2020年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文科)含答案解析

1、2020年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1 .已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A=2 , 3, 5, 6,集合 B=1 , 3, 4, 6,7,則集合 AH?UB=（）A. 2, 5B. 3, 6C. 2, 5, 6D .2,3, 5, 6, 82 .下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A . y=x3B . y= _ itC.月anxD. Rs3 .某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示，則甲、乙

2、兩名運動員的中位數(shù)分別為（）A. 19、13B.13、19C. 20、18D. 18、 20第3頁(共18頁)4.已知直線m, n和平面a, m? a, n II m,那么 n? a 是 m / a 的(A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5 .已知雙曲線的一個焦點 F,點P在雙曲線的一條漸近線上，點 。為雙曲線的對稱中心, 若aFP為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A. V6 B. V2 C. 2D. VI叼+&6 .已知等比數(shù)列an中，a1=1,且一7一"7一 = 8 ,那么S5的值是（）al + a2+a5A. 15B

3、. 31C. 63D. 64/ACB=90 °,側(cè)面 PABL底面x, y, z分別是（）7 .如圖，已知三棱錐 P-ABC的底面是等腰直角三角形，且ABC , AB=PA=PB=4 ,則這個三棱錐的三視圖中標注的尺寸A. 2<3, |2V2, 2B. 4, 2, 2V2 C. i2V3, 2, 2D. 2VL 2, 2V28 .經(jīng)濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格 (自變量)，而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量(因變量).某類產(chǎn)品的市場供求關系在不受外界因素(如政府限制最高價格等)的影響下，市場會自發(fā)調(diào)解供求關系：當產(chǎn)品價格P1低于均衡價格P0時，需求量大于供應量，價格會上升

4、為P2；當產(chǎn)品價格P2高于均衡價格P0時，供應量大于需求量，價格又會下降，價格如此波動下去，產(chǎn)品價格將會逐漸靠進均衡價格P0.能正確表示上述供求關系的圖形二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9 .在銳角4ABC中，角A, B, C所對應的邊分別為 a, b, c,若b=2asinB,則角A等10 .已知 4ABC 中，AB=4 , AC=3 , /CAB=90°,則 BA+BC=.11 .已知圓C: (x- 1) 2+ (y-2) 2=2,則圓C被動直線l: kx - y+2 - k=0所截得的弦 長.12 .已知x>1,則函數(shù) 聲:骨丁+K的最小值為 .¥)支

5、13 .已知x, y滿足'X25 ,目標函數(shù)z=mx+y的最大值為5,則m的值為氏十V<314 .函數(shù) f (x) =cosx-2x 2 X-b (bR).當b=0時，函數(shù)f (x)的零點個數(shù) ；若函數(shù)f (x)有兩個不同的零點，則 b的取值范圍 三、解答題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15 .已知函數(shù) f(k) =T/3sinKcosxtsin _ (I )求函數(shù)f (x)的最小正周期；n tt(n)求f (x)在區(qū)間t=丁上的最大值和最小值.16 .如圖是根據(jù)某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計的某一年1月到12月(共12個月)的山地自行車銷售量(1k代表1000輛)

6、折線圖，其中橫軸代表月份，縱軸代表銷售量，由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題：(I )在一年中隨機取一個月的銷售量，估計銷售量不足200k的概率；(n)在一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量，估計這連續(xù)兩個月銷售量遞增(如2月到3月遞增)的概率；(DI)根據(jù)折線圖，估計年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線線之間(只寫出結果，不要過程).17 .已知在4ABC中，/B=90。，D, E分別為邊BC, AC的中點，將4CDE沿DE翻折后, 使之成為四棱錐C -ABDE (如圖).(I )求證：DE，平面BC'D;(n )設平面 C DE n平面ABC =l,求證：AB / l ；(出)若C'D

7、BD, AB=2 , BD=3, F為棱BC'上一點，設與二二九，當入為何值時，三棱車B C - ADF的體積是1 ?18 .已知函數(shù) 汽工)二三數(shù)列an滿足：社41二£仁-)卜£ N")(I )求數(shù)列an的通項公式；(n )設數(shù)列an的前n項和為Sn,求數(shù)列 +)的前n項和Tn.19 .已知函數(shù) 包兀冷3-1切.(I )求曲線C： y=f (x)在x=1處的切線l的方程；(n )若函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值范圍；(出)當m> - 1時，(I )中的直線l與曲線C: y=f (x)有且只有一個公共點，求 m的取值范圍.£

8、;1屋b220 .已知橢圓C: 士二+工廠過點A (2, 0),離心率k耳，斜率為k (0v k司)直線l過點M (0, 2),與橢圓C交于G, H兩點(G在M , H之間)，與x軸交于點B .(I )求橢圓C的標準方程；(n)P為x軸上不同于點 B的一點，Q為線段GH的中點，設HPG的面積為Si, BPQ面積為S2,求的取值范圍第7頁（共18頁）2020年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項.1.已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A=2 , 3, 5

9、, 6,集合 B=1 , 3, 4, 6,7,則集合 AA?uB=（）A. 2, 5B. 3, 6C. 2, 5, 6D .2,3, 5, 6, 8【考點】交、并、補集的混合運算.【分析】由全集U及B,求出B的補集，找出A與B補集的交集即可；【解答】解：二.全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,集合 A=2 , 3, 5, 6,集合 B=1 , 3,4, 6, 7, ?uB=2 , 5, 8,則 A H?uB=2 , 5,故選：A.2.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A . y=x3B .JL.C.月anxD.【考點】函數(shù)單調(diào)"的判斷與證明；函數(shù)奇

10、偶性的判斷.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即可.【解答】 解：A. y=x3是奇函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，滿足條件，B. y二-3r是奇函數(shù)在每個區(qū)間上為是增函數(shù)，但其定義域不是增函數(shù)，不滿足條件. lKlC. y=tanx為奇函數(shù)，在每個區(qū)間上為是增函數(shù)，但其定義域不是增函數(shù)，不滿足條件,D. ynk1rl為偶函數(shù)，在定義域上不是增函數(shù).故選：A3 .某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運動員的中位數(shù)分別為（）57334(527 8 5I 1 3 2 0I 0 0A.19、13B.13、19C. 20、1

11、8D, 18、20【考點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【分析】把兩列數(shù)據(jù)按照從小到大排列，數(shù)據(jù)有 11個.最中間一個數(shù)字就是中位數(shù)，把兩 列數(shù)據(jù)的中位數(shù)找出來.【解答】解：由莖葉圖知甲的分數(shù)是 6, 8, 9, 15, 17, 19, 23, 24, 26, 32, 41,共有11個數(shù)據(jù)，中位數(shù)是最中間一個19,乙的數(shù)據(jù)是 5, 7, 8, 11, 11, 13, 20, 22, 30, 31, 40共有11和數(shù)據(jù)，中位數(shù)是最中間一個13,故選A .4 .已知直線 m, n和平面a, m? a, n/m,那么n? a是m/ a的()A .充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件

12、D.既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】 直線m, n和平面a, m? % n/m,由n? a句得：m / a；反之不成立，可能: n? a,或 n / a.【解答】 解：直線 m, n和平面a, m? a, n/m,那么n? a ? m / a 反之不成立，可能：n? a,或n/ a. n? a是m/ a的充分不必要條件.故選：A.5 .已知雙曲線的一個焦點F,點P在雙曲線的一條漸近線上，點。為雙曲線的對稱中心，若aFP為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為()A.&B.也C. 2D.歷【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).2 I 2上【分析】設雙曲線的方程為

13、三-上h=1 (a, b>0), P在漸近線y-x上，aaFP為等腰直 a b白角三角形，只能是 ZOPF=90 MZOFP=90 °,均有/POF=45°,運用直線的斜率公式和離心 率公式，計算即可得到所求值.【解答】解：設雙曲線的方程為-y-7=1 (a, b>0),bF (c, 0), P 在漸近線 y=x ±, OFP為等腰直角三角形，只能是 ZOPF=90°ZOFP=90 °,均有 / POF=45 °,即有與=1，即 a=b, c=Va2 + b2=Va,貝U e= 一 a故選：B.6.已知等比數(shù)列an中，ai

14、=1,且a4ag+aa + a2+ a-=8 ,那么S5的值是（A. 15B. 31C. 63D. 64【考點】 等比數(shù)列的通項公式.【分析】先求出公比，再根據(jù)求和公式計算即可.之口：注5+ a 5【解答】 解：設公比為q, ai=1,且 =8,Ql + an+afr347=q3=8q +q1+q+q".q=2,S5=1C1- 25)1-2=31故選：B.7.如圖，已知三棱錐 P-ABC的底面是等腰直角三角形，且 /ACB=90 °,側(cè)面PABL底面ABC, AB=PA=PB=4 .則這個三棱錐的三視圖中標注的尺寸x, y, z分別是（）A. 2<S, 2V2, 2B

15、. 4, 2, 2V2 C. |2/3, 【考點】簡單空間圖形的三視圖.2, 2D. 2肥,2,2肥【分析】根據(jù)題意，結合三視圖的特征，得出x是等邊4PAB邊AB上的高，y是邊AB的半，z是等腰直角4ABC斜邊AB上的中線，分別求出它們的大小即可.【解答】 解：:三棱錐P-ABC的底面是等腰直角三角形，且ZACB=90 °,側(cè)面 PABL 底面 ABC , AB=PA=PB=4 ;，x 是等邊 4PAB 邊 AB 上的高，x=4sin60 =23,1y 是邊 AB 的一半，y=yAB=2 , z是等腰直角 ABC斜邊AB上的中線，z=-AB=2 ;x, y, z 分別是 2/3, 2

16、, 2.故選：C.8 .經(jīng)濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格 （自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量）.某類產(chǎn)品的市場供求關系在不受外界因素（如政府限制最高價格等）的影響下，市場會自發(fā)調(diào)解供求關系：當產(chǎn)品價格Pi低于均衡價格P0時，需求量大于供應量，價格會上升為P2；當產(chǎn)品價格P2高于均衡價格P0時，供應量大于需求量，價格又會下降， 價格如此波動下去，產(chǎn)品價格將會逐漸靠進均衡價格P0.能正確表示上述供求關系的圖形是（）第#頁（共18頁）【考點】函數(shù)的圖象.【分析】注意到縱軸表示自變量，而用橫軸來表示因變量，故分析應由y軸分析X軸，從而利用排除法求得.【解答】解：.當產(chǎn)品價格Pi

17、低于均衡價格P0時，需求量大于供應量，排除B、C；且價格較低時，供應增長較快，價格較高時，供應增長慢，故排除A,故選D.、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9 .在銳角4ABC中，角A, B, C所對應的邊分別為 a, b, c,若b=2asinB,則角A等于30：【考點】正弦定理.【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinB不為0得出sinA的值，由A為銳角三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù).【解答】解：利用正弦定理化簡b=2asinB 得：sinB=2sinAsinB ,sinB 加，sinA=. A 為銳角，.-.A=30第11頁(共18頁)故答案為：30

18、76;10 .已知 4ABC 中，AB=4 , AC=3 , /CAB=90°,則 RM+BC= 16 .【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】使用勾股定理和余弦函數(shù)的定義計算BC和cosB,代入向量的數(shù)量積公式計算.【解答】解：由勾股定理得 bc=b2C工5,cosB=BC "5一一41 BABC=AB XBC >CosB=4x5X=16.5故答案為：16.11.已知圓C： (X- 1) 2+ (y-2) 2=2,則圓C被動直線l： kx - y+2 - k=0所截得的弦長_ 2sqrt2.【考點】 直線與圓的位置關系.【分析】圓C: (x- 1) 2+ (y-2)

19、 2=2的圓心C (1, 2),半徑r=/2 ,再推導出直線l： kx y+2-k=0過圓心C (1, 2),由此能求出圓 C被動直線l: kx-y+2-k=0所截得的弦長.【解答】解：圓C： (x-1) 2+ (y-2) 2=2的圓心C (1, 2),半徑二五，動直線 l： kx-y+2 - k=0 整理，得：(x-1) k+2 - y=0,| 貨 一 1=C解方程組 n ，得x=1 , y=2 , 直線 l: kx - y+2 - k=0 過圓心 C (1, 2), 圓C被動直線l: kx - y+2 - k=0所截得的弦長為:272.故答案為：2-,/2.12 .已知x>1,則函數(shù)

20、 行 1 1 +工的最小值為3 .【考點】基本不等式.【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】B： ->1, .-1>0.則函數(shù)廠Lj-+x=+ (x-1) +1%(工-1)，一二7+1=3,當且僅當x=2時取等號. X - 1 K - 1VK-1則函數(shù)y=_的最小值為3.故答案為：3.13 .已知x, y滿足，二,目標函數(shù)z=mx+y的最大值為5,則m的值為 frac73 x十3【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，分類討論得到最優(yōu)解, 聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案.【解答】解：由約束條件 戈作出可行域如圖,

21、聯(lián)立圻”解得A(4'三)，肝火322聯(lián)立I*”,解得B (1, 2), | x+y=3z有最大值為日特二5,解得化目標函數(shù) z=mx+y 為 y= mx+z ,當-mw- 1,即m高時，直線過A時在y軸上的截距最大, m=當-1v- m<2,即-2前<1時，直線過B時在y軸上的截距最大，z有最大值為m+2=5 , 解得m=3 (舍).一 m=故答案為:14 .函數(shù) f (x) =cosx-2x 2 x-b (bR).當b=0時，函數(shù)f (x)的零點個數(shù) 0 :若函數(shù)f (x)有兩個不同的零點，則 b的取值范圍(-00, 1).【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定

22、定理；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】 求出函數(shù)的值域，即可推出函數(shù)的零點的個數(shù). 利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求解即可.【解答】 解：當 b=0 時，函數(shù) f (x) =cosx - 2x- 2 x. . 2x+2 x/2V2s> 2 -二22x-2 x<- 2, cosxW ,1 .f (x)=cosx-2x-2 x<- 1.函數(shù)f (x)的零點個數(shù)為0. 函數(shù)f (x)=cosx- 2x-2 x-b,函數(shù)是偶函數(shù)，可得 f' (x) = - sinx - 2xin2 - 2 xln2 , x>0 時，2xln2+2 xln2%ln2 > 1.-

23、2xln2 - 2 xln2 V - 1-sinx - 2xin2 - 2 xln2<0,如圖：若函數(shù)f (x)在x>0時是減函數(shù)，XV0時是增函數(shù)，x=0函數(shù)取得最大值：-1.函數(shù)f(X)有兩個不同的零點，則 b的取值范圍(-8, - 1)故答案為：0;(一j一1).(I )求函數(shù)f (x)的最小正周期；n tt(n)求f (x)在區(qū)間丁，一上的最大值和最小值.【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象.【分析】(I )化簡f (x),從而求出周期t； ( n)根據(jù)x的范圍，求出2x-的范圍,從而求出f (x)的最大值和最小值即可.【解答】解：f(x) =-51112s -

24、cos2i =sin(2下一2H(I )n-=冗；(n )即稱口-胃)(1，兀由此得到：f (x) max=1,此時機;出口了，此時7L16.如圖是根據(jù)某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計的某一年1月到12月（共12個月）的山地自行車銷售量（1k代表1000輛）折線圖，其中橫軸代表月份，縱軸代表銷售量，由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題：（I ）在一年中隨機取一個月的銷售量，估計銷售量不足200k的概率；（n ）在一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量，估計這連續(xù)兩個月銷售量遞增（如2月到3月遞增）的概率；（出）根據(jù)折線圖，估計年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線線之間（只寫出結果，不要【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概

25、率；頻率分布折線圖、密度曲線.【分析】（I ）設銷售量不足200k為事件A,這一年共有12個月，利用列舉法能求出銷售 量不足200k的概率.（n ）設連續(xù)兩個月銷售量遞增為事件B,利用列舉法能求出這連續(xù)兩個月銷售量遞增（如2月到3月遞增）的概率.（出）由折線圖，估計年平均銷售量在200k250k這兩條水平線之間.【解答】（本小題共13分）解：（I ）設銷售量不足200k為事件A,這一年共有12個月，其中1月，2月，6月，11月共4個的銷售量不足 200k,所以產(chǎn)（4二擊總.（II ）設連續(xù)兩個月銷售量遞增為事件B ,在這一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量，有 1, 2 月；2, 3 月；3, 4

26、月；4, 5 月；5, 6月；6, 7月；7, 8月；8, 9月；9, 10 月;10, 11 月;11, 12月共11種取法，其中2, 3月，3, 4月；4, 5月；6, 7月；7, 8月；8, 9月；12, 12月共7種情況的銷售量遞增，所以P（B）二擊.（出）在200k250k這兩條水平線之間.17.已知在4ABC中，/B=90°, D, E分別為邊 BC, AC的中點，將 ACDE沿DE翻折后, 使之成為四棱錐C -ABDE （如圖）.（I ）求證：DE，平面BC'D；（n ）設平面 C DE n平面ABC =l,求證：AB / l;（出）若C'DBD, AB

27、=2 , BD=3, F為棱BC'上一點，設 B,二九,當 入為何值時，三FC棱車B C - ADF的體積是1 ?【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定.【分析】（I）由DE/AB, ABLBC可知DELBC,故翻折后 DE，BD , DEXCD,得出DEL平面 BCD；（II ）由DE / AB可知AB /平面CDE,由線面平行的性質(zhì)即可得到AB / 1;/DC'F=45°, BC'=3/,代入（川）VC adf=Va DCF等Sac，df 抽，當 cdbd 時, 體積公式計算CF,從而得出 入的值.【解答】 證明：（I） ./B=90。，D,

28、 E分別為BC, AC的中點 . DE / AB ,.C'DXDE, BD IDE,又C'D ABD=D , .DE,平面 BC'D,（n） DE/AB, DE?面 C'DE, AB?面 C'DE,.AB / 面 C'DE,又 AB?面 ABC',面 ABC' n面 C'DE=1 , .AB / 1.解：（III） DE，平面 BC'D, DE/AB,.AB，平面 BC D,VC ADF=V A DCDF .鄴=1，2一Sacdf= 2 -.CDXBD , CD=BD=3 ,，/DCB=45。，CB=3®

29、 i3SacdfXC7FXsi口4S* =：.解得 C F=6，BF=BC - C F=2照.EF , = fc = =2.2工+18.已知函數(shù)二，:二-,數(shù)列an滿足:產(chǎn)，%時（證r）第13頁（共18頁）(I )求數(shù)列an的通項公式；(n )設數(shù)列an的前n項和為Sn,求數(shù)列的前n項和Tn.【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.【分析】(I)通過代入f(k)二四L二zJ可知 公差均為2的等差數(shù)列，計算即得結論；(n)通過(I)及等差數(shù)列的求和公式，裂項可知 加即得結論.%+1 - %=2 ,進而可知數(shù)列an是以首項、t女M七一盍,進而并項相【解答】解：(I) 式6二女L二狂,arL4.i ()

30、=2+ 即 an+i - an=2,又ai=2,，數(shù)列an是以首項、公差均為 2的等差數(shù)列,an=ai+ (n1) d=2+2 (n1) =2n;(n) .數(shù)列an是等差數(shù)列,jn '_19.已知函數(shù)一丁一 Ini.(i )求曲線C： y=f (x)在x=i處的切線1的方程；(n )若函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值范圍；(出)當m> - 1時，(I )中的直線1與曲線C： y=f (x)有且只有一個公共點，求 m的 取值范圍.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】(I )求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切點坐標，向量 k=f'(1

31、) =m-2,求出切線方程即可；(n )求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 m的符號結合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從 而求出m的具體范圍；(出)根據(jù)直線和曲線 C的關系，得到I2- (d- 1口計加工2, 1>0 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 m的范圍即可.【解答】 解：（I ） （X）=IDK - 1, X>0K因為f二工1,所以切點為（1, y-D.又 k=f' （1） =m - 2,所以切線l； y-（羨缶- 2）（耳一 1）,即1】尸山- 2）口一 口 .（n ）當 m旬時，f' （x） V 0, 所以f （x）在（0, +8）上單調(diào)遞減，符合題意. 當m>0

32、時，設y=mx2-x-1,該拋物線開口向上， 且 =1+4m >0,過（0, - 1）點，所以該拋物線與x軸相交，交點位于原點兩側(cè)，f （x）不單調(diào)，不符合題意，舍去. 綜上m碼.（m ）因為直線1與C有且只有一個公共點，所以方程一工-lnx-（即 2）+卬2 2 ， 即稱向- 1） 乂- 1力什%且二0有且只有一個根.g（x）=yx2- （m- Dx - lnx + m 2, x>0 ,則屋（k），x 57）-上二口、一 O 、圓迫XKX當m涮時，因為 x>0,所以 mx+1 >0,令 g' (x) >0,解得 x>1;令 g' (x) v 0,解得 0v xv 1 ；第15頁（共18頁）所以g （x）在（1, +8