最全最詳細(xì)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論

1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一 . 概念 : 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像, 只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù), 如函數(shù)的定義域, 解析遞推式, 特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等, 它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn), 也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn), 由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體, 因此理解研究起來比較困難， 所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于 f (x) 定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都存在非零常數(shù)T ，使得 f (x T) f (x) 恒成立，則稱函數(shù)f (x) 具有周期性，T 叫做 f

2、 (x) 的一個(gè)周期，則kT( k Z,k 0)也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x) 的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè) y f (x) 是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C: y f (x),x a,b,T b a。 把 yf(x)沿 x軸平移KT K(b a)個(gè)單位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的圖像：y f (x kT), x kT a, kT b 。f (x) x a,bf(x)f(x kT) x kT a,kT b2、奇偶函數(shù)：設(shè) y f(x),x a,b 或 x b, a a,b若 f ( x) f (x),則稱 yf (x)為奇函數(shù)；

3、若 f( x) f (x)則稱y f ( x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對(duì)稱性：1)中心對(duì)稱即點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)A(x, y)與 B(2a x,2b y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱； 點(diǎn) A(a x,b y)與 B(a x,b y)關(guān)于 (a,b)對(duì)稱； 函數(shù) yf (x)與 2b y f (2a x)關(guān)于點(diǎn)(a, b)成中心對(duì)稱； 函數(shù)by f (a x)與 by f (ax)關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱； 函數(shù)F(x, y) 0與 F(2ax,2b y) 0關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。2)軸對(duì)稱：對(duì)稱軸方程為：Ax By C 0 點(diǎn) A(x, y)與 B(x/,y/)B(x2A(Ax By C)

4、22A2 B22B(Ax By C)22A2 B2)關(guān) 于直線 Ax By C 0成軸對(duì)稱；函數(shù) y f (x)與 y 2B(Ax2 By2 C) f(x 2A(Ax2 By2 C)關(guān)于直線 A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對(duì)稱。 F(x,y) 0與 F(x 2A(Ax2 By2 C),y 2B(Ax2 By2 C) 0關(guān)于直線 A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對(duì)稱。二、 函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論(一)函數(shù)y f ( x) 圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)若f(xa)f(xb) ，則f(x) 具有周期性；若f(ax)f(bx)，則f(x) 具有對(duì)稱性：“ 內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表

5、示對(duì)稱性”。1 、 f ( a x)f(b x)yf ( x) 圖象關(guān)于直線x(a x) (b x)a b 對(duì)稱22推論 1： f (a x) f (a x) y f (x) 的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱推論2、 f (x) f (2a x) y f (x) 的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱推論3、 f ( x) f(2a x) y f ( x)的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱2、f (a x) f (b x) 2c y f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)( a b c) 對(duì)稱2推論 1、 f (a x) f (a x) 2b y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論2、f (x) f (2a x) 2byf (x)的

6、圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論3、f ( x) f(2a x) 2byf (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(二)兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)yf ( x) 與yf ( x) 圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱2、奇函數(shù)yf ( x) 與y f ( x ) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)4、互為反函數(shù)y f (x)與函數(shù) y f 1(x) 圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱ba5. 函數(shù) y f (a x) 與 y f (b x) 圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱2推論 1: 函數(shù) y f (a x) 與 y f (a x) 圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱推論2: 函數(shù)yf (x)與y f (2a x)

7、 圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱推論3: 函數(shù)yf ( x) 與 y f(2a x) 圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(三) 抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì) 1 若函數(shù)y f(x) 關(guān)于直線x a 軸對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a x) f(a x)(2) f(2ax) f(x)(3) f(2ax) f( x)性質(zhì) 2 若函數(shù) y f(x) 關(guān)于點(diǎn)(a， 0)中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：(1) f(a x) f(a x)(2) f(2a x) f(x)(3) f(2a x) f( x)易知， y f(x) 為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1(或2)當(dāng)a 0 時(shí)的特例。2、復(fù)合函數(shù)

8、的奇偶性定義 1 、 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg( x) fg(x) ，則復(fù)數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg( x) fg(x) ，則復(fù)合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)。說明：( 1) 復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x) 為偶函數(shù)，則 fg( x) fg(x) 而不是 f g(x) fg(x) ，復(fù)合函數(shù)yfg(x) 為奇函數(shù)，則fg( x) fg(x) 而不是f g(x) fg(x) 。( 2)兩個(gè)特例：yf(x a) 為偶函數(shù)，則f(x a) f( xa)；y f(x a)為奇函數(shù)，則f( x a) f(a x)( 3) y f(x a) 為偶(或奇)函數(shù)，等價(jià)

9、于單層函數(shù)yf(x) 關(guān)于直線x a 軸對(duì)稱(或關(guān)于點(diǎn)(a，0)中心對(duì)稱)3、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì) 3 復(fù)合函數(shù)y f(a x) 與y f(b x) 關(guān)于直線x(ba) /2 軸對(duì)稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y f(a x) 與yf(b x) 關(guān)于點(diǎn)(ba)/2 ， 0)中心對(duì)稱推論 1 、 復(fù)合函數(shù)y f(a x) 與y f(a x) 關(guān)于 y 軸軸對(duì)稱推論2、復(fù)合函數(shù)y f(a x) 與yf(a x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱4、函數(shù)的周期性若 a 是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)y f(x) 定義域內(nèi)的任一變量x 點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y f(x) 是周期函數(shù)，且2|a| 是它的一個(gè)周期。 f(xa) f(x

10、a) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì) 5 若函數(shù) y f(x) 同時(shí)關(guān)于直線x a 與x b 軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x) 必為周期函數(shù)，且T 2|a b|性質(zhì)6、 若函數(shù)y f(x) 同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a， 0)與點(diǎn)(b， 0)中心對(duì)稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且T 2|a b|性質(zhì)7、 若函數(shù)y f(x) 既關(guān)于點(diǎn)(a， 0)中心對(duì)稱，又關(guān)于直線x b 軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x) 必為周期函數(shù)，且T 4|a b|6 、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用( 1)若 yf (x)關(guān)于點(diǎn)(h,k)對(duì)稱，則x x/ 2h,y y/ 2k, 即f(x) f(x/

11、) f(x) f(2h x) 2kf(x1) f(x2)f(xn) f(2h xn)f(2h xn 1) f(2h x1) 2nk( 2)例題ax1 11、 f (x)關(guān)于點(diǎn)(， )對(duì)稱：f (x) f (1 x) 1 ;a a224x 1f (x) 4 x 11 2x 1關(guān)于(0，1)對(duì)稱：f (x) f ( x) 2f(x) 1( R,x 0)關(guān)于(1 ， 1 )對(duì)稱：f( x) f(1) 1x 122x2 、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱：f(x) f ( x)0。3 、若 f (x) f (2a x)或f (ax)f (a x),則y f (x) 的圖像關(guān)于直線x a 對(duì)稱。設(shè) f

12、 (x)0有 n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則x1x2xnx1(2ax1 )x2(2ax2 )xn(2axn) na .22(當(dāng) n 2k 1時(shí)，必有x1 2a x1 ,x1a)三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1 、 f (x T) f (x) ( T 0)y f (x) 的周期為 T ， kT ( k Z ) 也是函數(shù)的周期2、 f (x a)3、 f (x a)4、 f (x a)5、 f (x a)6、 f (x a)7、 f (x a)8、 f (x a)f(x b)f(x)1f (x)1f (x)1f (x)1f (x)1f (x) 11f (x)1f (x)yf (x) 的周期為Tbayf (x)

13、 的周期為T2ayf (x) 的周期為T2ayf (x) 的周期為T2ayf (x)的周期為T3ay f (x) 的周期為 T 2a9、 f (x 2a)f (x a) f (x)y f (x) 的周期為 T 6ayf (x) 的周期為T4a10、若p 0, f ( px) f ( px p) , 則 T py f (x)有兩條對(duì)稱軸x a和 x b (b a) y f (x) 周期 T 2(b a)推論：偶函數(shù)y f (x) 滿足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期 T 2a12、 y f (x)有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和 (b,0) (b a) y f (x) 周期 T

14、2(b a)推論：奇函數(shù)y f(x)滿足 f (a x) f(a x) y f(x) 周期 T 4a13、 y f (x) 有一條對(duì)稱軸x a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0) (b a) f (x)的 T 4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、 周期性與對(duì)稱性， 可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對(duì)訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用. 下面通過實(shí)例說明其應(yīng)用類型。1. 求函數(shù)值例 1. ( 1996 年高考題)設(shè)f (x) 是 (,) 上的奇函數(shù)，f (2 x) f(x), 當(dāng)0 x 1 時(shí)， f(x) x，則 f (7.5)等于( -0.5 )( A) 0.

15、5;( B) -0.5;( C) 1.5;( D) -1.5.例 2 ( 1989 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知f(x) 是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且3 2。1x1998,試比較f(x 2) 1 f(x) 1 f (x)，f(1) 23, 求 f(1989)的值 . f (1989)2、比較函數(shù)值大小例 3. 若 f (x)(x R)是以 2 為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x 0,1 時(shí)， f (x)98f(19)、101f(17)、104f () 的大小 .15解：0 117f (x)(x16 1419 15R) 是以 2 為周期的偶函數(shù)，又f (x)116141011，f(1)f (16)f(14),

16、即f(1011719151711998 x在 0,1 上是增函數(shù)，且998)f (11054).3、求函數(shù)解析式例 4. ( 1989 年高考題)設(shè)f (x) 是定義在區(qū)間) 上且以 2 為周期的函數(shù)，對(duì)k Z ，用 I k 表示區(qū)間(2k1,2k 1), 已知當(dāng) xI 0 時(shí)，2f (x) x2.求 f (x)在 I k上的解析式 .解：設(shè) x (2k 1,2k1), 2k1x2kx 2kx I 0 時(shí)，有 f (x)x2, 由1x2k1得 f(x2k) (x2k)2f (x)是以 2 為周期的函數(shù)，f(x2k)f (x),f (x) (x2k)2.例 5設(shè)f (x) 是定義在() 上以 2

17、 為周期的周期函數(shù)，且f (x) 是偶函數(shù)，在區(qū)2,3 上， f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 時(shí)， f (x) 的解析式 .解：當(dāng) x 3, 2 ，即 x 2,3 ，22f (x) f ( x) 2( x 3)2 42(x 3)2 4又 f (x) 是以 2 為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)x 1,2 ，即 3 x 42時(shí)，有 f (x) f (x 4)22f(x) 2 (x 4) 3 思路類似. 42(x 1)2 4(1 x 2).2f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判斷函數(shù)奇偶性例 6. 已知 f (x) 的周期為4，且等式f (2 x) f(2 x) 對(duì)任意 x R均

18、成立，判斷函數(shù)f (x) 的奇偶性.解：由 f (x) 的周期為4，得f(x) f(4 x)，由 f(2 x) f (2 x)得f ( x) f(4 x) ， f( x) f(x),故 f(x)為偶函數(shù) .5、確定函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例 7. 設(shè)函數(shù) f (x) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足 f (2 x) f (2 x)， f (7 x)f(7 x)且 f (0) 0, 判斷函數(shù)f (x) 圖象在區(qū)間30,30 上與 x軸至少有多少個(gè)交點(diǎn)解：由題設(shè)知函數(shù)f (x) 圖象關(guān)于直線x 2和 x 7對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f (0)0且 f (x)不能恒為零,f (x) 是以 10 為周期的函數(shù). 在一個(gè)

19、周期區(qū)間0,10 上，f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2)故 f (x) 圖象與 x 軸至少有2 個(gè)交點(diǎn) .30,30 有 6個(gè)周期，故在閉區(qū)間30,30 上 f (x) 圖象與 x軸至少有13 個(gè)交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用例 8. 在數(shù)列 a n 中，a13,anaan 1 (n 2) ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算an 1a1a5a9a1997 .分析：此題的思路與例解：令 a1 tg , 則a21a11a1tg1 tgtg(4)a31 a21 a21 tg(4)1 tg(4)tg(2 4an1 tg (n 1) 4, 于是an1 an 11 an 1tg(n 1)4不難

20、用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：an tg( n ) ，且以 4 為周期 .n 44于是有 1， 5， 9 1997 是以 4 為公差的等差數(shù)列，a1a5a9a1997，由1997 1 (n 1) 4得總項(xiàng)數(shù)為500 項(xiàng)，a1a5a9a1997500 a1500 3.7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例 9. 今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式后，利用一周為七天這個(gè)循環(huán)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算即可解： 9292(91 1)92 C0 9192 C1 9191 C90 912 C91 91 1解：() C 92C92C 92C 929292(7 13 1)92C902(7 13)92 C

21、912(7 13)91C9920(7 13)2C9921(7 13) 1因?yàn)檎归_式中前92 項(xiàng)中均有7 這個(gè)因子，最后一項(xiàng)為1，即為余數(shù)，故 9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.(上海市1994年高考題)設(shè) z 13 i(i是虛數(shù)單位)， 則滿足等式zn z,22且大于 1 的正整數(shù)n 中最小的是( A) 3；( B) 4；( C) 6；( D) 7.13分析：運(yùn)用zi 方冪的周期性求值即可.22解： zn z, z(zn 1 1) 0 zn 11，z3 1, n 1必須是3的倍數(shù),即 n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1時(shí) , n最小, (n)min4.故選擇(B)

22、9、解“立幾”題例 11.ABCD A1B1C1D1 是單位長(zhǎng)方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1A1D1, 黑蟻爬行的路線是AB BB1. 它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i 2段所在直線與第i 段所在直線必須是異面直線(其中i N ) . 設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990 段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑白蟻的距離是( A) 1 ；( B)2 ； ( C)3；( D) 0.解：依條件列出白蟻的路線AA1A1 D1D1C1C1CCBBA AA1, 立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn) . 可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷

23、每六段是一個(gè)周期.1990=6 331 4 ，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計(jì)算出在走完四段后黑蟻在D1點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是2.例題與應(yīng)用例 1： f(x) 是R上的奇函數(shù)f(x)= f(x+4)， x 0 ， 2 時(shí) f(x)=x ， 求 f(2007) 的值例2： 已知 f(x) 是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1 f(x)=1+f(x)， f(1)=2 ，求f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(251× 8+1)=f(1)=2例3：已知f(x) 是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x) ，且當(dāng) x 2,0 時(shí)， f(x)=

24、2x+1 ，則當(dāng) x 4,6 時(shí)求 f(x) 的解析式例 4：已知 f(x) 是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=1 ， f(999+x)=f(999 x) ，f (x)試判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性.例5：已知f(x) 是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x) ，且當(dāng) x 2,0 時(shí)， f(x) 是減函數(shù)，求證當(dāng)x 4,6 時(shí) f(x) 為增函數(shù)例 6： f(x) 滿足 f(x) =-f(6-x) ， f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000) ， a 5 ， 9 且 f(x)在 5 ， 9 上單調(diào) . 求 a 的值 .例7：已知f(x) 是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4 x) ， f(7+x)= f(7 x),f(0)=0 ，求在區(qū)間 1000， 1000 上 f(x)=0 至少有幾個(gè)根？解：依題意f(x) 關(guān)于x=2， x=7 對(duì)稱，類比命題2( 2)可知f(x) 的一個(gè)周期是10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0 ， 10 上，方程f(x)=0 至少兩個(gè)根又 f(x) 是周期為10 的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根，因此方程f(x)=0 在區(qū)間 1000， 1000 上至少有1+2 2000 =401 個(gè)根 .10例 1