月日習題-WelcometoMathDeptinECNU

1、1.求 中 項的系數(shù).10084)1 (xx 20 x解：10001008410010084100841)( )(1 )1 ( kkkkxxCxxxx分析 的結(jié)構(gòu)可知僅當時有 項kxx)(845 , 4 , 3k20 x233100 3CCk系數(shù)時，344100 4CCk系數(shù)時，055100 5CCk系數(shù)時，三個系數(shù)相加即為所求1.求 中 項的系數(shù).10084)1 (xx 20 x2.有紅、黃、藍、白球各兩個，綠、紫、黑的球各3個，問從中取出10個球，試問有多少種不同的取法？解： 用指數(shù)型母函數(shù)，可得母函數(shù)33242)1 ()1 ()(xxxxxxG系數(shù)即為所求。10 x2.有紅、黃、藍、白球

2、各兩個，綠、紫、黑的球各3個，問從中取出10個球，試問有多少種不同的取法？3.試求從1到1000000的整數(shù)中，0出現(xiàn)了多少次？ 3. 解：首先所有數(shù)都用6位表示，從000000到999999中在每位上0出現(xiàn)了10 次,所以0共出現(xiàn)了610 次,0出現(xiàn)在最前面的次數(shù)應該從中去掉，000000到999999中最左1位的0出現(xiàn)了10 次，000000到099999中左數(shù)第2位的0出現(xiàn)了10 次，000000到009999左數(shù)第3位的0出現(xiàn)了10 次, 000000到000999左數(shù)第4位的0出現(xiàn)了10 次, 000000到000099左數(shù)第5位的0出現(xiàn)了10 次, 000000到000009左數(shù)第

3、6位的0出現(xiàn)了10 次。 另外1000000的6個0應該被加上。 所以0共出現(xiàn)了 610 10 10 10 10 10 10 +6 = 488895次。5554321055432104.求n位四進制數(shù)中2和3必須出現(xiàn)偶次的數(shù)目。解：對符合題設要求的排列如果0可以出現(xiàn)在最高位，則可得母函數(shù)：!) 1224(41 ) 12(41 )(21 )! 4! 21 ()! 21 ()(0242224222nxeeeeexxxxxGnnnnxxxxx4.求n位四進制數(shù)中2和3必須出現(xiàn)偶次的數(shù)目。但是對n位四進制數(shù)來說最高位不能為0。) 1224(41nnna)243(41)1224() 1224(41111

4、1nnnnnnnnnaaa5.證明序列的母函數(shù)為.)1 (11nx解：.), 2(), 1(),(nnCnnCnnC5. 解：題設中序列的母函數(shù)為：00!) 1() 1)( ),( ),( ), 1(),()(kkkkkxnknknkxnknCxnknCxnnCnnCxG由生成函數(shù)的性質(zhì)，上式1)1 (1nx 等式的右端相當于從n+m+1個球中取n+1個球的組合。 把這n+m+1個球編號，如果取出的n+1個球中最小編號是一，則得到 如果最小編號是二則得到 如果最小編號是m則得到 。 可證),(nmnC), 1(nmnC),(nnC6.證明) 1, 1(),(), 1(),(nmnCnmnCnn

5、CnnC解：7. 8臺計算機分給3個單位，第1單位的分配量不超過3臺，第2單位的分配量不超過4臺，第3個單位不超過5臺，問共有幾種分配方案？解：.7. 解：把單位看成元素，共12個元素其中 第1單位有3個第2單位有4個第3單位有5個則命題可看成從12個元素中取8個的組合。母函數(shù)為：)1 ( )1 ()1 ()(543243232xxxxxxxxxxxxxG其中 項系數(shù)為所求8x8. 設空間的n個平面兩兩相交，每3個平面有且僅有一個公共點，任意4個平面都不共點。這樣的n個平面把空間分割成多少個不重疊的域？解：.8. 解：設n個滿足條件的平面把空間分成 個域n-1個滿足條件的平面把空間分成 個域則

6、第n個平面與這n-1個平面有n-1條交線，且這些線兩兩相交，任三線不共點。 第n個平面被這n-1條線分成 個域 增加了 個域?？傻胣a1na21nC21nC1 , 2 ,10121aaCaannn設323210nAnAnAAan解得11113210AAAA321nnnan9. 在Hanoi塔問題中，在柱A上從上到下套著n個圓盤，其編號依次從1到n?，F(xiàn)要將奇數(shù)編號與偶數(shù)編號的圓盤分別轉(zhuǎn)移到柱B和柱C上。轉(zhuǎn)移規(guī)則仍然是每次移動一個，始終保持上面的比下面的小。一共要移動多少次？解：.9. 解：設n為偶數(shù)1）先把n-1個盤通過C移到B2）把第n個盤移到C3）把n-3個盤通過C移到A4）把第n-2個盤移到B對n為奇數(shù)時上述四步仍然成立，但是B、C對調(diào)。)3(1)3(1) 1()(nknhnhnk其中2)0(, 2)2(, 1) 1 (kkk)(kh為Hanota數(shù)列。10. 在一圓周上取n個點，過一對頂點可作一弦，不存在三弦共點的現(xiàn)象，求弦把圓分割成幾部分 10. 解：n-1個點把圓分為 部分，加上第n個點則增