大學(xué)物理第八章課后習(xí)題答案

1、第八章電磁感應(yīng)電磁場8 -1 一根無限長平行直導(dǎo)線載有電流I ,一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運動(如圖所示)，則()(A)線圈中無感應(yīng)電流(B)線圈中感應(yīng)電流為順時針方向(C)線圈中感應(yīng)電流為逆時針方向(D)線圈中感應(yīng)電流方向無法確定分析與解 由右手定則可以判斷， 在矩形線圈附近磁場垂直紙面朝里，磁場 是非均勻場，距離長直載流導(dǎo)線越遠， 磁場越弱.因而當(dāng)矩形線圈朝下運動 時，在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流方向由法拉第電磁感應(yīng)定律可以判定.因而正確答案為(B).8-2 將形狀完全相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止放置在交變磁場中，并假設(shè)通過兩環(huán)面的磁通量隨時間的變化率相等，不計自感時

2、則()(A)銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中無感應(yīng)電流(B)銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中有感應(yīng)電流(C)銅環(huán)中感應(yīng)電動勢大，木環(huán)中感應(yīng)電動勢小(D)銅環(huán)中感應(yīng)電動勢小，木環(huán)中感應(yīng)電動勢大分析與解 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感應(yīng)電場大小相等，但在木環(huán)中不會形成電流.因而正確答案為(A).83 有兩個線圈，線圈1對線圈2的互感系數(shù)為Mi ,而線圈2對線圈1的互感系數(shù)為M2 .若它們分別流過ii和i2的變化電流且di1di2由i 2變化在線圈1中產(chǎn)生的互感電動勢為dtdt£12，由i 1變化在線圈2中產(chǎn)生的互感電動勢為£ 21 ,下述論斷正確的是()(A) M12M21,2112

3、(B) M12M21,2112(C) M 12 M 21 ,2112(D) M12M21,2112分析與解教材中已經(jīng)證明M21 = M12 ,電磁感應(yīng)定律物M 21di1dt.di22 M12 .因而正確答案為(D) . dt84對位移電流，下述四種說法中哪一種說法是正確的是()(A)位移電流的實質(zhì)是變化的電場(B)位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運動的電荷(C)位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有定律(D)位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理分析與解位移電流的實質(zhì)是變化的電場.變化的電場激發(fā)磁場， 在這一點位移電流等效于傳導(dǎo)電流，但是位移電流不是走向運動的電荷，也就不服從焦耳熱效應(yīng)、安培力等定律.因而正

4、確答案為(A).85下列概念正確的是()(A) 感應(yīng)電場是保守場(B)感應(yīng)電場的電場線是一組閉合曲線(C)m LI ,因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比(D)m LI ,回路的磁通量越大，回路的自感系數(shù)也一定大分析與解 對照感應(yīng)電場的性質(zhì)，感應(yīng)電場的電場線是一組閉合曲線.因而正確答案為(B) .86 一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時間的關(guān)系為 8.0 105sin100疝 Wb，求在t 1.0 102 s時，線圈中的感應(yīng)電動 勢.分析 由于線圈有N匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動勢等于各匝回路的感應(yīng) 電動勢的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成“ 一 d dE N，其中W

5、 N稱為磁鏈.dtdt解線圈中總的感應(yīng)電動勢d當(dāng) t 1.0 102 s 時,N2.51 cos 100 7tt dt七 2.51 V .8-7 有兩根相距為d的無限長平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以電dt的變化率增長.若有一邊長為 d的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示.求線圈中的感應(yīng)電動勢.一一 ，一 d分析 本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)7E律己 來求解.由于回路處在非dt均勻磁場中，磁通量就需用 B dS來計算（其中B為兩無限長直電流S單獨存在時產(chǎn)生的磁感強度 B與B2之和）.為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系.由于B僅與x有關(guān)，即B B（x）, 故取一個平行

6、于長直導(dǎo)線的寬為dx、長為d的面元d S,如圖中陰影部分所示，則dS ddx ,所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元dS dxdy ,則上述積分實際上為二重積分）.本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可一 .dl用公式EmM求解.dt解1穿過面元d S的磁通量為d B dS B1ds B2 dS 0Iddx -ddx2 Ttx d 2 水因此穿過線圈的磁通量為 ze 2d /2d Idd3 d dx dx In d 2 u x dd2 欣2 冗4再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有匚 d由d 3 dIE -ln dt 2 冗 4 dt解2當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流I通過時，穿過線圈的磁通量為311nB2冗 4

7、線圈與兩長直導(dǎo)線間的互感為M 氯3M - 1n I2冗 4當(dāng)電流以 電變化時，線圈中的互感電動勢為dt匚 dI由d 3 dIE M 1n-dt 2 冗 4 dt試想：如線圈又以速率v沿水平向右運動，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動勢呢此時線圈中既有動生電動勢，又有感生電動勢.設(shè)時刻t,線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為乙，則穿過回路的磁通量B dSf1,己，它表現(xiàn)為變量I和W的二元函數(shù)，將中代入Sd dE一E即可求解，求解時應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中 v ,再dtdt令E = d即可求得圖示位置處回路中的總電動勢.最終結(jié)果為兩項，其中一項為動生電動勢，另一項為感生電動勢.88 有一測量磁感

8、強度的線圈， 其截面積S =4.0 cm2、匝數(shù)N =160匝、 電阻R =500.線圈與一內(nèi)阻R= 30的沖擊電流計相連.若開始時，線圈 的平面與均勻磁場的磁感強度 B相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B的方向平行.此時從沖擊電流計中測得電荷值q 4.0 105c.問此均勻磁場的磁感強度B的值為多少分析 在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流與磁通量變 化的快慢有關(guān)，而在一段時間內(nèi)，通過導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化 的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無關(guān).工程中常通過感應(yīng)電量的測定來確定磁場的強弱.解 在線圈轉(zhuǎn)過90角時，通過線圈平面磁通量的變化量為 2因此，流過導(dǎo)體截面的電量為

9、 q明 NBS 0 NBS NBSR R R R89如圖所示，一長直導(dǎo)線中通有I =5.0 A 的電流，在距導(dǎo)線9.0 cm 處，放一面積為0.10 cm , 10匝的小圓線圈，線圈中的磁場可看作是均勻 的.今在 x 10 2 s內(nèi)把此線圈移至距長直導(dǎo)線 10.0 cm處.求：（1） 線 圈中平均感應(yīng)電動勢；（2）設(shè)線圈的電阻為X 10 2Q,求通過線圈橫截面 的感應(yīng)電荷.一片M HI分析 雖然線圈處于非均勻磁場中，但由于線圈的面積很小， 可近似認(rèn)為穿過線圈平面的磁場是均勻的，因而可近似用W NBS來計算線圈在始、末兩個位置的磁鏈.解 （1）在始、末狀態(tài)，通過線圈的磁鏈分別為 NB S N -

10、Is NB S N MS 電 NBS, ip2 NB2s2 71rl2 <2則線圈中的平均感應(yīng)電動勢為目國 NjlS 1 1 i.ii 108VI At |2tt A r1 r2電動勢的指向為順時針方向.（2）通過線圈導(dǎo)線橫截面的感應(yīng)電荷為E 竺dt810 如圖（a）所示，把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線 OP置于磁感強度為 B的均勻磁場中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v水平向右平動時，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動勢 E的大小，哪一端電勢較高K H N分析本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢,除仍可由Eddt解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個閉合回路），還可直接用公式E lvB dl解.在用后一種方法求解時，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元d

11、上的動生電動勢dE v B dl .在一般情況下，上述各量可能是d所在位置的函數(shù).量（v xB）的方向就是導(dǎo)線中電勢升高的方向.解1如圖（b）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP在寬為2R的靜止形導(dǎo)軌上滑動,兩者之間形成一個閉合回路.設(shè)順時針方向為回路正向， 任一時刻端點O或端點P距形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x,則Ci 1-2 2Rx 成 B2E dOdt由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動勢為零,2RBdx 2RvB dt則 E = - 2RvB.式中負(fù)號表不'電動勢的方向為逆時針，對 OP段來說端點P的電勢較高.解2建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元dl ,則dE v B dl vBsin 900

12、 cos 卸 vBcos 0Rd 0Tt /2E dE vBR "gos 的 8 2RvB由矢量（v x B）的指向可知，端點 P的電勢較高.解3連接OP使導(dǎo)線構(gòu)成一個閉合回路.由于磁場是均勻的，在任意時刻，穿過回路的磁通量 BS 常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律 E 空 可知, dtE = 0又因Eop =巳。=2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導(dǎo)體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動生電動勢.上述求解方法是疊加思想的逆運用，即補償?shù)姆椒?811長為L的銅棒，以距端點r處為支點，以角速率 繞通過支點且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動

13、.設(shè)磁感強度為B的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢 差.分析應(yīng)該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同.在開路時，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）.本題可直接用積分法求解棒上的電動勢，亦可以將整個棒的電動勢看作是OA棒與OB棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（b）所示.而EOA和EOB則解1如圖（a）所示，在棒上距點O為l處取導(dǎo)體元d l ,L-rEab v BAB AB因此棒兩端的電勢差為dlNBdl1MB L22rU ABEab2r可以直接利用第8-2節(jié)例1給出的結(jié)果.當(dāng)L >2r時，端點

14、A處的電勢較高 解2 將AB棒上的電動勢看作是 OA棒和OB棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（b ） 所示.其中Eoa| 2B32, EobEABEOAEOB1 , wBL L22r812如圖所示，長為L的導(dǎo)體棒OP處于均勻磁場中，并繞OO軸以角 速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為 e,磁感強度b與轉(zhuǎn)軸平行.求op棒在 圖示位置處的電動勢.一 ., r 一一 d 分析 如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律Ed 計算（此dt時必須構(gòu)造一個包含O陽體在內(nèi)的閉合回路，如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO,也可用E l v B dl來計算.由于對稱性，導(dǎo)體 OP旋轉(zhuǎn)至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的.解1由上分

15、析，得Eopv B dl0P OPvBsin900 cos odllIls由cos9008dl2 L12Bsin 0 ldl 一B Lsin 802由矢量v B的方向可知端點P的電勢較高.解2設(shè)想導(dǎo)體OP為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO的一部分，任一時刻穿過回路的磁通量 為零，則回路的總電動勢顯然，Eao = 0,所以EOP 0 dtEPQEOP EPQ EQO_1r - 2Eqo wB PQ2由上可知，導(dǎo)體棒OP旋轉(zhuǎn)時，在單位時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP等效.后者是垂直切割的情況.813 如圖（a）所示，金屬桿 AB以勻速v 2.0m s 1平行于一長直導(dǎo)線移動，此導(dǎo)線通有電流I =40A.

16、求桿中的感應(yīng)電動勢，桿的哪一端電勢較高(b)分析本題可用兩種方法求解.（1）用公式ElV Bdl求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元dldx,該處的磁感強度B 丹.(2)2 Tix用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個包含桿AB在內(nèi)的閉合回路.為此可設(shè)想桿ABE一個靜止的形導(dǎo)軌上滑動，如圖（b ）所示.設(shè)時刻t ,桿AB距導(dǎo)軌下端CD勺距離為v、先用公式 B dS求得穿過該回路的磁通量,S再代入公式E 吧，即可求得回路的電動勢，亦即本題桿中的電動勢. dt解1根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動勢為1.1m “, Iv5Eab v B dl dxl0-vdx-ln 113,84 10 5 VAB0,1

17、m 2 Tx2 冗式中負(fù)號表示電動勢方向由 B指向A,故點A電勢較高.解2設(shè)順時針方向為回路 ABCD的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x處，取寬為d X、長為y的面元d S,則穿過面元的磁通量為d B dS Mydx2Tx穿過回路的磁通量為回路的電動勢為Sd1.1m0.1mydx 2水4y ln 112E 睫 .m11或3,84 10 5 Vdt2 Txdt 2 冗由于靜止的形導(dǎo)軌上電動勢為零，所以Eab E 3.84 10 5 V式中負(fù)號說明回路電動勢方向為逆時針，又AB導(dǎo)體來說，電動勢方向應(yīng)由B 指向A,故點A電勢較高.8-14如圖（a）所示，在“無限長”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個矩形導(dǎo)體線框

18、，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率 v向右移動，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動勢的大小和方向.-14 R）分析 本題亦可用兩種方法求解.其中應(yīng)注意下列兩點：1.當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場中運動時，線框中的總電動勢就等于框上各段導(dǎo)體中的動生電動勢的代數(shù)和.如圖（a）所示，導(dǎo)體 eh段和fg段上的電動勢為零此兩段導(dǎo)體上處處滿足 v B dl 0,因而線框中的總電動勢為E v B dl v B dl v B dl v B dl Eef Ehq efghefhgef hg其等效電路如圖（b）所示.2 .用公式e 處 求解，式中中是線框運動至任意位置處時，穿過線框 dt的磁通量.為此設(shè)時刻t時，線框左邊距導(dǎo)線

19、的距離為E ,如圖（c）所示，顯然七是時間t的函數(shù)，且有 小 v .在求得線框在任意位置處的電動勢Edt（E）后，再令 七=d,即可得線框在題目所給位置處的電動勢.解1根據(jù)分析，線框中的電動勢為E Eef Ehgv B dl v B dl efhg生 12dl的Ivl2dl27d 02 Ttd l10 Ivl lI 2 2 7td l1由Ef >E.g可知，線框中的電動勢方向為efgh .解2設(shè)順時針方向為線框回路的正向.根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線 框的磁通量為不 l1 別2 ,M0I1 2 .2 l1dx 1n0 2 Ttx 士 2 Ttx 士 士 相應(yīng)電動勢為匚 丫d MoI V

20、I2I1E 匕 dt 2 琮 士 11令E = d,得線框在圖示位置處的電動勢為E%I VI2I12 71dd 11 由E >0可知，線框中電動勢方向為順時針方向.*8 -15有一長為1 ,寬為b的矩形導(dǎo)線框架，其質(zhì)量為mi電阻為R在 t =0時，框架從距水平面y =0的上方h處由靜止自由下落，如圖所示.磁 場的分布為：在y =0的水平面上方?jīng)]有磁場； 在y =0的水平面下方有磁 感強度為B的均勻磁場，B的方向垂直紙面向里.已知框架在時刻t1和t2的 位置如圖中所示.求在下述時間內(nèi)，框架的速度與時間的關(guān)系：（1） t1 >t >0,即框架進入磁場前；（2） t2 >t

21、>t1 ,即框架進入磁 場， 但尚未全部進入磁場；（3） t >t2 ,即框架全部進入磁場后.t2時刻）的瞬間,分析 設(shè)線框剛進入磁場（ti時刻）和全部進入磁場（ 其速度分別為V10和V20 .在情況（1）和（3）中，線框中無感應(yīng)電流，線框僅在重力作用下作落體運動，其速度與時間的關(guān)系分別為v=gt （t vti） 和V = V20 + g （t t 2 ） （ t >t 2 ）.而在t ivt V t 2這段時間內(nèi)，線框運動較為復(fù)雜，由于穿過線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應(yīng)電流存在,從而使線框除受重力外，還受到一個向上的安培力Fa ,其大小與速度有關(guān), 即Fa Fa（v

22、）.根據(jù)牛頓運動定律，此時線框的運動微分方程為mg Fa v mdv,解此微分方程可得ti<t<t2時間內(nèi)線框的速度與時 dt間的關(guān)系式.解 （1）根據(jù)分析，在t ti時間內(nèi)，線框為自由落體運動，于是Vi gt t ti 其中 t ti 時，Vi V10 J2gh（2）線框進入磁場后，受到向上的安培力為Fa IlB根據(jù)牛頓運動定律，可得線框運動的微分方程B2l2mg Kvdv mdt“ B2l2令K ，整理上式并分離變量積分,mR積分后將viodvg Kvtdtti，2gh代入，可得V2 g g K 2gh e K t t1K(3)線框全部進入磁場后(t >t2),作初速為v

23、20的落體運動，故有1 K h t.v3 v20 g t t2g g K . 2gheg t t2KdB816 有一磁感強度為B的均勻磁場，以恒te的變化率 在變化.把一 dt塊質(zhì)量為m的銅，拉成截面半徑為的導(dǎo)線，并用它做成一個半徑為 R的圓形回路.圓形回路的平面與磁感強度 B垂直.試證：這回路中的感應(yīng)電流為m dB I4 冗 pd dt式中p為銅的電阻率，d為銅的密度.解 圓形回路導(dǎo)線長為 2冗R,導(dǎo)線截面積為 <2,其電阻R'為_ l 2RR p p-2-S r2在均勻磁場中，穿過該回路的磁通量為 BS,由法拉第電磁感應(yīng)定律可得回路中的感應(yīng)電流為一_ 2_,E1d1-2 dB

24、TRr dBI 欣RRdtRdt2 p dt而m d2求42,即 成產(chǎn) ，代入上式可得2 Tidm dB4 冗 pd dt817半徑為R= 2.0 cm的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零.若通電電流均勻變化，使得磁感強度B隨dB時間的變化率dB為常量，且為正值，試求：（1）管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)dtdB的感生電場分布；（2）如 0.010T s 1 ,求距螺線管中心軸r =5. 0 dtcm處感生電場的大小和方向.題X - 17圖分析 變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源一一dB一變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率dB等）密切相

25、關(guān)，dt即 Ekdl dS.在一般情況下，求解感生電場的分布是困難的但S kS t對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進行求解.可以設(shè)想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示.由其激發(fā)的感生電場也一定有相應(yīng)的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓.同一圓周上各點的電場強度 R的大小相等，方向沿圓周的切線方向.圖中虛線表示r川口r >R兩個區(qū)域的電場線.電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng) dB 0時，電場線繞向與B方向滿足右螺旋 dt關(guān)系；當(dāng)dB 0時，電場線繞向與前者相反.

26、 dt解 如圖所示，分另J在r vR和r >R的兩個區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路l （半徑為r,依照右手定則，不妨設(shè)順時針方向為回路正向.d .9 dB(1) r <R,E Ek dl Ek 2 71r B dS Tr2d-ldtdtr dB2 dtd .2dBr >R,E Ek dl Ek 2 7r B dStR dBldtdtR2 dB2r dt由于dB 0 ,故電場線的繞向為逆時針. dt（2）由于r >R,所求點在螺線管外，因此R2dB2r dtdB 將r、R、dB的數(shù)值代入，可得Ekdt5 一一 1.4.0 10 V m ,式中負(fù)號表示&的方向是逆時針

27、的.B的方向與柱的軸線818在半彳至為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場, 平行.如圖（a）所示，有一長為l的金屬棒放在磁場中，設(shè) B隨時間的變 化率dB為常量.試證：棒上感應(yīng)電動勢的大小為dt分析 變化磁場在其周圍激發(fā)感生電場，把導(dǎo)體置于感生電場中， 導(dǎo)體中的自由電子就會在電場力的作用下移動，在棒內(nèi)兩端形成正負(fù)電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動勢. 由于本題的感生電場分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結(jié)果，由EEk dl計算棒上感生電動勢.此外，還可連接OPi kOQ設(shè)想PQOP勾成一個閉合導(dǎo)體回路，用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，由于OP OQ沿半徑方向，與通過該處的感生電場強度Ek處處垂直，故Ek

28、 dl 0, OP OQ兩段均無電動勢，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合回路的總電動勢，就是導(dǎo)體棒PQ上的電動勢.證1由法拉第電磁感應(yīng)定律，有cdB dB l . o lSRr dB2 dtdt dt 2 ,2證2 由題8 17可知，在r vR區(qū)域，感生電場強度的大小 Ek設(shè)PQ上線元d x處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿 PQ上的電動勢為討論Epq Ek dxEk cos 0dxlrdB R2l/22dx02 dt rdB l dt 2R2l/2假如金屬棒PQ有一段在圓外，則圓外一段導(dǎo)體上有無電動勢該如何求解 8-19截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（a）所示,共有N

29、匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L.即X - 19 I刊分析 如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量.求自感 L的方法有兩種：1.設(shè)有電流I通過線圈，計算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式L 里計算L. 2.讓回路中通I以變化率已知的電流，測出回路中的感應(yīng)電動勢El ,由公式L算L.式中El和d都較容易通過實驗測定，所以此方法一般適合于工程 dt中.此外，還可通過計算能量的方法求解.解 用方法1求解，設(shè)有電流I通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（b）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R vr vR范圍內(nèi)的磁場分布為R前NIB2 x由于線圈由N匝相同的

30、回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為2._ m r2 0NI.的N hl R2巾 N B dS N hdx ln 2SR1 2 Tx2冗 R則2山為N h R2lin I 2 R若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導(dǎo)率為口，則自感將增大 5倍820如圖所示，螺線管的管心是兩個套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S和S2 ,磁導(dǎo)率分別為in和科2 ,管長為l ,匝數(shù)為N,求螺線管的 自感.(設(shè)管的截面很小)分析 本題求解時應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響.在無介質(zhì)時，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻的，磁感強度為B),由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強度分別為 陰Bo和W2B).通過線圈橫截面的總磁通量是

31、截面積 分別為S和S2的兩部分磁通量之和.由自感的定義可解得結(jié)果.解 設(shè)有電流I通過螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強度分別為B1nl通過N匝回路的磁鏈為N . o“LI，B2甲里里 NB1s NB2S2則自感,WN2 ccLLiL2一 的Sim2 s2I l8-21有兩根半徑均為a的平行長直導(dǎo)線，它們中心距離為d.試求長為l的一對導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計）分析兩平行長直導(dǎo)線可以看成無限長但寬為d的矩形回路的一部分.設(shè)在矩形回路中通有逆時針方向電流I ,然后計算圖中陰影部分 （寬為d、長為l）的磁通量.該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加.由1解 在如圖所

32、示的坐標(biāo)中， 當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流 I時，兩平行導(dǎo)線間 的磁感強度為由127r2 7td r穿過圖中陰影部分的磁通量為d a©Ida B dS Bldr InSa冗 a則長為l的一對導(dǎo)線的自感為 d aL lnI 冗 a如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導(dǎo)線的自感為L L1 2L2. L1稱為外自感，即本題已求出的 L, L2稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感.長為 l的導(dǎo)線的內(nèi)自感L2 型，有興趣的讀者可自行求解. 8822 如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈AB和A' B',每個線圈的自感均為L,求：（1） A和A'相接時，B和B'間的自感Li;（2）A

33、'和B相接時，A和B'間的自感L2 .分析 無論線圈AB和A' B'作哪種方式連接，均可看成一個大線圈回路的兩個部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解.求解過程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨存在時穿過自身回路的磁通量為，則穿過兩線圈回路的磁通量為 2；而當(dāng)兩組線圈按（1）或（2）方式連接后， 則穿過大線圈回路的總磁通量為 2±2，" 土”取決于電流在兩組線圈 中的流向是相同或是相反.解 （1）當(dāng)A和A'連接時，AB和A' B'線圈中電流流向相反，通過回路 的磁通量亦相反，故總通量為 12 2 0,（2）當(dāng)

34、A'和B連接時，AB和A' B'線圈中電流流向相同， 通過回路的磁 通量亦相同，故總通量為02 2 2 4，故 L2 池 4 士 4L. I I本題結(jié)果在工程實際中有實用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個無自感的線圈.2823 如圖所不，一面積為 4.0 cm共50匝的小圓形線圈A,放在半徑為20 cm共100匝的大圓形線圈B的正中央，此兩線圈同心且同平面.設(shè)線圈A內(nèi)各點的磁感強度可看作是相同的.求：（1）兩線圈的互感；（2）當(dāng)線圈B中電流的變化率為一50 A s T時，線圈A中感應(yīng)電動勢的大小和 方向.潁X -23 1冬分析 設(shè)回路I中通有電流11 ,穿過回路

35、n的磁通量為 中21 ,則互感M =M1 =中21|1 ；也可設(shè)回路H通有電流 I2 ,穿過回路I的磁通量為 中12 ,則M M1222I2雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計算難易程度會有很大的不同.以本題為例，如設(shè)線圈B中有電流I通過，則在線圈A中心處的磁感強度很易求得，由于線圈A很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈 A的磁通量中"BS.反之，如設(shè)線圈A通有電流I ,其周圍的磁場分布是變化的，且難以計算，因而穿過線圈B的磁通量也就很難求得，由此可見，計算互感一定要善于選擇方便的途徑.解（1）設(shè)線圈B有電流I通過，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強度 B0 N

36、BH2R穿過小線圈A的磁鏈近似為Wa NaBoSa NaNb ©Sa 2R 則兩線圈的互感為M 2 NaNb -SA 6.28 10 6 H I2R EaMd_ 3.14 10 4 Vdt互感電動勢的方向和線圈 B中的電流方向相同.824 如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C的半徑分別為R和r,兩線圈相距 為d.若r很小，可認(rèn)為線圈A在線圈C處所產(chǎn)生的磁場是均勻的. 求兩線圈 的互感.若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感又為多少解 設(shè)線圈A中有電流I通過，它在線圈C所包圍的平面內(nèi)各點產(chǎn)生的磁感強度近似為由舊22 R2d23/2穿過線圈C的磁通為巾BScR222 3/22 R2d2則兩線圈的互感為2

37、2的M R2222 R2 d2若線圈C的匝數(shù)為N匝，則互感為上述值的 N倍.825如圖所示，螺繞環(huán) A中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積 S為2.0 cm 2沿環(huán)每厘米繞有100匝線圈，通有電流Ii = X10 -2A,在環(huán)上再繞一線圈C,共10匝，其電阻為 Q,今將開關(guān)S 突然開啟，測得線圈C中的感應(yīng)電 荷為X 10 3 C.求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流I i時，鐵磁質(zhì)中的B和鐵磁質(zhì)的 相對磁導(dǎo)率g.分析本題與題8-8相似，均是利用沖擊電流計測量電磁感應(yīng)現(xiàn)象中通過回路的電荷的方法來計算磁場的磁感強度.線圈C的磁通變化是與環(huán)形螺 線管中的電流變化相聯(lián)系的.解 當(dāng)螺繞環(huán)中通以電流Ii時，在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的磁感強度則

38、通過線圈C的磁鏈為Wc N2BS N2 1.0 件 niI 1s設(shè)斷開電源過程中，通過 C的感應(yīng)電荷為qc ,則有1Al 1c IN2 為4n1I 1sqc A “ 0 ”RRR由此得B o （+ n111-0.10 TN2s相對磁導(dǎo)率蚌Rqj 199N 2S Mon1I 1826 一個直徑為0.01 m ,長為0.10 m 的長直密繞螺線管，共 1 000匝線圈，總電阻為 .求：（1）如把線圈接到電動勢 E = V的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所儲存的磁能有多少磁能密度是多少* （2）從接通電路時算起，要使線圈儲存磁能為最大儲存磁能的一半，需經(jīng)過多少時間分析 單一載流回路所具有的磁能，通?？捎脙煞N方法計算：（1）如回路自感為L （已知或很容易求得），則該回路通有電流I時所儲存的磁能.1 , , 2Wm -LI ,通常稱為自感磁能.（2）由于載流回路可在空間激發(fā)磁場，2磁能實際是儲存于磁場之中，因而載流回路所具有的能量又可看作磁場能 量，即 Wm vWmdV ,式中Wm為磁場能量密度，積分遍及磁場存在的空B2間.由于Wm因而米用這種方法時應(yīng)首先求載流回路在空間產(chǎn)生的2 （1磁感弓II度B的分布.上述兩種方法還為我們提供了計算自感的另一種途徑,12即運用LIy