第一節(jié) 矩陣的概念與運算

1、第二章第二章 矩陣矩陣第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的概念與運算矩陣的概念與運算 矩陣概念的引入矩陣概念的引入 矩陣的定義矩陣的定義 幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣 矩陣的運算矩陣的運算 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 1. 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1;, 2 , 1njmiaij 系數(shù)系數(shù) mibi, 2 , 1 常數(shù)項常數(shù)項一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入 mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211對線性方程組的對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究這張表的研

2、究. .線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之間開辟了若干航線城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的航班圖航班圖,如果從如果從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來表示四城市間的航班圖情況常用表格來表示: :發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班. .為了便于計算為了便于計算, ,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一個數(shù)表就得到一個數(shù)表: :1

3、111111000000000這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況. .ABCDABCD二、矩陣的定義二、矩陣的定義 由由 個數(shù)個數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為m行行n列矩陣列矩陣. .簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm 記作記作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡記為簡記為 .ijnmijnmaaAA .的的元元素素個個數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 主對角線主對角線副對角線副對角線例如例如 34695301是一個是一個 矩

4、陣矩陣, ,42 421是一個是一個 矩陣矩陣, ,13 9532是一個是一個 矩陣矩陣, ,41 4是一個是一個 矩陣矩陣. .11 例如例如 2222222613是一個是一個3 階方陣階方陣. .三、幾種特殊矩陣三、幾種特殊矩陣2. 2. 只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或或行向量行向量) ). .1.1.行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).). 稱為稱為對角對角矩陣矩陣( (或或?qū)顷噷?/p>

5、角陣）. . n 000000213.形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0記作記作 .,21ndiagA 時，時，特別地當特別地當), 2 , 1(0nii 100010001nEE稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）. .OO全為全為1 4. 元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的. .例如例如5. ，即，即時，時，階方陣，如果當階方陣，如果當為為), 2 , 1,(0)(njiajinaAijij

6、nnnnaaaaaaA22211211階上三角矩陣；階上三角矩陣；為為則稱則稱nA.陣陣類似地可定義下三角矩類似地可定義下三角矩思考思考矩陣與行列式的有何區(qū)別矩陣與行列式的有何區(qū)別? ?思考解答思考解答 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個矩陣僅僅是一個數(shù)表數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同. .1、矩陣的相等矩陣的相等四、矩陣的運算四、矩陣的運算兩個矩陣的行數(shù)相等兩個矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時列數(shù)相等時, ,稱為稱為同型矩陣同型矩陣.

7、 兩個矩陣兩個矩陣 為同型矩陣為同型矩陣, ,并且對應(yīng)并且對應(yīng)元素相等元素相等, ,即即 ijijbBaA 與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等, ,記作記作BA與與.BA mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個設(shè)有兩個 矩陣矩陣 那么矩陣那么矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 只有行列相同只有行列相同的同型矩陣才的同型矩陣才可以相加可以相加2、矩陣的加法矩陣的加法例如例如，1235189190654368321 121

8、385916950433628113114744689矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律: : ;1ABBA .2CBACBA 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 3、數(shù)與矩陣相乘、數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線線性運算性運算. .（設(shè)設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)為數(shù)） ,nm BA、.)1(B-A.,BABA 為為的的差差若若我我們

9、們定定義義兩兩個個矩矩陣陣為為同同型型矩矩陣陣設(shè)設(shè) skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 4、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘設(shè)設(shè) 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，矩陣，那那末規(guī)定矩陣末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB 三點說明三點說明: :(1) 兩個矩陣可乘的條件為：兩個矩陣可乘的條件為：左邊矩陣左邊矩陣A的列數(shù)的列數(shù)= =右邊矩陣右邊矩陣B的行數(shù)的行數(shù). .(2) 乘積矩陣乘積矩陣A

10、B的行數(shù)的行數(shù)=第一個矩陣第一個矩陣A的行數(shù)；的行數(shù)； AB的列數(shù)等于第二個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣B的列數(shù)的列數(shù).)3(列的對應(yīng)元素乘積的和列的對應(yīng)元素乘積的和的第的第行元素與行元素與的第的第列的元素列的元素行第行第的第的第的乘積的乘積與與jBiAcjiCBAij 例例222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣只有當

11、第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘. . 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. .矩陣乘法的運算規(guī)律矩陣乘法的運算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中其中 為數(shù)為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣階矩陣，則則 為為A的的 次冪次冪，即即 并且并且 5nkAk 個個kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)km,例例3 設(shè)設(shè) 2002,1111,1111CBA.,BAACAB及及求求 2222解：解： 11111111

12、AB 20021111AC 2222 11111111BA 00001.1.在一般情況下在一般情況下, ,ABBA, ,這說明矩陣的乘法不滿足交換律這說明矩陣的乘法不滿足交換律. .該例說明該例說明: :2.2.由由AB=AC不能得出不能得出B=C的的結(jié)論結(jié)論, ,矩陣的乘法還不滿足消去律矩陣的乘法還不滿足消去律.3.3.由由AB=O, ,也不能得出也不能得出A=O或或B=O的結(jié)論的結(jié)論 定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618

13、TB5、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 注：注：性質(zhì)性質(zhì)（2）和和（4）可推廣到有限個矩陣的情形可推廣到有限個矩陣的情形. .例例4 4: :設(shè)矩陣設(shè)矩陣 AB171201,423 ,132201 AB171201423132201 求求 TAB解法一：解法一： 0143,171310 TAB 014.3 171310 解法二：解法二： TTTABB A0171413 ,310 142720131 210312 (AB)TATBTTTA B 142720 ,131 210312 不能相乘不能相乘所以一般情況下有所以一般情況下有: :2、對稱矩陣、對稱矩陣定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即即那么那么 稱為稱為對稱陣對稱陣. .AnTAA n,j , iaajiij21 A.6010861612為對稱陣為對稱陣例如例如 A.稱稱為為反反對對稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等. .說明說明 032301210如如對稱矩陣關(guān)于對稱矩陣關(guān)于什么對稱呀什么對稱呀T例5 設(shè)A,B為n階方陣,且A是對稱矩陣,證明:B AB也是對稱矩陣)22TTAAA例6 任何一個n階方陣都可以表示成一個對稱矩陣與反對稱