金融工程的基本分析方法—狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法

1、12/28/2021整理ppt1金融工程的基本分析方法金融工程的基本分析方法2.1 無(wú)套利定價(jià)法無(wú)套利定價(jià)法 定義定義2.1：套利是同時(shí)持有一種或者多種資：套利是同時(shí)持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或者空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)的多頭或者空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下鎖定一個(gè)的情況下鎖定一個(gè)高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益。的收益。 兩種套利方法：兩種套利方法：當(dāng)前時(shí)刻凈支出為當(dāng)前時(shí)刻凈支出為0，將來(lái)獲得正收益（收益，將來(lái)獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時(shí)候一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的當(dāng)前時(shí)候一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）

2、。）。 無(wú)套利原則無(wú)套利原則：如果市場(chǎng)是有效率的話(huà)，市：如果市場(chǎng)是有效率的話(huà)，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。重新回到均衡的狀態(tài)。注意：無(wú)套利并不需要市場(chǎng)參與的者一致行動(dòng)，注意：無(wú)套利并不需要市場(chǎng)參與的者一致行動(dòng)，實(shí)際上只要少量的理性投資者可以使市場(chǎng)無(wú)套實(shí)際上只要少量的理性投資者可以使市場(chǎng)無(wú)套利。利。在有效的金融市場(chǎng)上，市場(chǎng)在有效的金融市場(chǎng)上，市場(chǎng)不存在套利均衡不存在套利均衡。 案例案例 2-1 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)（連續(xù)復(fù)利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12

3、%。如。如果有人把今后果有人把今后6個(gè)月到個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定年期的遠(yuǎn)期利率定為為11%，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？利活動(dòng)？ 答案是肯定的。答案是肯定的。12/28/2021整理整理ppt5 回顧：連續(xù)復(fù)利的概念回顧：連續(xù)復(fù)利的概念 若名義利率為若名義利率為r，一年（期）平均付息，一年（期）平均付息m次，次，則相應(yīng)的有效利率則相應(yīng)的有效利率rm為為(1)1lim1mrmmmrrrem 后者為連續(xù)復(fù)利，如果是后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則年（期），則(1)1lim1mTrTmmmrrrem 套利過(guò)程是：套利過(guò)程是：交易者按交易者按10%的利率借入

4、一筆的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)個(gè)月資金（假設(shè)1000萬(wàn)元）萬(wàn)元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按者可以按11%的利率，在的利率，在6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元（等于萬(wàn)元（等于1000e0.100.5）。）。按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。萬(wàn)元。1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年期貸款，得本息1127萬(wàn)元（等于萬(wàn)元（等于1000e0.121），并用），并用1110萬(wàn)元（等于萬(wàn)元（等于1051e0.110.5）償）償還還1年期的債務(wù)后，交易者凈

5、賺年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬(wàn)元（萬(wàn)元（1127萬(wàn)元萬(wàn)元-1110萬(wàn)元）。萬(wàn)元）。1. 這是哪一種套利？這是哪一種套利？ 先看遠(yuǎn)期外匯定價(jià)的例子先看遠(yuǎn)期外匯定價(jià)的例子 目前貨幣市場(chǎng)上美元利率是目前貨幣市場(chǎng)上美元利率是6%，馬克利率，馬克利率是是10%；外匯市場(chǎng)上美元與馬克的即期匯；外匯市場(chǎng)上美元與馬克的即期匯率是率是1 美元兌換美元兌換1.8馬克馬克 (1:1.8) 問(wèn)：一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是問(wèn)：一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是1:1.8？無(wú)套利的定價(jià)法的原理：無(wú)套利的定價(jià)法的原理： 套利者可以借入套利者可以借入1美元，一年后要?dú)w還美元，一年后要?dú)w還1.06美元；美元； 在即期市場(chǎng)上，他用借來(lái)的在

6、即期市場(chǎng)上，他用借來(lái)的1美元兌換成美元兌換成1.8馬克馬克存放一年，到期可以得到存放一年，到期可以得到1.98馬克；馬克； 在遠(yuǎn)期市場(chǎng)上套利者在購(gòu)買(mǎi)在遠(yuǎn)期市場(chǎng)上套利者在購(gòu)買(mǎi)1.8馬克同時(shí)按照目前馬克同時(shí)按照目前的遠(yuǎn)期匯率（的遠(yuǎn)期匯率（1:1.8）賣(mài)出）賣(mài)出1.98馬克，換回馬克，換回1.1美元。美元。 在扣除掉為原先借入的在扣除掉為原先借入的1美元支付的本息美元支付的本息1.06美元美元之外，還有一個(gè)剩余之外，還有一個(gè)剩余0.04美元（美元（1.1美元美元-1.06美美元）。如果不計(jì)費(fèi)用，這個(gè)剩余就是套利者獲取元）。如果不計(jì)費(fèi)用，這個(gè)剩余就是套利者獲取的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。顯然，的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。顯然，1

7、:1.8不是均衡的遠(yuǎn)期外匯不是均衡的遠(yuǎn)期外匯價(jià)格。價(jià)格。無(wú)套利的價(jià)格無(wú)套利的價(jià)格 無(wú)套利均衡的價(jià)格必須使得套利者處于這無(wú)套利均衡的價(jià)格必須使得套利者處于這樣一種境地：他通過(guò)套利形成的財(cái)富的現(xiàn)樣一種境地：他通過(guò)套利形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值，與他沒(méi)有進(jìn)行套利活動(dòng)時(shí)形成的金價(jià)值，與他沒(méi)有進(jìn)行套利活動(dòng)時(shí)形成的財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值完全相等，即套利不能影財(cái)富的現(xiàn)金價(jià)值完全相等，即套利不能影響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。響他的期初和期末的現(xiàn)金流量狀況。 套利者借入套利者借入1美元后，如果不進(jìn)行套利活動(dòng)，美元后，如果不進(jìn)行套利活動(dòng)，他一年后將得到他一年后將得到1.06美元；如果他實(shí)施了美元；如果他實(shí)施了套利活動(dòng)，他一

8、年后將得到套利活動(dòng)，他一年后將得到1.98馬克。這馬克。這兩種情況都是從期初的兩種情況都是從期初的1美元現(xiàn)金流出開(kāi)始，美元現(xiàn)金流出開(kāi)始，到期末時(shí)兩個(gè)現(xiàn)金流入的價(jià)值也必須相等。到期末時(shí)兩個(gè)現(xiàn)金流入的價(jià)值也必須相等。于是于是1.06美元美元=1.98馬克，即馬克，即1美元美元=1.8679馬克。這個(gè)價(jià)格才是無(wú)套利的均衡價(jià)格。馬克。這個(gè)價(jià)格才是無(wú)套利的均衡價(jià)格。 無(wú)套利的定價(jià)法的原理：無(wú)套利的定價(jià)法的原理： 無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制復(fù)制”技技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。 如果兩種資產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，如果兩種資

9、產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，根據(jù)無(wú)套利原理，二者可以相互復(fù)制根據(jù)無(wú)套利原理，二者可以相互復(fù)制如果如果A資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險(xiǎn)與資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險(xiǎn)與B資產(chǎn)（組合）資產(chǎn)（組合）完全相同，則已知完全相同，則已知A資產(chǎn)的收益，就可以推斷資產(chǎn)的收益，就可以推斷B的收益，從而得到的收益，從而得到B的資產(chǎn)的定價(jià)。的資產(chǎn)的定價(jià)。案例案例2-2 無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中 假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)為為10元，我們知道在元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。元。 假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年

10、利率等于假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%， 問(wèn)題：求一份問(wèn)題：求一份3個(gè)月期執(zhí)行價(jià)格為個(gè)月期執(zhí)行價(jià)格為10.5元的元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，為了找出該期權(quán)的價(jià)值， 可構(gòu)建一個(gè)由可構(gòu)建一個(gè)由一單位看一單位看漲期權(quán)空頭漲期權(quán)空頭和和單位的標(biāo)的股票多頭單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。組成的組合。若股票價(jià)格若股票價(jià)格=11，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合收益為，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合收益為11 -0.5若股票價(jià)格若股票價(jià)格=9，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合收益為，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合收益為9 為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，必須滿(mǎn)足必

11、須滿(mǎn)足下式：下式： 11 -0.59 ，即，即 =0.25 組合價(jià)值為組合價(jià)值為2.25元元 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因此，元，因此，從無(wú)套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)從無(wú)套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)f（期權(quán)的價(jià)值）必須滿(mǎn)足（期權(quán)的價(jià)值）必須滿(mǎn)足元19. 225. 225. 01 . 0e10 0.252.190.31ff元 根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，所以組合的現(xiàn)值為險(xiǎn)利率，所以組合的現(xiàn)值為無(wú)套利定價(jià)機(jī)制的主要特征無(wú)套利定價(jià)機(jī)制

12、的主要特征 無(wú)套利定價(jià)原則要求套利活動(dòng)必須在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下進(jìn)行無(wú)套利定價(jià)原則要求套利活動(dòng)必須在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下進(jìn)行 在一個(gè)不存在套利機(jī)會(huì)的有效市場(chǎng)上，投資者可以建立在一個(gè)不存在套利機(jī)會(huì)的有效市場(chǎng)上，投資者可以建立起一個(gè)包含了衍生品（比如期權(quán)）頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)（比起一個(gè)包含了衍生品（比如期權(quán)）頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)（比如股票）頭寸的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。如股票）頭寸的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。 若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭盈利（或虧損）就會(huì)與衍生若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭盈利（或虧損）就會(huì)與衍生品的空頭虧損（或盈利）相抵，因此在短期內(nèi)該組合是品的空頭虧損（或盈利）相抵，因此在短期內(nèi)該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的（理論上只對(duì)瞬間的時(shí)刻保持無(wú)風(fēng)險(xiǎn)

13、，否則，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的（理論上只對(duì)瞬間的時(shí)刻保持無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，否則，需要在這個(gè)資產(chǎn)組合中持續(xù)地調(diào)整基礎(chǔ)證券與衍生證券需要在這個(gè)資產(chǎn)組合中持續(xù)地調(diào)整基礎(chǔ)證券與衍生證券的投資比例）。的投資比例）。 根據(jù)無(wú)套利原則，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)根據(jù)無(wú)套利原則，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。所以這個(gè)原理實(shí)際上表示了衍生證券的期望收益利率。所以這個(gè)原理實(shí)際上表示了衍生證券的期望收益率，基礎(chǔ)證券的期望收益率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率之間的一個(gè)均率，基礎(chǔ)證券的期望收益率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率之間的一個(gè)均衡條件衡條件無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用 金融工具的模仿金融工具的模仿（mimicking ）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使

14、之與被模仿的即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有金融工具具有相同或相似的盈虧狀況相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價(jià)值可能有所不注意：盈虧狀況相似或者相同，但價(jià)值可能有所不同。同。 金融工具的合成金融工具的合成（compound）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有金融工具具有相同價(jià)值相同價(jià)值。合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上案例案例2-3：模仿股票（：模仿股票（the mimicking stock) 模仿股票：一個(gè)看漲期權(quán)多頭和一個(gè)看跌期權(quán)的空頭的模仿股票：一個(gè)看漲期權(quán)多頭和一個(gè)看跌期

15、權(quán)的空頭的組合。組合。 假設(shè)假設(shè)t時(shí)刻，股票買(mǎi)權(quán)和賣(mài)權(quán)的價(jià)格分別是時(shí)刻，股票買(mǎi)權(quán)和賣(mài)權(quán)的價(jià)格分別是ct和和pt，兩個(gè)，兩個(gè)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是XSt（t 時(shí)刻股票的價(jià)格），到期時(shí)刻股票的價(jià)格），到期日股票價(jià)格為日股票價(jià)格為ST。則到期日的收益為。則到期日的收益為()()max(0,)max(0,)() =()r T tTTttr T tTttRSXXScp eSXcp e股票股票模仿股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！票有所區(qū)別！ 表面上看，持有模仿股票似乎不合算表面上看，持有模仿股票似乎不合算 但下面的例子表明，模仿股票在財(cái)務(wù)杠桿方面的巨大優(yōu)但下面的例子表

16、明，模仿股票在財(cái)務(wù)杠桿方面的巨大優(yōu)勢(shì)，為風(fēng)險(xiǎn)偏好型的投資者提供了一個(gè)性質(zhì)不同的投資勢(shì)，為風(fēng)險(xiǎn)偏好型的投資者提供了一個(gè)性質(zhì)不同的投資渠道渠道 假設(shè)一只股票現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是假設(shè)一只股票現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是10元，以該價(jià)格作為執(zhí)元，以該價(jià)格作為執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格分別是行價(jià)格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格分別是0.55元和元和0.45元。元。 一個(gè)投資者用一個(gè)投資者用10元錢(qián)采取兩種方案進(jìn)行投資元錢(qián)采取兩種方案進(jìn)行投資 方案一直接在股票市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)股票直接在股票市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)股票 方案二是用同樣的資金購(gòu)買(mǎi)模仿股票是用同樣的資金購(gòu)買(mǎi)模仿股票 10元錢(qián)可以購(gòu)買(mǎi)元錢(qián)可以購(gòu)買(mǎi)100個(gè)模仿股票個(gè)模仿股票 股票

17、價(jià)格上升到10.5元時(shí)兩個(gè)方案的比較 股票價(jià)格下跌到9.5元時(shí)兩個(gè)方案的比較 期初投資凈收益投資收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元10.5-10=0.5元元100*（10.5-10-0.1）=40元元5%400%期初投資凈收益投資收益率方案一方案一方案二方案二10元元10元元9.5-10=-0.5元元100*（9.5-10-0.1）=60元元-5%-600%案例案例2-4 合成股票（合成股票（compound stock） 合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券多頭一個(gè)看跌期權(quán)的空頭、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券多頭Xe-r(T-t

18、) ,實(shí)際是模仿股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的合成實(shí)際是模仿股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的合成 目的：消除模擬股票與股票之間的差異目的：消除模擬股票與股票之間的差異則組合的最終價(jià)值為則組合的最終價(jià)值為 max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST期初價(jià)值應(yīng)相等：期初價(jià)值應(yīng)相等： St=Ct-pt+ Xe-r(T-t) 2.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零，而風(fēng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性險(xiǎn)資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性各種狀態(tài)的出現(xiàn)具各種狀態(tài)的出現(xiàn)具有一定的概率，故具有補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)的超額收益率。有一定的概率，故具有補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)的超

19、額收益率。 啟發(fā)：改變各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的啟發(fā)：改變各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率回報(bào)率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率超額收益率為超額收益率為0。 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改變了：在這個(gè)改變了概率概率的世界里，的世界里，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值?，F(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定由于風(fēng)險(xiǎn)中性，人們只關(guān)心收益不考慮風(fēng)險(xiǎn)由于風(fēng)險(xiǎn)中性，人們只關(guān)心收益不考慮

20、風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 案例案例2-2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，元，我們知道在我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于等于10%，

21、現(xiàn)在我們要找出一份，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。價(jià)值。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為為P，下跌的概率為，下跌的概率為1-P。（雖然有實(shí)際的概率，。（雖然有實(shí)際的概率，但可以不管），如果風(fēng)險(xiǎn)中性，則該股票無(wú)超額但可以不管），如果風(fēng)險(xiǎn)中性，則該股票無(wú)超額收益，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界的概率是收益，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界的概率是0.1 0.25(119(1)10,0.6266PP eP0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元n同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中

22、性的世界里，可以賦予期權(quán)價(jià)值同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，可以賦予期權(quán)價(jià)值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則期權(quán)的現(xiàn)值為期權(quán)的現(xiàn)值為n兩種方法求得結(jié)果是等價(jià)兩種方法求得結(jié)果是等價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)本質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)本質(zhì)上仍是無(wú)套利定價(jià)。上仍是無(wú)套利定價(jià)。比較兩種定價(jià)方法比較兩種定價(jià)方法 假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t，股，股票價(jià)格為票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是是f，期權(quán)的有效期是，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到股票價(jià)格或者上升到Su（u1）

23、，或者下降），或者下降到到Sd（1d0）。）。 當(dāng)股票價(jià)格上升到當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為益為fu，如果股票的價(jià)格下降到，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)時(shí)，期權(quán)的收益為的收益為fd。 SfuSufdSdf總結(jié)：無(wú)套利定價(jià)法的思路總結(jié)：無(wú)套利定價(jià)法的思路 首先，構(gòu)造由首先，構(gòu)造由股股票多頭和一個(gè)看漲期權(quán)股股票多頭和一個(gè)看漲期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的值。值。 (2.1)ududSufSdfffSuSd 令，則 如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值為值

24、為()()(1)(1)r T tr T tr T tudr T tudededfeffududePfP f（）（）()()()()r T tr T tudSufeSdfe 在無(wú)套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿(mǎn)足在無(wú)套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿(mǎn)足()()(2.2)r T tuSfSufe 將（將（2.1）代入（）代入（2.2）整理得到）整理得到()r T tedPud總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路 假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股，由于股票的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該票的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)

25、格，因此該概率可通過(guò)下式求得：股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得： ()(1)r T tSeSu PSdP()r TtedPud()(1)r T tudfePfP f 由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票上漲（下跌）的幅度和時(shí)間有關(guān)，而股票上漲（下跌）的幅度和時(shí)間有關(guān)，而不依賴(lài)于股票上漲的不依賴(lài)于股票上漲的實(shí)際概率實(shí)際概率。這完全違。這完全違反直覺(jué)！反直覺(jué)！ 期權(quán)的價(jià)值依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下期權(quán)的價(jià)值依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下跌），但未來(lái)上升和下跌的概率已經(jīng)包含跌），但未來(lái)上升和下跌的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià)格中！在股票的價(jià)格中！()(1)r T t

26、udfePfP f ()r T tedPud2.3 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù) 狀態(tài)價(jià)格的定義狀態(tài)價(jià)格的定義：指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回：指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為報(bào)為1，否則回報(bào)為，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)：狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)：如果未來(lái)時(shí)刻有如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，種狀態(tài)，而這而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況回報(bào)狀況以及以及市場(chǎng)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)。定價(jià)。 該方法

27、是無(wú)套利定價(jià)原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體該方法是無(wú)套利定價(jià)原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體運(yùn)用。運(yùn)用。 A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA，一年后其，一年后其價(jià)格要么上升到價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到，要么下降到dPA (d1+rf=RAu) 這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和）和下降狀態(tài)（概率是下降狀態(tài)（概率是1-q）(1)()(1)AAAAquPq dPE Rquq dP22()(1)()ARqq ud12() (1) ()ARqqud狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)的原理狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)的原理案例案例 2-5 1 1、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（

28、單位證券）。、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（單位證券）。基本證券基本證券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)，下跌時(shí)價(jià)值為價(jià)值為0；基本證券；基本證券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是u u，基本證券基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為在下跌時(shí)價(jià)值為1。基本證券?；咀C券2的價(jià)格是的價(jià)格是d d。 u和和d分別被稱(chēng)為上升狀態(tài)的價(jià)格和下降狀態(tài)分別被稱(chēng)為上升狀態(tài)的價(jià)格和下降狀態(tài)的價(jià)格的價(jià)格這兩個(gè)基本證券的特征是，它們可以用來(lái)復(fù)制這兩個(gè)基本證券的特征是，它們可以用來(lái)復(fù)制有風(fēng)險(xiǎn)的有風(fēng)險(xiǎn)的A證券證券 10u uq1-q01d dq1-qq1-quu

29、PA+ddPA1uPA0dPAuPA0uPA1dPAdPAuPAdPAPAq1-qn 2、由基本證券模擬證券、由基本證券模擬證券A。購(gòu)買(mǎi)購(gòu)買(mǎi)uPA份基本證券份基本證券1和和dPA份基本證券份基本證券2組成一個(gè)假想的組成一個(gè)假想的證券組合證券組合根據(jù)無(wú)套利假設(shè)根據(jù)無(wú)套利假設(shè) 由此可見(jiàn)，該組合在由此可見(jiàn)，該組合在T時(shí)刻無(wú)論發(fā)生什么情時(shí)刻無(wú)論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流，所一樣的現(xiàn)金流，所以組合是證券以組合是證券A的復(fù)制品。的復(fù)制品。 根據(jù)無(wú)套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對(duì)象的根據(jù)無(wú)套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對(duì)象的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該相等，即市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該相等，即 PA=uuPA+

30、ddPA 或者或者1 uu+dd （2.3） 3、證明：在、證明：在T時(shí)刻無(wú)論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各時(shí)刻無(wú)論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各1個(gè)單個(gè)單位位(uPA= dPA=1)基本證券構(gòu)成的組合的回報(bào)都是基本證券構(gòu)成的組合的回報(bào)都是1元。元。()()1r T tr T tudee 因此，該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，它只能獲得無(wú)因此，該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，它只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為風(fēng)險(xiǎn)收益率，若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，則，則（2.4）q1-q1u+1d1101101111tT()()11,r T tr T tuddeueudud所以由（所以由（2.3）和（）和（2.4）聯(lián)立得到）聯(lián)立得到 1=uu+dd()r T tud

31、e決定基本證券價(jià)格的實(shí)際上就是決定基本證券價(jià)格的實(shí)際上就是3個(gè)因素：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)個(gè)因素：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率利率r,金融工具價(jià)格上升的速度金融工具價(jià)格上升的速度u和其價(jià)格下降的和其價(jià)格下降的速度速度d，同其他的因素就沒(méi)有關(guān)系了，同其他的因素就沒(méi)有關(guān)系了 結(jié)論：結(jié)論： 只要有具備上述性質(zhì)的兩個(gè)基本證券存在，只要有具備上述性質(zhì)的兩個(gè)基本證券存在，我們就能夠通過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上我們就能夠通過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。的任何有價(jià)證券定價(jià)。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。 關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率q，雖依賴(lài)，雖依賴(lài)于人們作出的主觀判斷，但是人們于人們作出的主觀判斷，

32、但是人們對(duì)對(duì)q認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。無(wú)套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）無(wú)套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過(guò)程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。的過(guò)程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)有價(jià)證券的市場(chǎng)情況如下：假設(shè)有價(jià)證券的市場(chǎng)情況如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若，若另外有一個(gè)證券另外有一個(gè)證券B，其價(jià)格，其價(jià)格1年后可能上升年后可能上升為為103，也可能下降為，也可能下降為98.5元，求該證券的元，求該證券的合理價(jià)格。合理價(jià)格。 提示：先求基本證券提示：先求基本證券1和和2，由基本證券來(lái)

33、，由基本證券來(lái)復(fù)制證券復(fù)制證券B：uPB份的基本證券份的基本證券1和和dPB份的份的基本證券基本證券2。具體例子具體例子1：用基本證券：用基本證券1和和2來(lái)復(fù)制證券來(lái)復(fù)制證券B 假如有價(jià)證券假如有價(jià)證券A的市場(chǎng)情況如下：的市場(chǎng)情況如下：PA=100，r=2%，u=1.07, d=0.98，T-t=1, 可以求得：可以求得： 假設(shè)另一個(gè)證券假設(shè)另一個(gè)證券B，它在一年后的價(jià)格可能上升到，它在一年后的價(jià)格可能上升到103元，也可能下降到元，也可能下降到98.5元。那么，它當(dāng)前的價(jià)格應(yīng)該是元。那么，它當(dāng)前的價(jià)格應(yīng)該是 PB=uuPB+ddPB =0.4378103+98.50.5424=98.520.

34、020.021 0.981.0710.4378,0.54241.070.981.070.98udee()()11,r T tr T tuddeueudud具體例子具體例子2：用：用現(xiàn)實(shí)中現(xiàn)實(shí)中的證券的證券A和無(wú)風(fēng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)復(fù)制證券險(xiǎn)證券來(lái)復(fù)制證券B 復(fù)制過(guò)程：用復(fù)制過(guò)程：用份證券份證券A和當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)值為和當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)值為L(zhǎng)的無(wú)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)值為風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)值為I的組合，其成本是的組合，其成本是I=100+L 一年后，該組合無(wú)論市場(chǎng)價(jià)格上升還是下降，都一年后，該組合無(wú)論市場(chǎng)價(jià)格上升還是下降，都必須與證券必須與證券B的價(jià)格相同。于是有的價(jià)格相同。于是有 解得解得=0.5,L=48.

35、52 于是于是B現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)值是現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)值是I=100+L=1000.5+48.52=98.52()()107103,9898.5r T tr T tudILeILe 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)：兩期的情況狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)：兩期的情況求求B現(xiàn)在的均衡價(jià)格？現(xiàn)在的均衡價(jià)格？解出解出U=0.49，Lu=50.76, 因此有因此有PBU=107U+Lu=102.99對(duì)右下方的二叉樹(shù)，同理解出對(duì)右下方的二叉樹(shù)，同理解出d=0.51，Ld=48.62, 因此有因此有PBd=98d+Ld=98.500.020.02114.49107.67104.86102.97uuuueLeL 使用倒推法，先從使用倒推法，先從

36、B 的圖形中右上部分開(kāi)始。的圖形中右上部分開(kāi)始。在第在第1年末，假設(shè)市場(chǎng)處于上升狀態(tài)，此時(shí)用年末，假設(shè)市場(chǎng)處于上升狀態(tài)，此時(shí)用u份證券份證券A和和市場(chǎng)價(jià)值為市場(chǎng)價(jià)值為L(zhǎng)u的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)復(fù)制證券的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券來(lái)復(fù)制證券B的組合，見(jiàn)圖的組合，見(jiàn)圖2.5。 107114.49104.86107U+Lu104.86U+e0.02Lu114.49U+e0.02Lu 最后，我們用最后，我們用份證券份證券A和價(jià)值為和價(jià)值為L(zhǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的組合復(fù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的組合復(fù)制證券制證券B 同前例同理，解出同前例同理，解出=0.5,L=48.53,證券證券B的價(jià)值的價(jià)值PB=98.52 當(dāng)二叉樹(shù)模型由單期擴(kuò)展到二期（或以

37、上）時(shí)，需用動(dòng)態(tài)當(dāng)二叉樹(shù)模型由單期擴(kuò)展到二期（或以上）時(shí)，需用動(dòng)態(tài)無(wú)套利的方法來(lái)解釋這里涉及到的無(wú)套利的方法來(lái)解釋這里涉及到的“自融資自融資”問(wèn)題。在第問(wèn)題。在第一期期末時(shí)一期期末時(shí)和和L發(fā)生變化：原是（發(fā)生變化：原是（，L）=（0.5,48.53）,現(xiàn)在是（現(xiàn)在是（0.49，50.76）,但證券組合價(jià)值未改變，因?yàn)橛械C券組合價(jià)值未改變，因?yàn)橛?107+e0.02L= PBU（=103）=107U+Lu狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用 假設(shè)某股票符合前面提到的兩種市場(chǎng)狀態(tài)，假設(shè)某股票符合前面提到的兩種市場(chǎng)狀態(tài)，即期初價(jià)值是即期初價(jià)值是S0，期末價(jià)值是，期末價(jià)值

38、是S1 S1只可能取兩個(gè)值：只可能取兩個(gè)值： S1=Su=uS0,u1 S1= Sd=dS0,d1 求：以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的價(jià)求：以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？值是多少？ 構(gòu)造與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同的投資組合：構(gòu)造與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同的投資組合： 以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無(wú)風(fēng)（相當(dāng)于做空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股標(biāo)的股票股標(biāo)的股票 該組合成本為該組合成本為N S0-B 到了期末，該組合的價(jià)值到了期末，該組合的價(jià)值V是是N S1-RB，R是利率是利率 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于S1的兩種可

39、能，的兩種可能，V有兩個(gè)取值：有兩個(gè)取值： S1=Su,則則V=Vu= N Su-RB S1=Sd, 則則V=Vd= N Sd-RB。 令到期日組合的價(jià)值與看漲期權(quán)的價(jià)值相令到期日組合的價(jià)值與看漲期權(quán)的價(jià)值相同同 解得解得()()e,e.uur T tuddr T tdVNSBcVNSBc0()()()()/()()/(),()/()()()/()udududduududr T tddr T tudr T tNccSSccud SBS cS cSSeNScedcuceud 由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有即有N S0-B=c0,把把N和和B 代入

40、，得到看漲期代入，得到看漲期權(quán)的價(jià)值公式權(quán)的價(jià)值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。0()()/(),()/()ududr T tNccud SBdcuceud具體例子具體例子 假設(shè)一份看漲期權(quán)，到期日為假設(shè)一份看漲期權(quán)，到期日為1年，執(zhí)行價(jià)格年，執(zhí)行價(jià)格X是是112元；標(biāo)的股票當(dāng)前的價(jià)格是元；標(biāo)的股票當(dāng)前的價(jià)格是100元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（單元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（單利）是利）是8%。1年后，股票的價(jià)格或是上升到年后，股票的價(jià)格或是上升到180元，元，或是下降到或是下降到60元。元。 根據(jù)上述公式，得到：根據(jù)上述公式，得到： N=（68-0）/（180-60）=0.57（股）（股） B=（0.5760-0）e-0.08=31.57（元）（元） c0=NS0-B=0.57100-31.57=25.430()()()/()()/(),()()/()udududddr T tu