電動(dòng)力學(xué)-郭碩鴻-第三版-課后題目整理(復(fù)習(xí)備考專用)

1、實(shí)用電動(dòng)力學(xué)答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律B) (A )B1.根據(jù)算符 的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式:(A B) B ( A) (B )A A ( A ( A) 1 A2 (A )A文檔2.設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明:f(u)A(u)df 一 u dudA u duA(u)dA u du證明:(2 )求 r , r , (a )r , (ar), Eosin(k r)及E0sin(k r),其中a、k及E0均為常向量。3.設(shè) r (x x')2 (y y')2 (z z')2 為源點(diǎn) x'到場(chǎng)點(diǎn) x的距離，r的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。(1)證明下列結(jié)

2、果，并體會(huì)對(duì)源變量求微商與對(duì)場(chǎng)變量求微商的關(guān)系： .3r 'r r/r ；(1/r)'(1/r) r/ r ；(r/r3) 0；33(r/r )'(r/r )0, (r 0)。4.應(yīng)用高斯定理證明vdVf 口sdS f ,應(yīng)用斯托克斯5. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t) (x',t)x'dV'，利用電荷守恒定律J 0Vt證明p的變化率為： J(x',t)dVdt VEkes）定理證明,#dl6 .若m是常向量，證明除R 0點(diǎn)以外，向量A (m R)/R33的旋度等于標(biāo)量 m R/ R3的梯度的負(fù)值，即A ,其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的

3、距離，方向由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。8.內(nèi)外半徑分別為 恒定均勻自由電流 磁化電流。口和上的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有J f,導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為 ，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和7 .有一內(nèi)外半徑分別為 r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為,使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷f ,求：（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。9.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度 f的（1 o/ ）倍。10.證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反（但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）11.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為li和12,電容率為i和2,今在兩板接

4、上電動(dòng)勢(shì)為 E的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度fi和f 2 ；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度f3。（若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為1和2當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體的結(jié)果如何？）12.證明：(1 )當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的曲折滿足tan 22tan ii其中1和2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，i和2分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。I3.試用邊值關(guān)系證明： 在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況 下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。(2)當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場(chǎng)線的曲折滿足tan 2

5、2tan ii其中I和2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。14.內(nèi)外半徑分別為 a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電 為f ,板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。(1)證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場(chǎng)。(2)求f隨時(shí)間的衰減規(guī)律。(3)求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。(4)求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這 段的靜電能減少率。(3)計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；(4)求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量第二章靜電場(chǎng)1 . 一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為 P Kr/r2,電容率 為。(1)計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：(2)計(jì)算自由電荷體密度；2 .在均勻外電場(chǎng)

6、中置入半徑為Ro的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)：(1)導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保 持電勢(shì)差。 ;(2)導(dǎo)體球上帶總電荷 Q3 .均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷 Qf,球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理 所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷 Qf的電勢(shì)Qf /4 R與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。球殼上帶電Q ,求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和電荷分布。6.在均勻外電場(chǎng)Eo中置入一帶均勻自由電荷（電容率為 ），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。f的絕緣介質(zhì)球4 .均勻介質(zhì)球（電容率為1）的中心置一自由電偶極子pf ,球外充滿了另一種介質(zhì)（電容

7、率為2）,求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。5 .空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為和R2，球中心置一偶極子p8.半徑為R。的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處(a > R。)置一點(diǎn)電荷Qf ,試用分離變量法求 空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。(R Ro)7.在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為2的液體，使其中流著均勻的電流Jf。今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為i的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，討論12及21兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和&，在球內(nèi)離球心為a處(a< R )置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分

8、布在內(nèi)表面還是外表面？11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球10.上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q。，或使具有確定電勢(shì)°,試求這兩種情況的電勢(shì)。 又問°與Qo是何種關(guān)系時(shí), 兩情況的解是相等的？Q (xo, a,b的球心在導(dǎo)體平面上， 點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上， 并與平 面相距為b (b> a),試用電象法求空間電勢(shì)。a-q(x0,a,b) )1b1Q (xo, a, b)Q(xo,a, b)12 .有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b , 求空間電勢(shì)。實(shí)用zA(xo, yo,zo)B(X

9、o，y0, Zo)13 .設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為熱液體。取該兩平面為 xz面和yz面在(X0, y0,Z0)和(X0, y0, Z0) 兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I,求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。zQ( x0, y0, z0)Q( X0, y0, z0) Q(X0, y0, z0) EQ(X0, y0, z0)文才飛(X0, y°, 4)Q(X0,y0, z。)14.畫出函數(shù)d (X)/dX的圖，說明(p ) (x)是一個(gè)位實(shí)用文檔于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。0,結(jié)果15.證明：(1) (ax) (x)/a (a 0),(若 a如何？)(2) x (x) 0'

10、P(x')P(x') dS'dV ,試證明以上兩表達(dá)V 4 0rS 40r式是等同的。16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x'),根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為P(X') 3r dV',另外v 40r根據(jù)極化電荷公式p 'P(X')及p n P,極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的 變化。(1)在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的。(2)在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變 2 i n P/ 0,而電 勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。(各帶等量正負(fù)面電荷密度士加靠的很近

11、的兩個(gè)面，形成面E小偶極層，而偶極矩密度P lim l )l 0x18. 一個(gè)半徑為Ro的球面，在球坐標(biāo) 0/ 2的半球面上電勢(shì)為0在/2的半球面上電勢(shì)為0,求空間各點(diǎn)電勢(shì)。11提示：；Pn(X)dX x尸生,Pn(1) 1,2n 100 , (n奇數(shù))Pn(1)n/2135 (n 1) , (n 偶數(shù))2 4 6 n第三章靜磁場(chǎng)1 .試用A表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場(chǎng) Bo,寫出A的兩 種不同表示式，證明二者之差為無旋場(chǎng)。2 .均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數(shù)為n,電流強(qiáng)度I,試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度B °4.設(shè)x< 0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x&

12、gt;0空間為真空,今有線電流I沿z軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。3.設(shè)有無限長的線電流I沿z軸流動(dòng)，在z<0空間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域?yàn)檎婵?，試用唯一性定理求磁感?yīng)強(qiáng)度B ,然后求出磁化電流分布。5.某空間區(qū)域內(nèi)有軸對(duì)稱磁場(chǎng)。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知22Bz Bo C(z /2),其中Bo為常量。試求該處的B 。提示：用B 0,并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足H 0。6.兩個(gè)半徑為a的同軸圓形線圈，位于z L面上。每個(gè)線圈上載有同方向的電流I。(1)求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。(2)求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時(shí)的L和a的關(guān)系。22提示：用條件 2Bz/ z207.半徑為a的無限

13、長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流J均勻分布于截面上，試解矢勢(shì) A的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為0,導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。9.將一磁導(dǎo)率為，半徑為 R的球體，放入均勻磁場(chǎng) Ho內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度 B和誘導(dǎo)磁矩 m。（對(duì)比P49靜電場(chǎng)的例子。）8. 假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為Qm,它的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H Qmr/4 °r3。給出它的矢勢(shì)的一個(gè)可能的表示式，并討論它的奇異性。10 .有一個(gè)內(nèi)外半徑為 R,和R的空心球，位于均勻外磁場(chǎng)Ho內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為 ，求空腔內(nèi)的場(chǎng) B ,討論 0時(shí)的 磁屏蔽作用。11 .設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為B H0M 0,其中M0是恒定的與H無關(guān)的量。今將一個(gè)理想鐵磁體做成的均勻磁化球

14、（M 0為常值）浸入磁導(dǎo)率為'的無限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。12 .將上題的永磁球置入均勻外磁場(chǎng)Ho中，結(jié)果如何?13 .有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為Ro,總電荷為Q,今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求球內(nèi)外的磁場(chǎng) B。提示：本題通過解 A或m的方程都可以解決，也可以比較 本題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。14.電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為 Q ,半徑為Ro , 它以角速度 繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，求（1）它的磁矩；（2） 它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動(dòng)量之比（設(shè)質(zhì)量 Mo是均勻分布的）。15.有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實(shí)物 的平坦界面附近

15、的真空中，求作用在小永磁體上的力F。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d 和d 的線偏振平面波，它們都沿 z軸方向傳播。(1)求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個(gè)波。(2)求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。2 .一平面電磁波以45。從真空入射到2的介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)3 .有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為時(shí)將會(huì)發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃?。設(shè)該波在空氣中的波長為0 6.28 10水的折射率為n=1.33 。證明這5cm ,度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。5.有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x方向偏振，

16、另一個(gè)沿y方向偏振，但相位比前者超前 /2, 求合成撥的偏振。反之，一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè)線偏振？6.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電4.頻率為 的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若E,D,B,H仍按ei(kx "變化，但D不再與E平行(即D E不成立)。(1)證明 kB k D B D B E 0,但一般 k E 0。_2 一一2(2)證明 D k E (k E)k/ o(3)證明能流S與波矢k 一般不在同一方向上。磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁帷?.已知海水的r 1,1Sm-1,試計(jì)算頻率為50, 10 6和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。8 .平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為1 o求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬， 結(jié)果如何？提示：導(dǎo)電介質(zhì)中的波矢量 k B ia, a只有Z分量。（為 什么？）10.電磁波E(x, y,z,t)E(x,y)ei(kzz t)在波導(dǎo)管中沿 z方向傳播，試使用 E i 0H及 H ioE證明電磁場(chǎng)所有分量都可用 Ex(x, y)及H z(x, y)這兩個(gè)分量表示。9 .無限長的矩形波導(dǎo)管，在 z=0處被一塊垂直插入的理想