D15函數(shù)的極限、無窮小無窮大、極限運算法則-hwppt課件

1、 主要討論:在自變量的某一變化過程中,函數(shù)是否與一常數(shù)無限接近,即形如： ;)(lim0Axfxx.)(limAxfx函數(shù)的極限函數(shù)的極限 第三節(jié)第三節(jié) 第一章 本節(jié)內(nèi)容：定義與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容：定義與性質(zhì)一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限, )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限0lim( )xxf xAx0 x1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義 引例引例. 描述

2、性定義粗略地）：描述性定義粗略地）：設(shè)函數(shù)在設(shè)函數(shù)在 附近去心有定義：當附近去心有定義：當 無限接近于無限接近于 時時 的值無限接近于一個常數(shù)的值無限接近于一個常數(shù) ，稱，稱 為為 當當 時的極限。時的極限。 212322(1)lim(2)limsin4(3)lim2xxxxxxx0 x( )f x0 xxAA( )f x定義定義1 . 1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0 x)(xf在點0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當即,0,0當),(0 xUx時, 有假設(shè)記作 Axf)(

3、Axfxx)(lim0極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2) 這表明: AA幾何解釋幾何解釋:OAx0 xy)(xfy 0 x例例1. 1. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當00 xx時 , 0CC因而CCxx0lim總有例例2. 2. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當10 x時, 必有2112xx因而211lim21xxx1 x例例3. 3. 證明證明11,2xx02x2( )212 31f xxx21lim(21)1xx證證:Axf)(2(21) 1x221x（分析：欲使,0取,6則當10 x時,

4、必有2( )(21) 1f xAx因而,)( Axf只要21,2x21lim(21)1xx即 ）不妨令 ，要使得只要 即可，16x練習練習. . 證明證明: : 當當00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因而,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時00 xxxx故取,min00 xx則當00 xx時,00 xxx保證 .必有Ox0 xx2. 保號性定理保號性定理定理定理1 . 假設(shè)假設(shè),)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當xUx. 0)(xf)0)(xf證證: 知知,)(lim0Axfxx即,0,

5、),(0 xU當時, 有.)(AxfA當 A 0 時, 取正數(shù),A則在對應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ,000 xx一切滿足的 x , 總有稱函數(shù))(xf當0 xx 時為無窮大。 ，使對，使對0lim( )xxf x Mxf)(類似可定義類似可定義)(lim)(0 xfxxx0()( lim( )xxxf x )(Xx )(x(lim( ).xf x (正數(shù)正數(shù) X ) ,( ( ),f xM 總存在注意注意: :1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 ! （P42. Ex 6）例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,c

6、os)(xxxxf)2( nf)(n當2n但0)(2nf,時所以x)(xf不是無窮大 !xxycosOxy例例 . . 證明證明11lim1xx證證: 略。見略。見P4011xy假設(shè) ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .鉛直漸近線說明說明:xyO1三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系假設(shè))(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;假設(shè))(xf為無窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無窮大.那么(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1

7、. 無窮小與無窮大的定義2. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3. 無窮小與無窮大的關(guān)系練習練習P42 ex 1 , 5P42 題*3 提示:21xy,21x210140 x 作業(yè)作業(yè)P42 4 (1) ; 8 第一章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第五節(jié)第五節(jié)極限運算法則極限運算法則時, 有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 證證: 由定義得由定義得設(shè) 那么,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當100 xx時 , 有2, 02當200 xx時 , 有2

8、取則當00 xx22因而.0)(lim0 xx這說明當0 xx 時,為無窮小量 .0)(lim0 xx 例如，例如，1211lim1222nnnnnn）（1( P56 題 4 (2)；P49 題112）見課件注：注：Th1 1. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 . 2. 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !0111lim,11111lim,n122222nnnnnnnnn）（定理定理2 . 2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . . 證證: 設(shè)設(shè), ),(10 xUxMxf)(又設(shè),0lim0 xx即,0,02

9、當),(20 xUx時, 有 .取,min21則當),(0 xUx時 , 就有)(xf)(xf M故,0)(lim0 xfxx即 )(xf是0 xx 時的無窮小 .定理定理2 . 2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . . 證證: 設(shè)設(shè), ),(10 xUxMxf)(又設(shè),0lim0 xx即,0,02當),(20 xUx時, 有 .M取,min21則當),(0 xUx時 , 就有)(xf)(xf故,0)(lim0 xfxx即 )(xf是0 xx 時的無窮小 .定理定理2 . 2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . . 推論推論

10、 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .練習練習 . P31 Ex 5推論推論 2說明說明 ： 無限個無窮小的乘積未必是無窮小無限個無窮小的乘積未必是無窮小 .例例1. 1. 求求 P48. P48. 例例8 8.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線 .Oxyxxysin二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(l

11、imxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3-1 . 假設(shè)假設(shè)推論推論: : 假假設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf那么.BA( P46 定理定理 5保號性保號性 )()()(xgxfx利用保號性定理證明利用保號性定理證明 .說明說明: 定理定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令令為無窮小定理定理 3-2 3-2 假

12、設(shè)假設(shè))()(limxgxf)(lim)(limxgxf,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,設(shè)BAABBAABxgxf）（ )()()(由極限與無窮小關(guān)系定理 , 結(jié)論可得。ABxgxf)()(因而 為無窮小, BA定理定理 3-2 . 3-2 . 假假設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf說明說明: 定理定理 3-2 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)

13、)推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設(shè)設(shè) n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA定理定理 3-3 3-3 假假設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 略見略見P44；或者見本課件最后一頁。；或者見本課件最后一頁。BA定理定理4 4 假設(shè)假設(shè),lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,0

14、0)3(時且當BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù)因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .（已經(jīng)在第二節(jié)講過）例例3. 3. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明:,0)(0 xQ 1. 不能直接用商的運算法則，如例不能直接用商的運算法則，如例4、例、例5要先化簡，或者通過求倒數(shù)的極限。要先化簡，

15、或者通過求倒數(shù)的極限。 假設(shè)例例5 . 5 . 求求 934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx31lim3xxx.4532lim21xxxx解解:3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxxx = 1 時, 分母 = 0 , 分子0 ,例例4.6231 x = 3 時分母為 0 !例例6 . 6 . 求求.125934lim22xxxxx解解: ,分子時x.分母22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x那么54“ 抓大頭抓大頭”原式一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當( 如如 P47 例

16、例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理定理5. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufxfauax)(lim)(lim)(證證:略略 Aufau)(lim,0,0當au0時, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當200 xx時, 有ax)(對上述取,min21則當00 xx時ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因而式成立.定理定理

17、5. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim例例7 . 7 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令11112uuxx1u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2型00內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使

18、用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 要求分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量練習題練習題1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問3. 3. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 （分子有理化）（分子有理化）原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 （換元）（換元） 令,1xt tttt1111lim2021那么原式 =22011limttt111lim20tt 0t作業(yè)作業(yè)P49 1 (3)，(5)，(7)，(9), (14) 2 (2) 3 (2) 5思考題思考題 1. 1. 設(shè)設(shè))(xf解解:利用前一極限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一極限式 , 得xxfx)(lim30可見0,3ba是多項式 , 且32( )2lim2,xf xxx,3)(lim0