數(shù)字信號處理習(xí)題+答案

1、變換中第一章 數(shù)字信號處理概述簡答題：1 在 A/D 變換之前和 D/A 變換之后都要讓信號通過一個低通濾 波器，它們分別起什么作用？答：在 A/D 變化之前讓信號通過一個低通濾波器， 是為了限制信號 的最高頻率， 使其滿足當(dāng)采樣頻率一定時， 采樣頻率應(yīng)大于等于信 號最高頻率 2 倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。在 D/A 變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器， 是為了濾除高頻 延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平 滑”濾波器。判斷說明題： 2模擬信號也可以與數(shù)字信號一樣在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)字信號處理， 自己要增加一道采樣的工序就可以了。 ( ) 答：錯。需要增加采

2、樣和量化兩道工序。j 1 1 j Y(ej ) T1 Xa(j ) T1 Xa( jT )所以 h(n) 得截止頻率 cc為8 對應(yīng)于模擬信號的角頻率cT8因此fcc1625Hzc216T由于最后一級的低通濾波器的截止頻率為，因此對 沒有T 8T3一個模擬信號處理系統(tǒng)總可以轉(zhuǎn)換成功能相同的數(shù)字系統(tǒng)，然 后基于數(shù)字信號處理理論，對信號進(jìn)行等效的數(shù)字處理。 ( ) 答：受采樣頻率、有限字長效應(yīng)的約束，與模擬信號處理系統(tǒng)完全 等效的數(shù)字系統(tǒng)未必一定能找到。 因此數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析方 法是先對抽樣信號及系統(tǒng)進(jìn)行分析， 再考慮幅度量化及實(shí)現(xiàn)過程中 有限字長所造成的影響。 故離散時間信號和系統(tǒng)理論是數(shù)

3、字信號處 理的理論基礎(chǔ)。第二章 離散時間信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ) 一、連續(xù)時間信號取樣與取樣定理計(jì)算題： 1過濾限帶的模擬數(shù)據(jù)時，常采用數(shù)字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期(假 設(shè)T足 夠小，足以防止混 迭效應(yīng))，把從 x(t)到y(tǒng)(t)的整個系統(tǒng)等效為一個模擬濾波器。(a)如果 h(n)截止于 8rad ,1 T 10kHz ，求整個系統(tǒng)的截止頻率。(b)對于 1T 20kHz ，重復(fù)( a)的計(jì)算。影響，故整個系統(tǒng)的截止頻率由 H(ejb)采用同樣的方法求得 1T16T、離散時間信號與系統(tǒng)頻域分析) 決定，是 625Hz20kHz ，整個系統(tǒng)的截止頻率1250Hz計(jì)算題：1設(shè)序列 x( n)

4、的傅氏變換為 X(e ) ，試求下列序列的傅里葉 變換。(1)x(2n) (2) x* (n) (共軛)解：( 1) x(2n)由序列傅氏變換公式DTFT x(n) X(ej ) x(n)e j n n可以得到DTFTjn j nx(2n) x(2n)e jn x(n )e 2nn 為偶數(shù)解 ( a)因?yàn)楫?dāng)8rad時H(ej ) 0，在數(shù) 模12x(n)( 1)n x(n)eX?( )12 n x(n)e12nj(x(n)e 2)n111e j21 11ej1212X(ej2)12X(ej(2利用頻率微分特性，可得1j12 X(ej2)X(jj2)X( )2) x* (n) (共軛)12ejj

5、 dX( ) jd1(1 12ej )221(1 12e j )2DTFT3序列 x(n) 的傅里葉變換為X(e ) ，求下列各序列的傅里葉x* (n)x* (n)ejnx(n)e jn*變換。X * (e j1) x ( n)2) Re x( n) (3) nx(n)2計(jì)算下列各信號的傅里葉變換。解：1)jwnn)ex( n)e jw( n) * nX*(ejw)a) 2nu nb)(1)nun42c) 4 2nd)n(12)解：(a)X(n2nune j2n e j nX(X(Rex(n)e jwn12x(n)jwn 1 jwx (n)e2X(e )X (e jw)jwn nx(n)e1d

6、x(n)e jwn j d x(n)e jwn dwnj dwj dX(ejw)dw10(12e11 1 ej2b4序列 x(n)的傅里葉變換為 X(e ) ，求下列各序列的傅里葉變換。14)nun1m0(14)mxne j2e jj (m 2) e164(14)nej24ej21 1e42ne j nj21) x(n)2) jIm x(n)(3)x2(n)x (n)e jwn2)j( w)( n)x(n)e n112x(n)x(jwnn)e112nx(n)e j( w)nX (e jw)jwn x(n)ejwnx (n)e 12X(ejw)x(n)e j(w)n12X(ejw)X (e jw

7、)3)2) g(n)x n 2 n為偶數(shù)0n為奇數(shù)x2(n)ejwnX(ej )dnx(n)e j(w )n3) x(2n)1 X(ej )X(ej(w )d211 X(ej ) X(ejw)2解：(1) X(e jw )jwn0ejw5令 x(n) 和 X(e ) 表示一個序列及其傅立葉變換，利用2)x(n2)n 為偶數(shù)g(n)X(e ) 表示下面各序列的傅立葉變換。X(ej2w)1)2)G(ejw )g(n) x(2n)g(n)xn20g(n)ejnw112 x(k)n為偶數(shù) n為奇數(shù)3) x(2n)0 n 為奇數(shù) jwX(e 2 )7計(jì)算下列各信號的傅立葉變換。x(2n)e jnwk1)

8、 k x(k) ekjw2x(k)e)kjw21)(21)n u(n 3) u(n 2)2k k為偶數(shù)2)3)cos(18 n7) sin(2n)x(n)cos(01 n其它1x(k)ejk w21j jk w x(k)(e j )e 22k2k1w j1jk ( w )1X(e 2 )x(k)e222k1Xw(e 2 )1Xwej(w2)22ww1 X (e 2 )X(e 2 )2k2解】1) X(k)(12)nu(n3)u(nj 2 kn2) e N1n3(2)nej 32 k 8e N 1 1e2j 2 knN2jNk(12)nej22 ke j2 N k1e2j2 knN2jNkG(e

9、jw)g(n)ejnwg(2r)e j2rwrrx(r)e jr2w X(ej2w)8ej3Nkj52 kN(12)5e1 1e j2N k26設(shè)序列 x(n) 傅立葉變換為 X(e ) ，求下列序列的傅立葉變 換。(1) x(n n0 )n0 為任意實(shí)整數(shù)2)假 定 cos(18 n7) 和 sin( 2n) 的 變換 分 別為 X1(k) 和X 2 (k) ，則2 18218X1(k)(k2k )(k2k )kN7N7X2(k)(2 k 22k )(2N k2 2k )jkNN所以 X(k) X1(k) X 2(k)三、離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) 填空題：1設(shè)H(z)是線性相位 FIR系統(tǒng)，已知

10、H(z)中的 3個零點(diǎn)分別為 1， 0.8，1+j ，該系統(tǒng)階數(shù)至少為()。解：由線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)的特性可知， z 1 的零點(diǎn)可單獨(dú)出現(xiàn)， z 0.8的零點(diǎn)需成對出現(xiàn)， z 1 j 的零點(diǎn)需 4個 1組，所以2Nk1782k)(2Nk 178 2k) j(2Nk 2 2k) j(Nk 22k)3) X(k)4cos ne n 4 3jn 2 kNn 412(en 42j3njn3 )ejn 2 kN系統(tǒng)至少為 7 階簡答題：2何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hmin(Z) 有何特點(diǎn)？解：一個穩(wěn)定的因果線性移不變系統(tǒng)，程式其系統(tǒng)函數(shù)可表示成有理方2 9 21 j4( k ) 9 j( k

11、)n N 3 3 N ee2 n 01 j4(2 k ) 9 N3 e22 j( )n 3N en0H (Z)Mbr Z rP(Z) r 0 rQ(Z) 1 N akZ k1，他的所有極點(diǎn)都應(yīng)在k單位圓內(nèi)，即k1。但零點(diǎn)可以位于Z 平面的任何地方。有j(3 2Nk)921 ej(3 N k)Rex(n)些應(yīng)用中，需要約束一個系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)G(Z) 1H(Z)21ej4(2Nk 3)1 e e28求下列序列的時域離散傅里葉變換x ( n) ， Re x(n) ， x0 (n)解： x ( n) x( n)e j ( n) X (ej )1 j n 1 j j j x(n) x(n)e j n

12、X(ej ) X (e j ) Xe(ej )22也是穩(wěn)定因果的。這就需要 H (Z) 的零點(diǎn)也位于單位圓內(nèi)，即r 1 。一個穩(wěn)定因果的濾波器，如果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果 的，則稱這個系統(tǒng)是最小相位。等價的，我們有如下定義?！径x】 一個有理系統(tǒng)函數(shù)， 如果它的零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)， 則有最小相位。一個最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值H(ejw) 唯一2 確定。從 ejw求 H ( Z )的過程如下：給定 ejw ，先求 ejw ，它1 k k是cos(kw) 的函數(shù)。然后，用 (Zk Z k) 替代 cos(kw) ，我們得到 G(Z) H(Z)H (Z ) 。最后，最小相位系統(tǒng)由單

13、位圓內(nèi)的 G (Z )的極、零點(diǎn)形成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個最小相位系統(tǒng)和一個全x0(n)ex(n) x ( n) ej Im X(ej ) 通系統(tǒng)的乘積，即H (Z) Hmin (Z)H ap(Z)完成這個因式分解的過程如下：首先，把 H (Z) 的所有單位圓外的零點(diǎn)映射到它在單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)點(diǎn)，這樣形成的系統(tǒng)函數(shù)x(n)X1(k)(周期為 N)；把 x(n) 看作周期為 2N的周期序H min (Z )是最小相位的。然后，選擇全通濾波器Hap(Z) ，把與之對應(yīng)的 Hmin (Z )中的零點(diǎn)映射回單位圓外。H (Z)3 何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)ap 有何特點(diǎn)？解：一個穩(wěn)

14、定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)Hap(Z) 對應(yīng)的傅里列有 x(n)X2(k)(周期為 2N)；試用 X(1 k)表示 X(2 k)。 N 1解： X1(k)x(n)WNknn0j kn x(n)e N n02N 1N1葉變換幅值 H(ejw) 1，該單位幅值的約束條件要求一個有理系統(tǒng)函數(shù)方程式的零極點(diǎn)必須呈共軛倒數(shù)對出現(xiàn)，即X2(k)x(n)W2kNnn01x(n)e02kjnN22N 1x(n)e2kjnN2H ap (Z)P(Z)Q(Z)brZ對后一項(xiàng)令 n，則r0akZN Z 1Zk1 。因而，k 1 1kZ 1k1如果在 Z k 處有一個極點(diǎn)，則在其共軛倒數(shù)點(diǎn)必須有一個零點(diǎn)。4有一線性

15、時不變系統(tǒng)，如下圖所示，試寫出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)(轉(zhuǎn)移)函數(shù)、差分方程和卷積關(guān)系表達(dá)式。xnynX2(k)x(n)e2kjnN2x(nN)ekN k2(n N)j2hn(1(1所以 X 2(k)jkjkx(n)e0k)X(k2)k2X 1( )20二、離散傅立葉變換定義2kjnN2k為偶數(shù)k為奇數(shù)解：頻率響應(yīng)： H(ej )h(n)e填空題2某DFT 的表達(dá)式是 X(l)x(k)WMkl則變換后數(shù)字頻系統(tǒng)函數(shù)： H(Z)h(n)Z域上相鄰兩個頻率樣點(diǎn)之間的間隔是)。差分方程： Z 1 Y(Z)X(Z)解： 2 M3某序列 DFT的表達(dá)式是X(l)卷積關(guān)系： y(n) h(n) x(n)1k

16、lx(k)WMkl ，由此可看出，0該序列的時域長度是 ()，變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率第三章 離散傅立葉變換、離散傅立葉級數(shù)樣點(diǎn)之間隔是()。解： N2 M計(jì)算題：1如果 x(n) 是一個周期為 N的周期序列，那么它也是周期為 2N4如果希望某信號序列的離散譜是實(shí)偶的，那么該時域序列應(yīng)滿 足條件( )。解：純實(shí)數(shù)、偶對稱的周期序列。把 x(n)看作周期為 N 的周期序列有15采樣頻率為 FsHz 的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式中z 1代表的物理意義是 ()，其中時域數(shù)字序列 x(n) 的序號 n 代xn X k表的樣值實(shí)際位置是 ()；x(n) 的N 點(diǎn)DFT Xk)中，序號 k 代表的樣值

17、實(shí)際位置又是()。解：延時一個采樣周期 T 1 F ， nT n F ，6用 8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進(jìn)行頻譜分析，2kN計(jì)算了512點(diǎn)的 DFT。則頻域抽樣點(diǎn)之間的頻率間隔角頻率間隔 w 為 和模擬角頻率間隔 。解： 15.625 ，0.0123rad ，98.4rad/s判斷說明題：7一個信號序列，如果能做序列傅氏變換對它進(jìn)行分析，也就能 做DFT 對它進(jìn)行分析。( )解：錯。如果序列是有限長的，就能做 DFT 對它進(jìn)行分析。否則， 頻域采樣將造成時域信號的混疊，產(chǎn)生失真。計(jì)算題8令 X (k)表示N點(diǎn)的序列 x(n) 的N點(diǎn)離散傅里葉變換， X(k)本身也是一個 N點(diǎn)的序列

18、。如果計(jì)算 X(k) 的離散傅里葉變換得到nkx(n)n03y1(n)(1)x(n 4)n47x(n)n03y2(n)(2)0n47x(n )n偶數(shù)y3(n)2(3)0n奇數(shù)Y1 2k2X k ,0k3解：(1) 1Y1 2k10(2)Y2k1X k1Xk,k12k,0 k1 7,0 k 3123)Y3 k1 0 k1X k1 4 X k 7,0 k 3,k k1 mod4一序列 x1 (n) ，試用 x(n)求 x1(n)。解10設(shè) x(n) 是一個 2N 點(diǎn)的序列，具有如下性質(zhì)：N1x1(n)X(k)WNnkk0N1 N 1x(n)WNkn WNnkN1 N 1x(n) WNk(n n)n

19、 0 k0x(n N) x(n)另設(shè) x1(n) x(n)RN (n) ，它的 N 點(diǎn) DFT 為X1(k)，求因?yàn)閤(n) 的2N點(diǎn) DFT X(k)和 X1(k) 的關(guān)系。WNk(n0n)所以N1x1(n)Nx( nnn n Nl其他Nl) Nx( n)N RN(n)k解： X k 2X1推導(dǎo)過程略211試求以下有限長序列的 N點(diǎn)DFT (閉合形式表達(dá)式)(1) x(n) anRN (n)(2)x(n) nRN (n)解：(1)因?yàn)?x(n) anRN (n)，所以9序列 x(n)1,1,0,0 ，其 4點(diǎn)DFT x(k) 如下圖所示?，F(xiàn)將x(n) 按下列( 1)，(2)，( 3)的方法擴(kuò)

20、展成 8點(diǎn)，求它們 8點(diǎn)的 DFT？(盡量利用 DFT 的特性)NX(k)1nae02j nkN1 aNaejNkej (k m) e j (k m)jN 1(k m)e ejN(k m) e jN(k m) eeej (km) ej (k m)jN1(k m)e e e N ejN(km) e jN(km) ee2)由 x(n) nRN(n) ，N1 sin(k m) ) e sin(k m) Nj N (km)N1 sin(k m) e j N (k m) sin(k m) NX(k)nN1nknWNnk RN (k)0WNkX(k)N1nWN(n 1)kRN (k)n0k=m或 k=-m

21、0,其它X(k)(1NkWNk ) (n1nknWNnk0nWN(n 1)k)RN (k)013已知一個有限長序列 x(n)(n) 2 (n 5)WNk 2WN2k 3WN3kN1(N1)WN(N 1)k(N 2)WN(N 1)kN 1)RN(k)1)求它的 10 點(diǎn)離散傅里葉變換 X(k)( (N 1) WNnk)RN(k)2)已 知 序 列 y(n) 的 10 點(diǎn) 離 散 傅 立 葉 變 換 為n1(N11 WNk RN (k)1) WNkNRN(k)Y(k) W102k X(k)，求序列 y(n)所以3)已 知 序 列 m(n) 的 10 點(diǎn) 離 散 傅 立 葉 變 換 為12解：X(k

22、) 1WNNk RN(k)計(jì)算下列序列的 N點(diǎn) DFT：P116X(k)1)1)X(k)x(n) ax(n),0nN12cos nmN0nN，M (k) X(k)Y(k)，求序列 m(n)2)由 Y(k)X(k)N119nkx(n)WNnk0 n 0nk(n) 2 (n 5) W1n0k=1+2 W150k =1+2ek=1+2 ( 1)k， k2kW120k X(k) 可以知道，j2105k0,1,.,9y(n) 是 x(n) 向右循環(huán)N1anWNnkn0N NK1 a WN1 aWNkNaaWNk移位 2 的結(jié)果，即y(n) x (n 2) 10 (n 2) 2 (n 7)2 cos mn

23、 n 0 NWNnk1 2n 0N1j2 mn ej Nmn2j mnNe j2N nk3 ) 由 M(k) X(k)Y(k) 可 以 知 道 ，m(n)是x(n)與y(n)的10點(diǎn)循環(huán)卷積。1ej2 (k m)2j2 (k m)1eNj2 (ke2j 2 (k m) 1eNm)一種方法是先計(jì)算 x(n)與 y(n)的線性卷積u(n) x(n) y(n) x(l) y(n l)lj N2,k 10，其它= 0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4(2)然后由下式得到 10 點(diǎn)循環(huán)卷積X(k)m(n) u(n 10l) lR10(n) 0,0,5,0,0,0,0,4,0,0 5 (n

24、2) 4 (n 7)e j 29 knn0j6 ke92j29kj3 k j3k j3k e 3 e 3 e 3另一種方法是先計(jì)算y(n) 的 10 點(diǎn)離散傅立葉變換jke9N1Y(k)y(n)WNnkn0再計(jì)算乘積9n 2 2 n 7 W10nk n0W102k 2W170kj2 k sin93k0,1,.,8M (k)X(k)Y(k) 1 2W105kW102k2W170k2k 7kW102W107k2W1012k4W105W102k 4W107k由上式得到 m(n) 5n24n14( 1)已知序列： x(n) sin，0nN1 ，求 x(n)的 N 點(diǎn) DFT 。2)已知序列： x(n)

25、1，0，n其它0,1,2 ，則x(n) 的 9 點(diǎn)sin k9可見，題給答案是正確的。15一個 8 點(diǎn)序列 x(n) 的 8 點(diǎn)離散傅里葉變換X(k) 如圖 5.29所示。在 x(n) 的每兩個取樣值之間插入一個零值，得到一個 16點(diǎn)序列 y(n) ，即y(n)DFT 是 X(k) e j29ksin3k(1)求 形。否？用演算來證明你的結(jié)論。解：(1) X(k)N1sinn0， n 為偶數(shù)， n 為奇數(shù)0y(n)的 16 點(diǎn)離散傅里葉變換 Y(k) ，并畫出Y(k) 的圖，k 0,1,2,.,8 正 確 sin k9(2)設(shè) X(k)的長度 N 為偶數(shù)，且有P3452neNj2 knN1N2

26、jnej2Nn2jnNj2 kn eN1N2jnej2N(1k)n2j2 (1 k)nNjN2,kX(k) X(N 1 k),k Xk0,1,., N 1 ，求 x2解：( 1)因 n 為奇數(shù)時 y(n)0 ，故Y(k)15 y(n)W16nk n 0 n14n nkxW160,2,.20 k 15另一方面 X(k)因此 X(k 8)mkx( m)W8mkm0mkx( m)W8mk ,m00,7x(m)W8m(k00,8)0k7其它8 k 15其它7x(m)W8mkm0k 150,其它所以7mkY(k)x(m)W8Y(k) m 00,0 k 15 其它X(k),0k7X(k 8),8 k 15

27、0,其它5.34 所示。按照上式可畫出 Y(k) 的圖形，如圖k16計(jì)算下列有限長序列假設(shè)長度為 N 。x(n) 的DFT ，1) x(n) an0nN12) x(n) 1,2, 3, 1N1解：(1) X(k)anWNnkn0N1aWNkn0k N N1 aWN1 aN1 aWNk1 aWNk0kN13(2) X(k)x(n)W4nkn0W40 2W4k 3W42k W43k1 2W4k 3W2k W43k1 2( j)k 3( 1)k j k(0 k 3)17長度為 8 的有限長序列 x(n) 的 8 點(diǎn) DFT 為 X (k ) ，長度為 16 的一個新序列定義為x( ) n 0,2,.

28、142y(n)0 n 1,3,.,15試用解：X(k) 來表示 Y(k)Y(k)n15 y(n)W1n6k 0r0因此，Y(lDFTy(n) 。2rky(2r)W126rk7rkx(r )W8rkr0X(k)當(dāng)k8)y(2r 1)W1(62r 1)k0(k 0,1,.,15)7x(n)W8nkn0(k 0,1,.,7)0,1,.,7 時，Y(k)r08(l 0,1,.,7)r (l 8) x(r)W8r (l 8)即 Y(k) X(k 8)X(k)；當(dāng) k 8,9,.,15時，得到rlx(r )W8rlX(l)r0于是有X(k)0,1,.,7Y(k)X(0)x(n)0x(m)N12X(k8)k

29、 8,9,.,15顯然可得X(0) 0n 0,118若 x(n)12,N試計(jì)算 x(n) 的離散傅里2) X(N2)N1x(n)e jkn0x(n)( 1)n0n3葉變換 X(k) 的值 (k 0,1,2,3) 。將 n 分為奇數(shù)和偶數(shù)兩部分表示)N12x(2r)(01)2rx(2r 1)(r01)2r 1【解】X(n)x(kkn )WNknk0所3X(0)x(k)Wkn N2WN02WN01WN00k03j2j22X(1)x(k)WNkn 2WN02WN121WN2 02 2ej4ej4k032WN022WN241WN4X(2)knx(k)WNkn022ek032WN032WN361WN6X

30、(3)knx(k)WNkn022e412j證明題：k03j22ej2N12x(2r)r0x(2r 1)r0ejx(Nr02r)x(2r01) 令 N1 2r 2k 1e j219設(shè) X(k) 表示長度為 N的有限長序列x(n) 的 DFT 。顯然可得1)證明如果 x(n) 滿足關(guān)系式簡答題：x(n)x(N 1n)則 X(0)2)證明當(dāng) N 為偶數(shù)時，如果x(n)x(N1 n)x(2rNk21)x(2r01)21在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？ 解：因?yàn)闉椴蓸訒r沒有滿足采樣定理減小這種效應(yīng)的方法：采樣時滿足采樣定理，采樣前進(jìn)行濾波，濾去高于折疊頻率 fs 2 的

31、頻率成分。22試說明離散傅里葉變換與 Z變換之間的關(guān)系。解：離散傅立葉變換是 Z 變換在單位圓上的等間隔采樣。則 X(N )2解 ( 1)三、離散傅立葉變換性質(zhì)填空題：1已知序列 xk2,2,3, 1;k 0,1,2,3 ，序列長度NX(k)1 x(n)WNnk 0N 4 ，寫出序列 x(2 k)N R4k的值()。NX(0)1 x(n)WN0 0x(n)0N12x(n)n0N1x(N 1Nnn)解：x(2 k)NR4kx 2, x1, x0, x3;k 0,1,2,3 3,2, 2, 1;k 0,1,2,3xn 1,2,3,2,1;k 0,1,2,3,4,hn1,0,1,1,0;k 0,1,

32、2,3,46 x(n) 長為 N的有限長序列，圓周共軛偶部及奇部，也即xe(n),xo(n)分別為 x(n) 的則 xn 和 hn 的 5 點(diǎn)循環(huán)卷積為()。xe(n)xe * (N n)12x(n) x* (N n)解： xk hk xk kk2k 3xo(n)xo * (N n)121x(n) x* (N n)xk x(k 2)5 x(k 3)50,1,3,3,2;k0,1,2,3,4證明：xn 3,2,0,2;k 0,1,2,3 , hn4,2,1,1;k0,1,2,3DFTxe(n)DFTxo(n)ReX (K ) j Im X (K )xn和hn的)。解h0h3h2h1x0h1h0h

33、3h2? x1h2h1h0h3? x2h3h2h1h0x3證明題：4點(diǎn)循環(huán)卷積為4試證 N 點(diǎn)序列 x n42111421114221143202證：1NNm的離散傅立葉變換1xn0k 滿足 Parseval恒等xe(n) xe *(Nn)1x(n)21x*(N n) 1x(n) x* ( n)N2N11X(k)2X* (k)Re X (k)xo(n)xo * (Nn)12x(n)1x*(N n) 2x(n) x*( n)N112X(k)X* (k)jIm X(k)7若6437Xm1N N Nm1x01x01NNm2Xk0DFT x(n)證： x(n)X (k ),求證DFT X (n) Nx

34、(k)N1NNk1X(k)WN0kn1)1Nm1XmX *m0NXm(0k1Nk 1 NmkxkX(k)1xkWNmk )*01XmWNmk0N由(2) X(k)12 xk 0X(n)1 x(n)WNkn 02)1x(n)WNkn ，將0k與n 互換，則有5 x(k)和X(n) 是一個離散傅里葉變換對，試證明離散傅里1NNk葉變換的對稱性：1N1 X(k) x( n)證明略。1 x(k)WNkn 0knNx(k)WNkn (用0這應(yīng)該是反變換公式)k 代替 k ，且求和取主值區(qū))N1Nx( k )Wk0knN與( 1)比較所以 X(n) Nx( k) N8若 x(n)IDFT X(k) ，求證

35、IDFT x(k)1N1 X( n)N)RN (n)。N12x(n)n0N12x(n)n0x(Nx(n)證：IDFS x(k)1N11 kn x(k)WNkn Nk0X(0)所以1 n)1N1Nk0 1N N2N1 rkX(r)WN rkN r 01NX(r)rWNkn1WNk(0IDFSIDFT x(k)n)x(k)1N1 X(1WNk(01N2X(r n)lNn)RN (n)n)lNlN1N1 X(l 為整數(shù))1N1 X( n)n)N )RN (n)9令 X(k)表示 N點(diǎn)序列 x(n) 的N點(diǎn)DFT，試證明：a)如 果 x(n)滿足關(guān)b)x(n) x(N 1當(dāng) N 為偶數(shù)時，如果X(N)

36、 0。2n)，則 X(0)x(n) x(N0。n) ，則證： X(k)1 x(n)WNnk 0(k 0,1,., N1)a) X(0)1x(n)0N 為偶數(shù)： X(0)N12x(n)n0N12x(N 1 n)n0Nx( 2為N 1 12x(n)n0N112x(N 1n0n)x(N1)N12N1x(N21)N1x(N2 1)x(n)n0N112x(n)n00 x(N2而 x(n) 中間的一項(xiàng)應(yīng)當(dāng)滿足：因此必然有x(Nx(n)1)1 n)x(N1) x(N 12n1X( ) 02這就是說，當(dāng) N為奇數(shù)時，也有 X(0)b)當(dāng) N 為偶數(shù)：N12x(n)(n0N121)n當(dāng)N于(10x(n)(0為偶

37、數(shù)時，1)nN 1)2)0。N1 x(n)WN n0x(N0N2N11) N 1nn)(x(n)(01為奇數(shù)，故1) n ( 1)n ,故有N1N2X( ) x(n)(2 n 01)n設(shè) DFT x(n) X (k)n1x(n211x(n)(01) N 11) n1) N 1x(n)(01；1)n又由1)n 0求證DFT X(k) Nx(N n) ?！窘狻恳?yàn)閃N k(N n) WNnk1N1根據(jù)題意 x(n) 1X(k)WN nkNk0N1Nx(N n)X(k)WNk(N n)k0因?yàn)?WN k(N n) WNnkN1所以 Nx(N n)X(k)WNkn DFT X(k)k011證明：若 x

38、(n) 為實(shí)偶對稱， 即 x(n) x(N n) ，則 X(k)也為實(shí)偶對稱。N1【解】 根據(jù)題意 X(k)x(n)WNnkn0N1x(N n)WN( n)( k) 再利用 WNnk的周期性質(zhì)n0N1(N n)(N k) x(N n)WN(N n)(N k) n0下 面 我 們 令 N n m 進(jìn) 行 變 量 代 換 ， 則1X(k)x( m)WN( N k)mmN又因?yàn)?x(n) 為實(shí)偶對稱 ,所以 x(0) x(N) 0，所以x(0)WN(N k)0 x( N )WN(N k)m x(0)WN(N k)0N可將上式寫為 X(k)x(m)WN(N k)m x(0)WN(N k)0m1Nx(m

39、)WN(N k)mm0Nx(m)WN(N k)m x(N)WN(N k)NN1(N k)m x(m)WN(N k)m m0N1所以X(k)x( m)WN( Nm0k)m X(N k)即證。注意：若 x(n) 為奇對稱，即 x(n)x(N n)，則 X(k) 為純虛數(shù)并且奇對稱，證明方法同上。計(jì)算題12已知x(n)n 1(0 n 3), y(n)( 1)n (0 n 3)，用圓周卷積法求 x(n) 和 y(n) 的線性卷積z(n)。解：x(n) 1,2,3,4 0 n3 ， y(n) 1,1,1, 10n3因?yàn)?x(n) 的長度為 N1 4, y(n) 的長度為 N24所 以 z(n) x(n)

40、y(n) 的 長度為NN1 N 2 1 7 , 故 應(yīng) 求周期 N 7 的 圓周卷積x(n) y(n) 的值，即N1z(n) x(n) y(n)x(m)y(n m) ?RN (n)m0所以z(n) x(n) y(n) 1,1,2,2, 3,1, 4 ,0 n 613序列 a(n)為 1,2,3 ，序列 b(n)為 3,2,1 。( 1)求線性卷積 a n b n( 2)若用基 2 FFT 的循環(huán)卷積法(快速卷積)來得到兩個序列的 線性卷積運(yùn)算結(jié)果， FFT 至少應(yīng)取多少點(diǎn)？解：(1) w(n) a(n) b(n) a(m)b(n m)nm0所以 w(n) a(n) b(n) 3,8,14,8,

41、3 ， 0 n 4卷積運(yùn)算，因?yàn)?a(n) 的長度為 N13 ；所以 a nb n 得長度為 NN1 N21 5 。故 FFT 至少應(yīng)取 238 點(diǎn)。14有限長為 N=100的兩序列110n10x(n)y(n) 0011 n991n01n8990 n99做 出 x(n), y(n) 示 意 圖，并求圓周卷積f (n)x(n)y(n) 及做圖。解x(n),y(n) 示 意圖略，圓周卷積f (n)x(n)y(n)11n010n 1,999n 2,988n 3,977n 4,966n 5,95f n 5n 6,944n 7,933n 8,922n 9,911n 10,90010 n 9015 已知 x(n)是 長 度 為N 的 有 限長序列，X(k)DFT x(n) ， 現(xiàn)將x(n) 的每 兩點(diǎn) 之 間 補(bǔ)進(jìn)r 1 個零值，得到一個長為 rN的有限2)若用基 2FFT 的循環(huán)卷積法 (快速卷積) 來完成兩序列的線性求：解：16y(n)0ir,i0,1,Nir,i0,1,NDFT y(n) 與 X(k) 的關(guān)系。因?yàn)?X(k)rNY(k)長序列 y(n)N1x(l)WNlk 0 01