拋物線的幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用

1、拋物線的幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、 問題，在做解答題時(shí)也可迅速打開思路。結(jié)論一：若AB是拋物線2y 2Pxp 0）的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）且 A(x,yi), B%,yO,則:2PX” 一， yy4例：已知直線AB是過拋物線y2 2Px（p 0）焦點(diǎn)F,求證： ,1為定值。結(jié)論二：（1）若AB是拋物線y2 2PMp 0）的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為a ,則AB 2P （“w 0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦） sin 2最短。22例：已知過拋物線 y2 9X的焦點(diǎn)的弦AB長為12,則直線AB傾斜

2、角為。 AB傾斜角為一或33結(jié)論三：兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（2）過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。2例：已知AB是拋物線y 2px（p 0）的過焦點(diǎn)F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。(2)分別過A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為 M、N,求證：以MN為直徑的圓與直線結(jié)論四：若拋物線方程為y 2pxp 0),過(2p , 0)的直線與之交于 A B兩點(diǎn)，則 OA ，OR反之也成立。x 2 pt結(jié)論五：對于拋物線x2 2 py( p 0),其參數(shù)方程為2設(shè)拋物線x2 2 py上動(dòng)點(diǎn)Py 2pt，22 t2坐標(biāo)為(2

3、pt,2pt ),。為拋物線的頂點(diǎn)，顯然kop 組 t ,即t的幾何意義為過拋物線頂2pt點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜率.2例 直線y 2x與拋物線y 2px(p 0)相交于原點(diǎn)和 A點(diǎn)，B為拋物線上一點(diǎn)，OB和OA垂直,且線段AB長為5 J13 ,求P的值.22.111解析：設(shè)點(diǎn) A, B 分別為(2ptA ,2ptA),(2 ptB ,2ptB)，則 tA ，tB koA2 .koA 2koBA B的坐標(biāo)分別為p, p ,(8p, 4p) . . AB J 8p 2 (p 4p)2 5y/l3p 5照 . p 2 .練習(xí)：1 .過拋物線y ax2(a 0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于 P, Q兩點(diǎn)，若

4、線段PF與FQ的長分 別是p, q ,則工 1 = 故1 1 4a p qp q22 .設(shè)拋物線y 2px(p 0)的焦點(diǎn)為F ,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于 A B兩點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC / x軸.證明直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)O.【證明拋物線焦點(diǎn)為F £,0 .設(shè)直線AB的方程為x my上，代入拋物線方程，得222y 2pmy p 0 .右設(shè) A(x, y) B(x2, y?),貝U yiy2BC / x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線2p；yi又由y122pxi ,得 kAo - - xiyi故kcokAO ,即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 3 .已知拋物線的焦點(diǎn)是F(11),準(zhǔn)線方程是x y 2 0,

5、求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程.【解：設(shè)P(x, y)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得J(x i)2 (y i)2 1 y 2 .,222整理，得x y 2xy 8x 8y 0 ,此即為所求拋物線的方程.拋物線的對稱軸應(yīng)是過焦點(diǎn) F(iI)且與準(zhǔn)線x y 2 0垂直的直線，因此有對稱軸方程y x .設(shè)對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M ,可求得M( i, i),于是線段 MF的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，坐標(biāo)是(0,0)】備選i.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(i,0),準(zhǔn)線l的方程是x 2y 2 0,試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對稱軸方程為 2x y 2 0.設(shè)對稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是 M ,可以求得M 9, 2 .設(shè)焦點(diǎn)為F ,則FM的中點(diǎn)是A,故得焦點(diǎn)55，一，4 2坐標(biāo)為F5 5再設(shè)P(x, y)是拋物線上的任一點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義得x 2y 2,化簡整理得4x2y2 4xy 4x12y 0 ,即為所求拋物線的方程.已知A B為拋物線x24y上兩點(diǎn)，且OAOB ,求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.解析:設(shè) k