高三文科數(shù)列專題(師)

1、數(shù)列專題復(fù)習(xí)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念：1、等差數(shù)列的判斷或證明方法：定義法(an _an =d(d為常數(shù))或 an-an =an -an(n >2) 0 )4.1例：已知數(shù)列 an湎足a!=4,an=4522),令。=anan -2(1)求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列(2)求數(shù)列 a。的通項(xiàng)公式2、等差數(shù)列的通項(xiàng)：an =a1+(n1)d 或 an =am+(nm)d。如(1)等差數(shù)列4中，a1o=3。，a2。=50,則通項(xiàng)an=；(2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是3、等差數(shù)列的前 n和：8n = n(a1 +an), &=2+他二1)d。221,

2、八.*、3-15如(1)數(shù)列an中，an=an+(n 之2,” N ) ,an =萬，前 n 項(xiàng)和Sn =,則 a= 一 n=_(3.(1)答：a1=3, n=10)；(2)當(dāng)m+n = p+q時(shí)，則有am+an=ap+aq,特別地，當(dāng) m + n = 2p時(shí)，則有 am an = 2ap.如(1)等差數(shù)列an中，Sn =18,an+an+anq =3§ =1 ,則 n =如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為。如(1)在等差數(shù)列中，&1 = 22,則a6 =二、等比數(shù)列的有關(guān)概念：1、等比數(shù)列的判斷方法：定義法an二=q(q為常數(shù))，其中q #0,

3、 an ¥0或 (n之2)。 ananan(1)數(shù)歹U an中，Sn =4 ana+1 ( n 22)且 a1=1,若 bn = an書2an ,求證：數(shù)歹U bn 是等比數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項(xiàng)：an =a1qn°或an =amqnjm。如等比數(shù)列an中，a+an=66,a?an口 =128 ,前 n項(xiàng)和 Sn =126,求 n和 q.3、等比數(shù)列的前 n 和：當(dāng) q=1 時(shí)，Sn =na1；當(dāng) q#1 時(shí)，Sn = a1(1 q ) = a1 -anq 。1 q q 1 q q如(1)等比數(shù)列中，q = 2, Sd9=77,求23+26+ +a994、等比中項(xiàng)：若a,

4、A,b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等比中項(xiàng)。5.等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)m +n = p +q時(shí)，則有 amLan =apjaq，特別地，當(dāng) m + n = 2p時(shí)，則有 am Lan = ap .如(1)在等比數(shù)列an中，a3+a8 =124,a4a7 =512 ,公比q是整數(shù)，則a10(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5 a6=9,則Og 3 a 0" 3 g +娜3 0a =如(1 )已知a >0且a。1 ,設(shè)數(shù)列xn滿足10 gx科=什lo g< n(n w N *),且 x1 +x 2 +x 1 00=10。,則 x101 +x102 +1"

5、 *X200 =.(2)在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30 =13&0,S10 +S30 =140 ,則S20 的值為三、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、公式法_；S1(n=1).an ，1sn - &/n 之 2)例 已知數(shù)列an滿足a1 =1,Sn =2an七貝USn = 二、累加法例已知數(shù)列七滿足an+=an+2n+1, a1 =1,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列%滿足an4f=an+2M3n+1, a1 = 3 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。三、累乘法例 已知數(shù)列an滿足an平=2(n+1)5n父小，4=3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。四、取倒數(shù)法an 1例 已知數(shù)列an中，

6、其中ai =1,且當(dāng)n>2時(shí)，an =一,求通項(xiàng)公式an。 2an1五、代值找規(guī)律1 1 "例 已知數(shù)列an中，其中an=,4= ,則a8 =1-an2六、待定系數(shù)法例 已知數(shù)列an滿足an書=2an +1,且a1 =1 ,求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列an滿足an書=3an+1,且a1=1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式?！痉此?xì)w納】遞推關(guān)系形如“an+ = pan +q”適用于待定系數(shù)法或特征根法：令an書九=p(an _h)； 在前書=pan +q 中令 an噌=an =x= x = q,二 an由一 x = p(an - x);1 - p由 an 由=pan +q得 an =

7、 Pan+4，, Hn 由 一Hn = Pn -Hn四、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式：Sn = "(& +an) = na + n(n1) d2 23 a(q=1)2、等比數(shù)列求和公式：Sn =g(1 qn) _ a 一anq/ 一、H一(q 廠 1)1 1-q 1-q例：已知 an是等差數(shù)列，bb是正項(xiàng)等比數(shù)列，且 a1 =b =2a =14h =a3.(1)求an,bb的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列cn =an +bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn二、錯(cuò)位相減法求和這種方法主要用于求數(shù)列 的前n項(xiàng)和，其中 、 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.求 和時(shí)

8、一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q ；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。例：1.已知等差數(shù)列。的前n項(xiàng)和滿足S=0, S5=- 5(1)求的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列 (2-) 2n的前n項(xiàng)和.nln - 1)解：(1)設(shè)的公差為d,則1+ 小 ,3%+3 扣 0由已知可得, i解得31=1, 1.故的通項(xiàng)公式為2- n.5a1+10d=- 5L 1(2)令(2-) 2?2n.令 12+11?21+2?22+ (nT) ?2n 1?2n有 21?22+2?23+ -+ (n-1) ?2?21.兩式相減得：21+22+ +2nn?21=2'l

9、- 2) n?21=-2+ (1 n) ?211-2貝U 2+ (n-1) ?212.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，a1=1, 1=21 (nCN*).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2n+l(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.an解：(1) .1=21 (nC N), 2-1+1 (n>2),兩式相減得：1=3 (n>2),由 1=21 得：a2=2a1+1=3,a2=3a1 滿足上式，.數(shù)列。是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，. 3n-1;2n+l 2n+l2n-Jn+13仇一工礦-1，3 3 322n- 12n+l3L1311 '兩式相減得:2 z 1 13+2 (且r +一33 323n 1)2

10、n+l2n+4=4 3n3n63n-三、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列， 也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開， 可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可11例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1,+4,)+ 7, ；解：設(shè)Sna1二(1 1)(4)(Sn二 (11 aa1+ *+2a1-2 a1n -1a= 1 時(shí),當(dāng)a#1時(shí),7)(占 3n-2)(1 4 7 3n _ 2)a=n +(3n-1)n = (3n+1)n1-1a1an (3n - 1)n a - a十=1 .na -1.(3n-1)n2例1.已知an是等比數(shù)列，數(shù)列滿足a1=3,&=24，滿足bn滿足 b =1,b4 =七且an +bn是等比數(shù)列。(1)求數(shù)列an和bn通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合， 使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如:an1n(n 1)=11n n 1an= -(- n(n k) k nan=1n(n -1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)