier Transform (STFT)z傅里葉變換可將信號從時域變換到頻域進行分析。從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把時域信號波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可將對原信號的研究轉化為對其權系數(shù)，即傅里葉變換系數(shù)的研究。z從傅里葉變換中可以看出，其標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內是局部化的。傅立葉變換的示例傅立葉變換的

3、缺點z缺乏時間分辨率短時傅立葉變換z由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年提出短時傅立葉變換(Short-time Fourier Transform)。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。z短時傅立葉變換(STFT)雖然在一定程度上克服了標準傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著問題：即當窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，t、w只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉fSTFT實質上是具有單一

4、分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。z因此，STFT用來分析平穩(wěn)信號尚可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率；而波形變化比較平緩的時刻，主頻是低頻，則要求比較高的頻率分辨率，而STFT不能兼顧兩者。3. 小波變換簡介y小波概述y小波發(fā)展簡史y什么是小波？y小波大家族y小波變換與傅立葉變換的異同3.1 小波概述z小波變換是一種信號的時間尺度(時間頻率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolution Analysis)的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時間窗和

5、頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。z小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，具有自適應特性，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分，所以被譽為分析信號的“數(shù)學顯微鏡”。小波的應用z J.Morlet，地震信號分析。z S.Mallat，二進小波用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮和重構z Farge，連續(xù)小波用于渦流研究z Wickerhauser，小波包用于圖像壓縮。z Frisch，噪聲的未知瞬態(tài)信號。z Dutilleux，語音信號處理z H.Kim，時頻分析z Beykin，正交小波用于算子和微分算子的簡化z信

6、號處理、圖像處理z模式識別、語音識別z量子物理、地震勘探、流體力學、電磁場、CT成象、機器視覺、機械故障診斷、分形、數(shù)值計算3.2 小波發(fā)展簡史y1807: Joseph Fourier x傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式y(tǒng)1909: Alfred HaarxAlfred Haar對在函數(shù)空間中尋找一個與傅立葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波(Haar wavelets)y1946: Gaborx開發(fā)了短時傅立葉變換( ,)( )where: ( )signal ( )= windo(wing )functionj

7、 tgSTFTs tedts tg ttwttwSTFT的時間-頻率關系圖 y1980：Morletx20世紀70年代，在法國石油公司工作的年輕地球物理學家Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念。x 20世紀80年代, 開發(fā)了連續(xù)小波變 換 ( c o n t i n u o u s w a v e l e t transform， CWT)zMorlet wavelet)cos()(02/2tettwy1986：Y.Meyerx法國科學家Y.Meyer與其同事創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)x用縮放(dilations)與平

8、移(translations)均為2 j(j0的整數(shù))的倍數(shù)構造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展y1988：Mallat算法x法國科學家Stephane Mallat提出多分辨率概念，從空間上形象說明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的構造方法和快速算法，稱為Mallat金字塔算法x該算法統(tǒng)一了在此之前構造正交小波基的所有方法，其地位相當于快速傅立葉變換在經典傅立葉分析中的地位。3.3 什么是小波(wavelet)？z在有限時間范圍內變化且其平均值為零的數(shù)學函數(shù)x具有有限的持續(xù)時間x在有限的時間范圍內，它的平均值等于零小波的數(shù)學定義z設有一個函數(shù) , 其傅立葉變換是().

9、z當 滿足如下容許性條件： z 被稱為一個 母小波。wwwdCR| )(|2)(t)(w)(t3.4 小波大家族zOrthogonal and compactly supported wavelet: （正交且緊支集的小波） Daubechies, coiflets, symlets,zOrthogonal but not compactly supported wavelet （正交但非緊支集的小波）: MeyerzCrude wavelet: Morlet, Mexican hat,1、Daubechies小波（db小波）一些著名的小波：2、Coiflets小波3、Symlets小波5、M

10、orlet小波 6、Mexican Hat小波4、Meyer小波3.5 小波變換與傅立葉變換的異同zFFT and Wavelet SimilarityzFFT and Wavelet DifferencezWFT and Wavelet DifferenceFFT and Wavelet - SimilarityzBoth have basic functions to represent signals. zFFT has only sines and cosines. Wavelet transform contains infinite number of basis function

11、s called wavelets.zThe basis functions are localized in frequency, making it possible to pick out frequency components from signal.FFT and Wavelet - DifferencezFourier Transforms sine and cosine functions couldnt provide time information. zWavelet functions are localized in time domain. zWindowed Fo

12、urier transform uses the same square window for all frequencies, the resolution is the same at all locations in the time-frequency plane.WFT and Wavelet - DifferenceWFT and Wavelet - DifferencezWavelet transforms window could vary. For example, it uses long time-window for low-frequency signal and s

13、hort time-window for high-frequency signal. 4. 連續(xù)小波變換（CWT）zContinuous Wavelet Function（連續(xù)小波函數(shù)）zDilation, contraction and translation of wavelets （小波的伸縮和平移）zContinuous Wavelet Transform（連續(xù)小波變換）zInverse CWT （連續(xù)小波逆變換）z參考：MATLAB的小波工具箱連續(xù)小波函數(shù)z The dilation, contraction （伸縮）and translation （平移）of mother wa

14、velet results in a set of continuous wavelets:0;,),()(2/1,aRbaabtatbaz a is called scale factor（尺度因子，與頻率有關）z b is called translation factor（平移因子，與時間有關）伸縮和平移連續(xù)小波變換zFor signal f (t) L2(R) , its continuous wavelet transform (CWT) is:dtabttfafbaWRbaf)()(|,),(2/1,zWherezWf(a,b) is continuous wavelet coef

15、ficient （連續(xù)小波系數(shù)）0;,aRbaCWT示例連續(xù)小波逆變換zSignal f (t) can be reconstructed（重構） by its continuous wavelet coefficients:zThis is called Inverse Continuous Wavelet Transform.dadbatbaWCtfbaRRf2,1)(),(1)( MATLAB的小波工具箱zwavemenu5. 離散小波變換（DWT）zDrawback of CWT （連續(xù)小波變換的缺點）zDiscrete Wavelet Transform （離散小波變換） .zExa

16、mple: EMI noise analysis （示例：EMI信號分析）5.1 連續(xù)小波變換的缺點zContinuous wavelet functions are correlated.zMathematically speaking, the wavelet functions are not an orthogonal base （不是正交基）.基，正交基zIn a 2-Dimension space, there are 3 vectors :zThe following is an orthogonal base:(1,0)1) (0,21ee)21- ,23()21- ,23(-

17、1) (0,321eee連續(xù)小波變換具有冗余性zContinuous wavelet transform coefficients are correlated. zCWT brings too much redundant information, and requires too much computation. z zHow to perform wavelet transform without redundancy?5.2 離散小波變換 (DWT)zDiscretization （離散化）zDiscrete wavelet function （離散小波函數(shù)）zDiscrete wa

18、velet transform （離散小波變換）zInverse DWT （離散小波逆變換）zScale function （尺度函數(shù)）zDWT and digital filters （DWT與數(shù)字濾波器）zMulti-resolution analysis （多分辨率分析） Decomposition and Reconstruction （分解與重構）理想的時頻區(qū)域覆蓋離散化zDiscrete the scale factor a and translation factor b. (Real number Integer number)zDiscrete the scale facto

19、r a: a = 2 j ; j ZzD i s c r e t e t h e translation factor b: b = k2 j ; k Z 離散小波函數(shù)zContinuous wavelet function:zSubstitute a=2j, b=k 2j :zDiscrete wavelet function:0,;)()(2/1,aRbaabtatbaZkjkttjjjkj,;)22()2()(2/1,Zkjkttjjkj,;)2(2)(2/,離散小波變換z Discrete wavelet transform (DWT):z Wf(j,k) is called disc

20、rete wavelet coefficient（離散小波系數(shù)）.dtkttffkjWjRjkjf)2()(2,),(2/,離散小波逆變換zFor orthogonal wavelet, signal f(t) can be reconstructed by its discrete wavelet coefficients:zThis is called Inverse DWT.ZkjtkjWtfkjjkf,);(),()(,尺度函數(shù)zFor orthogonal wavelet, there is a scale function)(tSignal f(t)FiltersApproxima

21、tion(a)Detail(d)LowpassHighpassDWT 與數(shù)字濾波器zMulti-level wavelet Decompositionzs=d1 + a1 =d1 +d2 + a2 =d1 +d2 +d 3+a3zMulti-level wavelet Reconstruction多分辨率分析(Multi-resolution Analysis)分解與重構kj,kj, ,cfkjkjfd,zScale coefficient:zWavelet coefficient:zApproximation:zDetail:zSignal:)(a,jtckjkjk)(d,jtdkjkjkJ

22、jkjkjkkJkJkjJjJtdtcdatf1,1)()()(離散小波分解圖-1離散小波分解圖-25.3 示例：EMI信號分析Simulated EMI noiseFFT analysisCWT analysisDWT analysis6. 小波包變換簡介小波包空間劃分U00 ( V0 )U10 ( V1 )U11 ( W1 )U20 ( V2 )U21 ( W2 )U22 U23 U30 (V3)U31 (W3)U32 U33 U34U35U36U377. 7. 電力系統(tǒng)應用電力系統(tǒng)應用 由于小波具有優(yōu)良的分析奇異信號能力，小波理論已經在電力系統(tǒng)中被大量應用。具體包括：諧波檢測、信噪分離、

23、負荷突變檢測、變壓器勵磁涌流識別、局部放電信號檢測、電機故障檢測、汽輪發(fā)電機組轉子動靜碰摩擦故障檢測、接地故障檢測、變壓器差動保護間斷角測量、線路故障選相、線路故障測距等。z小波變換具有優(yōu)良的數(shù)據(jù)壓縮能力，可以用于電力數(shù)據(jù)的存儲和通信，從而快速傳送故障錄波和視頻監(jiān)視等信息。z小波變換還被用于電力系統(tǒng)的負荷預測、網(wǎng)損預測、電磁場優(yōu)化等方面。應用示例zDe-noising 消除噪聲zFault detection 故障檢測zForecasting 預測zData compression 數(shù)據(jù)壓縮示例：消除噪聲示例：故障檢測示例：故障測距z根據(jù)行波故障測距理論,輸電線路某處發(fā)生故障時,故障信號暫態(tài)行波沿輸電線路傳播到觀測母線位置,因為阻抗不連續(xù),這個故障行波被反射并向故障點傳播,到達故障點后又被反射并再次到達觀測母線位置。在觀測點處兩次測得暫態(tài)故障行波的時間為t= 2L/v,其中L為故障點與觀測母線位置間的距離,v為行波的傳播速度。z因為暫態(tài)故障的電流(或電壓)行波到達觀測母線時,實測電流(或電壓)信號表現(xiàn)出明顯的異動性,所以只要檢測出兩次故障波的間隔,就可以判斷出故障點的位置。z某模擬實驗中采用高階B樣條小波分解