函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開ppt課件

1、第一節(jié)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開第一節(jié)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 前面所研究的冪級(jí)數(shù)是前面所研究的冪級(jí)數(shù)是18世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒建立的，在分析學(xué)中，函數(shù)的泰勒展開起著很重建立的，在分析學(xué)中，函數(shù)的泰勒展開起著很重要的作用，但是它對(duì)函數(shù)的要求很高，而且只能要的作用，但是它對(duì)函數(shù)的要求很高，而且只能作局部逼近。作局部逼近。19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉研究熱傳世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉研究熱傳導(dǎo)方程時(shí)建立了把函數(shù)展為三角級(jí)數(shù)的方法，其導(dǎo)方程時(shí)建立了把函數(shù)展為三角級(jí)數(shù)的方法，其要求為函數(shù)黎曼可積或在反常積分意義下絕對(duì)可要求為函數(shù)黎曼可積或在反常積分意義下絕對(duì)可積，并且它可以整體逼近函數(shù)。積，并且它可以

2、整體逼近函數(shù)。一、傅里葉級(jí)數(shù)的引進(jìn)一、傅里葉級(jí)數(shù)的引進(jìn)在聲學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)中有非常重要的作用在聲學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)中有非常重要的作用在偏微分方程的研究中有著非常重要的應(yīng)用在偏微分方程的研究中有著非常重要的應(yīng)用物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的波物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的波_諧波諧波sin()At _,_,_.A振幅角頻率初相位振幅角頻率初相位在電子信號(hào)處理技術(shù)中常見的方波在電子信號(hào)處理技術(shù)中常見的方波,鋸齒波鋸齒波,三角三角波等波等,它們的合成和分解都大量用到三角級(jí)數(shù)它們的合成和分解都大量用到三角級(jí)數(shù).非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù):矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個(gè)疊加不同頻率正

3、弦波逐個(gè)疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 01( )sin()nnnf xAAn x若若有有 一般地，一般地，01(cossin)nnnAan xbn x ( )()f xFourier稱稱右右端端級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為所所確確定定的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)(1)什什

4、么么條條件件下下可可以以把把一一個(gè)個(gè)周周期期函函數(shù)數(shù)展展開開為為傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)？(2)如如何何展展開開？問題：?jiǎn)栴}： 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)2.2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.)2 , 0,2:上的積分等于零上的積分等于零或或（通常取為（通常取為度為度為任意兩個(gè)不同函數(shù)在長(zhǎng)任意兩個(gè)不同函

5、數(shù)在長(zhǎng)正交正交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)01( )(cossin),2( )kkkaf xakxbkx 若若有有且且右右端端級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)一一致致收收斂斂于于f f x x.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 ,220 a01( )af x dx.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxb

6、nxdxkxaknk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk, nb ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 10)sincos(2nn

7、nnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件四四. .傅里葉級(jí)數(shù)的收斂判別法傅里葉級(jí)數(shù)的收斂判別法 ( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf; ;( (2 2) ) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), , 收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;則則f(x)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在x x點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂, ,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00注注: :函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成冪級(jí)數(shù)的

8、條件低的多冪級(jí)數(shù)的條件低的多.01Fourier:(1)f(x),(cossin)2(3)nnnaanxbnx nnnn1.1.把周期函數(shù)展為級(jí)數(shù)步驟把周期函數(shù)展為級(jí)數(shù)步驟找出的間斷點(diǎn) 求出收斂于?找出的間斷點(diǎn) 求出收斂于?(2)(2)按公式算出a ,b ,寫出Fourier級(jí)數(shù)按公式算出a ,b ,寫出Fourier級(jí)數(shù)根據(jù)逐點(diǎn)收斂定理指出級(jí)數(shù)的收斂情況根據(jù)逐點(diǎn)收斂定理指出級(jí)數(shù)的收斂情況例例 1 在在為為上展開函數(shù)上展開函數(shù)xxf )(, 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù). 例例 2 以以 2為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 0,0,)(tEtEtumm 將其展開為傅立葉級(jí)數(shù)將其展開為傅立葉

9、級(jí)數(shù). ntdttuancos)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm),

10、2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 ntdttubnsin)(1), 2 , 1 , 0(0 n ntdttuancos)(1 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttubnsin)(1), 2 , 1 ,

11、 0(0 n ntdttuancos)(1otumEmE otumEmE 和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt例例 3 在在為為上展開函數(shù)上展開函數(shù)xxf )(2 , 0 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù). 22000112 , cos0naxdxaxxdx 解：解：2012 sinnbxnxdxn 11222 02 0 2( ) sinsinsin,f xxxkxkxxx該函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)圖形？該函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)圖形？ 11sin202kxkxkx 作業(yè)：作業(yè)：P126 2; 3; 5; 6; 例例 4 4

12、 將函數(shù)將函數(shù))0(1)( xxxf分別展開成分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). . 解解(1)(1)求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). .,)(進(jìn)行奇延拓進(jìn)行奇延拓對(duì)對(duì)xf 0sin)(2nxdxxfbn正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x(2)(2)求余弦級(jí)數(shù)求余弦級(jí)數(shù). .,)(進(jìn)進(jìn)行行偶偶延延拓拓對(duì)對(duì)xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5cos513cos31(

13、cos412122 xxxx)0( x15 (0,)2( )cos(1) ()nnf xanxx 例例應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)如如何何把把區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的可可積積函函數(shù)數(shù)延延拓拓后后，使使它它展展開開成成的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形如如設(shè)設(shè)f(x) 周期為周期為T,在在(-T/2,T/2)可積和絕對(duì)可積可積和絕對(duì)可積,01( ) (cossin)2nnnaf xan xbn x 設(shè)設(shè)/2/2/2/22( )cos,2( )sin.TnTTnTaf xn xdxTbf xn xdxT 其其中中階諧波階諧波角頻率，角頻率，nxnbxnaTnn sincos22Tx 令令，( )()( )22Tff x 則則為

14、為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，例例 6 6 設(shè)設(shè))(xf在在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展成傅氏級(jí)數(shù)將其展成傅氏級(jí)數(shù). 并求其傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)并求其傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).,sincosxixeix ieexeexixixixix2sin2cos則則稱為稱為歐拉公式歐拉公式. .歐拉公式歐拉公式揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系間的一種關(guān)系. .,sincosxixeix 也稱為也稱為歐拉公式歐拉公式. .五、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式五、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 2/2/2/2/), 2 , 1(,sin)(2), 2

15、, 1 , 0(,cos)(T2TTnTTnnxdxnxfTbnxdxnxfa 其中傅里葉系數(shù)公式其中傅里葉系數(shù)公式由函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)由函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)01( )(cossin)2nnnaf xan xbn x將歐拉公式代入得將歐拉公式代入得1( ),2in tnnf xc e就是就是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式.其中其中 ,nnnnnncaib caib互互 為共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù). 222( ),(0, 1, 2,)Tin tTncf t edtnT 傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式的系數(shù)也稱為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅也稱為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅.22=|nnnnnAab

16、c 階階諧諧波波的的振振幅幅在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)形形式式中中為為：ncn復(fù)復(fù)振振幅幅 的的模模恰恰為為 階階諧諧波波的的振振幅幅作業(yè)：作業(yè)：P127 4; 7; 8; 9; 11六、收斂判別法的證明六、收斂判別法的證明1、狄利克雷積分、狄利克雷積分( )- , f x 設(shè)設(shè)在在可可積積或或（在在反反常常積積分分意意義義下下）絕絕對(duì)對(duì)可可積積其傅里葉級(jí)數(shù)為其傅里葉級(jí)數(shù)為01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx 01(f( )=(cossin)2nnkkkaxakxbkx 其其部部分分和和為為s s-2 +1sin( - )12=( )-2sin2nt xf tdtt x +-2 +1sin

17、( - )12=( )-2sin2xxnt xf tdtt x -2 +1sin12=(x+u)2sin2nufduu 0-02 +1sin12=(+) (x+u)2sin2nufduu 02 +1sin12=( ()+ (- )2sin2nuf xuf x uduu 以上表達(dá)式都稱為狄利克雷積分以上表達(dá)式都稱為狄利克雷積分02 +12sin122sin2nuduu =10=121=(+cos)2nkku du 注意到注意到02 +1sin12s (f(x)- =( ()+ (- )-2 )2sin2nnusf xuf x usduu ( )= ( + )+ ( - )-2uf x uf x

18、us 記記f(x)則則的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在x x點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂的的問問題題歸歸結(jié)結(jié)為為s,取取到到適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡?使使得得02 +1sin12lim( )=02sin2nnuuduu 2、黎曼引理、黎曼引理( ) , u 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 a a b b 上上可可積積和和絕絕對(duì)對(duì)可可積積，則則以以下下極極限限式式成成立立：alim( )sin=0,bpupudu alim( )cos=0bpupudu (1)( )x局局部部性性定定理理：函函數(shù)數(shù)f f x x 的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)的的收收斂斂性性，只只與與該該點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分小小鄰鄰域域的的值值有有關(guān)關(guān)。利用黎曼引理可得傅里

19、葉級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)利用黎曼引理可得傅里葉級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)-(2),lim=lim( )cos=0,lim=lim( )sin=0,nnnnnnaf xntdtbf xntdt 可可積積和和絕絕對(duì)對(duì)可可積積函函數(shù)數(shù)的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)趨趨于于零零01112 +1(3)lim( )(-)sin=022sin2nnuuduuu 3.(Dini)迪迪尼尼判判別別法法及及其其推推論論：,( )= ( + )+ ( - )-2,( )0, ( )xs.uf x uf x ushuhf xu 迪迪尼尼定定理理：若若能能取取到到適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡膕 s 使使得得滿滿足足：對(duì)對(duì)某某正正數(shù)數(shù)在在上上，為為可可積積和和絕

20、絕對(duì)對(duì)可可積積，則則的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂于于:()( ),| ()- ( )|(0uh)(L,1)( )x( ).f xxuxf xu f xLuf xf x 推推論論 利利普普希希茨茨 LipschitzLipschitz 判判別別法法) )：若若在在 連連續(xù)續(xù) 并并且且對(duì)對(duì)于于充充分分小小的的正正數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)的的LipschitzLipschitz條條件件為為常常數(shù)數(shù)，成成立立，則則的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂于于,| ()- (0)|(0uh)(L,1)( +0)+ ( -0)( )x.2uf xu f xLuf xf xf x 更更一一般般地地，若

21、若對(duì)對(duì)充充分分小小的的成成立立為為常常數(shù)數(shù)，則則的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂于于一個(gè)重要推論一個(gè)重要推論( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf; ;( (2 2) ) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), , 收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;則則f(x)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在x x點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂, ,并且并且都存在都存在xxfxxfxxfxxfxx )0()(lim,)0()(lim00一、一致收斂性一、一致收斂性1( ) , f xa b （ ）設(shè)設(shè)周周期期為為2 2 的的可可積積和和絕絕對(duì)對(duì)可可積

22、積函函數(shù)數(shù)在在比比更更寬寬的的區(qū)區(qū)間間上上有有有有界界導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則f(x)f(x)的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在a,ba,b上上一一致致收收斂斂于于f(x).f(x).2( ) , f xa b （ ）設(shè)設(shè)周周期期為為2 2 的的可可積積和和絕絕對(duì)對(duì)可可積積函函數(shù)數(shù)在在比比更更寬寬的的區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)且且為為分分段段單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，則則f f( (x x) )的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在 a a, ,b b 上上一一致致收收斂斂于于f f( (x x) ). .0101( )(cossin)21()(cossin)2xxxnncccnxnncnaf x dxdxanx bnx dxa x

23、 canx bnx dx二、逐項(xiàng)求積定理二、逐項(xiàng)求積定理注意注意: :富里埃級(jí)數(shù)一般并不能保證可富里埃級(jí)數(shù)一般并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo)以逐項(xiàng)求導(dǎo). .但可以證明富里埃級(jí)數(shù)的如下逐項(xiàng)求但可以證明富里埃級(jí)數(shù)的如下逐項(xiàng)求導(dǎo)定理導(dǎo)定理. .三、逐項(xiàng)求導(dǎo)定理三、逐項(xiàng)求導(dǎo)定理1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；狄利克雷充分條件；4.函數(shù)的傅氏展開式；函數(shù)的傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)6. 傅氏級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式傅氏級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；

24、條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；