高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 “空間直角坐標(biāo)系”學(xué)習(xí)指南

1、“空間直角坐標(biāo)系”學(xué)習(xí)指南 一、知識梳理： （一）空間直角坐標(biāo)系的建立1、建立空間直角坐標(biāo)系時，我們通常建右手直角坐標(biāo)系：在軸的端點(diǎn)處觀察，從軸到軸的最短旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針；2、在平面上畫空間直角坐標(biāo)系時，一般使。（二）空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) 1、空間的任一點(diǎn)與一個有序數(shù)組（點(diǎn)的坐標(biāo)）之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，。這里應(yīng)熟練掌握由坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置和求點(diǎn)的坐標(biāo)兩類問題； 2、坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的記法：平面上的點(diǎn)可記作 平面上的點(diǎn)可記作平面上的點(diǎn)可記作 軸上的點(diǎn)可記作軸上的點(diǎn)可記作 軸上的點(diǎn)可記作 3、空間直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對稱問題：關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn) 關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn) 關(guān)

2、于軸對稱的點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn) 關(guān)于軸對稱的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn). 4、空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：空間的兩點(diǎn) ，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為. （三）空間兩點(diǎn)間的距離公式 1、設(shè)，則；特別地，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為. 2、推導(dǎo)過程中體現(xiàn)了一種降維的思想：將三維空間的一個距離問題轉(zhuǎn)化到二維空間的距離問題。 二、典例解析：（一）求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)例1、在四棱錐中，底面是一個直角梯形，底面的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。【解析】由題意知，兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系（如右圖）。又故點(diǎn)又的中點(diǎn)，且，.【點(diǎn)悟】（1）建立空間直角坐標(biāo)系求點(diǎn)的坐標(biāo)時，要盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，出現(xiàn)三條

3、線相互垂直時，一般以這三條線為坐標(biāo)軸來建立坐標(biāo)系；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時要善于運(yùn)用圖形中的幾何關(guān)系。（二）空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例2、已知空間的兩點(diǎn)（1） 求兩點(diǎn)的距離；（2） 在軸上求一點(diǎn)使；（3） 在平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)等距離，求點(diǎn)的軌跡。【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可知；（2）設(shè)則由已知得，即，解得；所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（3）設(shè)則有，整理可得故點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)的一條直線。【點(diǎn)悟】由兩點(diǎn)間的距離公式建立等量關(guān)系，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用。（三）綜合應(yīng)用問題例3、如右圖，正方形，的邊長都是1，而且平面與平面互相垂直，點(diǎn)在上移動，點(diǎn)在上移動，若（）（1）求的長；（2）當(dāng)為何值時，的長最小。【解析】，兩兩垂直。以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系。易知最短且等于，此時，恰為的中點(diǎn)。【點(diǎn)悟】本題求解的方法比較多，但利用坐標(biāo)法是比較簡單易行的；在解決一些立體幾何問題時，如