不同坐標(biāo)系之間的變換

1、§10.6不同坐標(biāo)系之間的變換10. 6. 1歐勒角與旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)于二維直角坐標(biāo)，如圖所示，有:COS0-smOsin&COS& 兒（10-8）在三維空間直角坐標(biāo)系中，具有相同原點(diǎn)的兩坐標(biāo)系間的變換一般需要在三個(gè)坐標(biāo)平面上，通過(guò)三次旋轉(zhuǎn)才能完成。如圖所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)次序?yàn)? 繞OZ旋轉(zhuǎn)角，OX,OY旋 轉(zhuǎn)至OXOY 繞O丹旋轉(zhuǎn)匂角OX °, OZ旋 轉(zhuǎn)至 ox2,oz° 繞OX2旋轉(zhuǎn)£x角，OY°,OZ°旋 轉(zhuǎn)至OYjOZ055芒z為三維空間直角坐標(biāo)變換的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，也稱歐勒角，與它相對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為:100/?3x）二

2、0COS6sin0 -sinxCOS6COSgy 0 singy7?2 （切）=010sin 20COSgyz（10-10）（10-11）cosz sin 8Z 07?3(£z)= sinzCOSz令 R（）= Rx ）尺2 （勺）3 （*Z ）則有：%丫2=R (sx )R2 (勺)R3 (sz )=/?0Z-Z-代入:COS® COS£zR = -cosf v sin£z +sinv sinr cos£zsinsin e7 + cos£v sin sY coszcos® sin 巳cos£x cos£

3、z + sin £x sin sY sin s7-sin£x cos£z +cos£% sin£$ sin s7(10-12)(10-13)(10-14)-sin£rsinx cos%,COS£V cos®一般5疋丫疋z為微小轉(zhuǎn)角,可取:COS6 = COSEy = COSZ = 1 sin£*x sin£*x二 £，sin匂二匂，sin = 8a sin sY = sin £x sin 邑=sin 匂 sin 乞=0于是可化簡(jiǎn)SYR°Sx£x1(10-1

4、6)上式稱微分旋轉(zhuǎn)矩陣。10. 6. 2不同空間直角坐標(biāo)之間的變換當(dāng)兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)換算既有旋轉(zhuǎn) 又有平移時(shí)，則存在三個(gè)平移參數(shù)和三個(gè)旋轉(zhuǎn)參 數(shù)，再顧及兩個(gè)坐標(biāo)系尺度不盡一致，從而還有一 個(gè)尺度變化參數(shù)，共計(jì)有七個(gè)參數(shù)。相應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為:°巧丫2=(1 + m)+£z°£y£x£yax0"£x+AK00乙AZ。(10-17)上式為兩個(gè)不同空間直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換模型，其中含有7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)， 為了求得7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要3個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)多于3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可 按最小二乘法求得個(gè)參數(shù)的最或是值。10. 6. 3

5、不同坐標(biāo)系的變換對(duì)于不同坐標(biāo)系的換算，除包含三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個(gè) 尺度變化參數(shù)外，還包括兩個(gè)地球橢球元素變化參數(shù)，以下推導(dǎo)不同坐標(biāo) 系的換算公式。由(7-30)式(N + H)cosBcosLY(N + /)cosBsinLZN(l 護(hù))+ /7飛血3取全微分得式中axdL葩-aLaz-aL- 一dXdYdZ(10-19)一(N + H)cosBsin 厶一 (M +H)sinBcos LcosBcosL(N + H)sinBcos 厶(M +H)sinBsinLcosBcosL0(M + H)cosBsinBX 一 Qy 一 Qz 一 aax喬竺加az喬一 -AcosBcosL

6、a一cosBsin L(l-e2)sinfia(10-20)cosBcosLsin2 B-a"cosBsin Lsin2 B -a"sin B(1 + cos2 B-e sin2 B) -a(10-21)上式兩端乘以廠并加以整理得:clLdX-J-AdadB=廠'clYdadHdZ(10-22)式中dXX2XdY=乙dZZ2ZdLl2厶dB§dHH顧及(10-21)式及sin LcosL0(N + /)cosB sin BcosL(N + H)cosB sin Bsin LcosBM+H cosBcosLM+H cosBsin LM+H sin B(10-

7、22)式可寫為:(1LdB =dH(10-23)sin L(N + H)cosB 卩sin BcosL “一pM+HcosBcosLcosL(N + H)cosB 卩sin Bsin L “pM+HcosBsin LcosBPM+H sin BAX0紜AZ。/gBcos L-sin LN(r sin BcosBsin LfgBsin LcosLNe sin BcosBcosL-100£x£Z0e2 smBcosBpffM+H7V(l-e2sin2B) + HN ,(T sin BcosB/ (M+H)a(l e2sin2B) a0M(2-g2sin2B)(M+H)(l_a)sin BcosB/ZdadaM-a(l-e2sin2B)sin2B(10-24