二次函數(shù)的面積問題

1、決勝2020中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品專題17二次函數(shù)的面積問題【考點1二次函數(shù)的線段最值問題【例11如圖，拋物線 y=ax，bx+c經(jīng)過A (-1, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三點，D為直線BC上方拋物線上一動點， DE XBC于點E.(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)求線段DE長度的最大值.【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得判定與性質(zhì)，可得 DE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.DM ,根據(jù)相似三角形的a b c= 0解：(1)由題意得，16a 4b c= 0,c= 3_ 3a4解得， b=

2、9 ,4c= 3拋物線的函數(shù)表達式為 y=- 3x2+9x+3;44(2)過點D作DM ±x軸交BC于M點，由勾股定理得，BC = J0c2 OB2 = 5,設(shè)直線BC的解析是為y=kx+b,口 k 解得 4 ,b 3直線BC的解析是為y=- 3x+3,4設(shè)點M的坐標(biāo)為(a, - a+3),4DM = ( - a2+ a+3) ( a+3) = °a2+3a,4444/ DME = / OCB , / DEM = / BOC , . DEM BOC ,DE BODE4一,即=DM BCDM5解得，DE =4 DM5.DE 3 a2+生a 3555(a 2)2+12當(dāng)a= 2

3、時，DE取最大值，最大值是125【點睛】 本題考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵.【變式1-U.已知拋物線 y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1,且mw。(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)試說明拋物線與直線有兩個交點；【解析】(1)化為頂點式即可求頂點坐標(biāo) ；(2)由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1 ,整理得， mx (x+1 ) =0,即可知拋物線與直線有兩個交點；【詳解】解：(1) . y=mx2+2mx+m-1 = m (x+

4、1) 2-1,拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,-1).(2)由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1 = mx+m-1,mx2+ mx=0, mx (x+1) =0,m WQx1=0 , x2=-1 .拋物線與直線有兩個交點.【變式1-2如圖1,已知拋物線y= - x2+mx+m - 2的頂點為A,且經(jīng)過點B (3, -3).(1)求頂點A的坐標(biāo)(2)若P是拋物線上且位于直線 OB上方的一個動點，求 OPB的面積的最大值及比時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2,將原拋物線沿射線 OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C, D兩點,請問：在拋物線平移的過

5、程中，線段 CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.Va【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；(2)過點P作y軸的平行線交 OB與點Q,求出直線BP的解析式，表示出點 積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點坐標(biāo)；(3)根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得定理，可得答案.Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面C、D點的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股解：(1)把 B (3, 3)代入 y= x，mx+m2得：3= - 32+3m+m2,解得m=2,1- y= - x2+2x= - ( x+1) 2+1 ,頂點A的坐標(biāo)是(-1

6、, 1);(2)過點P作y軸的平行線交 OB與點Q.直線OB的解析式為y=-x,故設(shè) P (n, - n2+2n), Q (n, - n),1 1 PQ= - n2+2n - ( - n) = n2+3n ,國 2”、Saopb=( - n +3n)=-27+當(dāng)n=工時，Szxopb的最大值為此時y= n2+2n嚀，P (32');(3) .直線OA的解析式為y=x,可設(shè)新的拋物線解析式為y= - ( x - a) 2+a,I尸力. 一 ( x - a) 2+a=x,xi=a, x2=a 1,即C、D兩點間的橫坐標(biāo)的差為1,- CD=四【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的

7、面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一 次函數(shù)的交點問題，難度適中，是常見題型【考點2二次函數(shù)的面積定值問題【例2】已知二次函數(shù)y x2 2mx 4m 8.(1)圖象經(jīng)過點(1,1)時，則m ；(2)當(dāng)x 2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求 m的取值范圍；(M, N兩點請說明理由.(3)以拋物線y x2 2mx 4m 8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN在拋物線上)，請問： AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是， 請求出這個定值； 若不是，【答案】(1) 4； (2) m>2； (3) AMN的面積是與m無關(guān)的定值，Saamn = 3/3.【解析】【分析】(1)

8、將點(1,D代入二次函數(shù)解析式即可求出m;(2)求出二次函數(shù)的對稱軸為 x=m,由拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；(3)在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，可得到4AMN的面積是與m無關(guān)的定值.【詳解】解：(1)將點(1,6代入 y x2 2mx 4m 8可得：112m 4m 8,解得：m=4；(2)二次函數(shù)y x2 2mx 4m 8的對稱軸是：x=m,當(dāng)xW2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，m>2 ；(3) AMN的面積是與m無關(guān)的定值；如圖：頂點A的坐標(biāo)為(m, -m2+4m-8), AAMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，

9、MN交對稱軸于點B,AB -. tan / AMB = tan60 =_ 33BM 一 ，AB = BM = BN ,設(shè) BM = BN = a,貝U AB =6a,，點 M 的坐標(biāo)為(m+a, J3a-m 2+4m-8 ),丁點M在拋物線上，石a-m2 + 4m-8= (m+a) 2-2m (m + a) + 4m-8 ,整理得：a2-V3a：0,解得：a=值或a= 0 (舍去)，.AMN是邊長為2J3的正三角形,3J3 ,與m無關(guān).【點睛】 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用【變式2-1如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點

10、，A點坐標(biāo)為(-1,0), OC=2 , OB=3 ,點D為拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式;P點坐標(biāo);(2) P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以 B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求【答案】(1) y= - - x2+ x+2 ; (2)見解析；(3)見解析.33分析：(1)由OC與OB的長，確定出B與C的坐標(biāo)，再由 A坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式即可；(2)分三種情況討論：當(dāng)四邊形 CBPD是平行四邊形；當(dāng)四邊形 BCPD是平行四邊形；四邊形 BDCP是平行四邊形時，利用平移規(guī)律確定出P坐標(biāo)即可；詳解：(1)由 OC=2, OB=3,得到 B (3, 0), C (0, 2),設(shè)

11、拋物線解析式為 y=a (x+1) (x-3),把 C (0, 2)代入得：2=-3a,即 a=- 2 ,3則拋物線解析式為 y= - 2 (x+1) (x-3) = - - x2+ x+2:333(2)拋物線 y=- 2 (x+1) (x-3)3, D (1, 8),33x+2=，(x- 1)2+8,3333當(dāng)四邊形CBPD是平行四邊形時，由當(dāng)四邊形CDBP是平行四邊形時，由B (3, 0), C (0, 2),得到 P (4, 2);3B (3, 0), C (0, 2),得到 P (2,-3當(dāng)四邊形BCPD是平行四邊形時，由B (3,0),C (0, 2),得到 P (一 2,【考點3二

12、次函數(shù)的面積最值問題例3已知拋物線y x2 x m2 m.(1)求證：拋物線與 x軸必定有公共點;(2)若P ( a , y1), q ( 2, y2)是拋物線上的兩點，且 y1 y2,求a的取值范圍;(3)設(shè)拋物線與x軸交于點A %,0、B x2,0，點a在點B的左側(cè)，與y軸負半軸交于點C,且X x2 3,若點D是直線BC下方拋物線上一點，連接AD交BC于點E3EAACE的面積為S1, ADCE，一，S2的面積為S2,求，是否有最值？若有，求出該最值；若沒有，請說明理由.S1S2 1 S21【答案】(1)見解析；(2)a 2或a 3,(3)皆沒有最小值； 資有最大值是-SS3【解析】 分析：

13、(1)本題需先根據(jù)判別式解出無論 m為任何實數(shù)都大于零，再判斷出物線與 x軸總有交點.(2)分兩種情況：當(dāng)點 P在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而減小，得a 2；當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時,y隨x的增大而增大，a 3,故得解.詳解：(1)令 y 0 得 x2 x m2 m 0,22,b 4ac 4m 4m 12無論m取何值，2m 10拋物線與x軸必定有公共點221(2) . y x2 x m2 m,拋物線的對稱軸是 x 2當(dāng)點P在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而減小， yi y2, a 2當(dāng)點p在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而增大，Q (2, y2)關(guān)于對稱軸的對稱點是(3, y2) yi y2, a

14、 3綜上所述：a 2或a 3(3)x1 1m, x2mxx23 、. . 1 m m 3,解得 m 1或 m 2.2 y x x 2. A 1,0、B 2,0 , C 0, 2直線BC的解析式是y x 2設(shè)點A到直線BC的距離是h1 ,點D到直線BC的距離是h2 ,1 ACE的面積S1 -CE 23 2 S2 h2i 丁 V 1求§2的最值轉(zhuǎn)化為求1h1 , DCE 的面積 S2 CE h222h23h2的最值設(shè)過點D與直線BC平行的直線解析式為 y x b當(dāng)點D在直線BC下方的拋物線上運動時，h2無最小值，僅當(dāng)直線y x b與拋物線y x2 x 2只有個公共點時，h2有最大值x22

15、x 2 b4 8 4b 0,3,此時h2,22S2 *， 沒有取小值;2有最大值是-Si3.A 1,0、B 2,0點睛：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意找出各點的坐標(biāo)問題，再把各點代入解析式是解題的關(guān)鍵.【變式3-1如圖，直線y3x 3與x軸交于點C ,與y軸交于點B,拋物線y 42axC經(jīng)過B、C兩點.E求點C的坐標(biāo);求拋物線的解析式;如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)BEC面積最大時，請求出點E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值.【答案】C 4,0 ；y3 23BEC的面積最大，最大面積是-x -x 3；點E的坐標(biāo)是2,3時,843.【解析】【分析】利用利用x軸上點的坐標(biāo)

16、特點代入一次函數(shù)即可.23一根據(jù)拋物線y ax -x c經(jīng)過B、C兩點，先求出B點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式即可.4根據(jù) 鉛垂高，水平寬”方法求面積.過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M , EF交x軸于點F ,利用E、M橫坐標(biāo)相等及所在函數(shù)關(guān)系式設(shè)出坐標(biāo)，求出 EM的長，再利用S bec S BEM S MEC ,把EM看作4BEM和AMEC的底，求出面積寫出關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)求最值即可【詳解】_3x 一一解：;直線y 3x 3與x軸交于點C,二當(dāng)y=0時，解得x=4，C點坐標(biāo)為：4,03；直線y-x 3與x軸交于點C ,與y軸交于點B ,4當(dāng)x=0時，解得y=3點B的坐標(biāo)是0,

17、3，點C的坐標(biāo)是 4,0 ,23.;拋物線y ax -x c經(jīng)過B、C兩點， 416a 3 4c 04c 33 a解得 8,c 333拋物線的解析式為y3x2 3x 3.84EF交x軸于點F ,如圖，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M ,-3 , 一 ，一 一 3 2 3已知點E是直線BC上方拋物線上的一動點，則可設(shè)點E的坐標(biāo)是 x, x2 x 3 ,843-點M的坐標(biāo)是x, -x 34EMS BEC S BEM S MEC ,BEC1 ME2OC -232；(x 2)3.2時，即點E的坐標(biāo)是2,3時,BEC的面積最大，最大面積是 3.此題考查的是 一次函數(shù)的與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；待定系數(shù)

18、法求二次函數(shù)解析式；用 鉛垂高，水平寬求面積最值問題【變式3-2】如圖，拋物線y ax2 bx 2交x軸于點A 3,0和點B 1,0，交y軸于點C .(2)若點D的坐標(biāo)為 1,0，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值2 o 417【答案】(1) y - x - x 2； (2) S的最大值為 一.334【解析】【分析】（1）根據(jù)A,B兩點坐標(biāo)可得出函數(shù)表達式;一2 24,(2)設(shè)點 P x, -x2-X2 ,根據(jù)33S四邊形 ADCPSA APO +SA CPOSA ODC 列出S關(guān)于x的二次函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值解：（1）將A,B兩點的坐標(biāo)代入解析

19、式得,9a 3ba b 22 0,解得0,2343 2 2 4故拋物線的表達式為：y-x2 -x 2；332 2 4-(2)連接 OP ,設(shè)點 P x, -x-x 233由（1）中表達式可得點C 0,2 ,則 S Sg邊形 ADCP SA APO +SA CPO SA ODC11 AO y p OC xP2p 21CO OD 22 24-1 八，、1x x 22 ( x) 2 133221 0,故S有最大值，當(dāng)x3時，S的最大值為17.24【點睛】.對于二次函數(shù)中的面積本題主要考查二次函數(shù)表達式的求法以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有一定的綜合性 問題，常需用到 割補法”.【考點4】二次函數(shù)面積的其

20、它問題【例41如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y 5x 5與x軸、y軸分別交于y x2 bx c經(jīng)過A,C兩點，與x軸交于另一點B .(1)求拋物線解析式及 B點坐標(biāo)；(2)連接BC,求 ABC的面積；AC兩點，拋物線ABM面積為 ABC的面一,4積的一倍，求此時點M的坐標(biāo).5(3)若點M為拋物線上一動點，連接 MA,MB ,當(dāng)點M運動到某一位置時，1 ， M2 (3-272,4) , M3,【答案】(1) y x2 6x 5, B 5,0 ; (2) S abc 10； (3) M 點的坐標(biāo)為 M見解析.【解析】【分析】(1)利用A,C兩點是一次函數(shù)上的點求出A,C兩點，再代入二次函數(shù)求解即

21、可(2)根據(jù) A 1,0 , B 5,0，求出 AB 4,求出 ABC.8,得出 yM 16 4 4,4 ,、 ， ，44(3)根據(jù) ABM面積為 ABC的面積的一倍，求出Sabm 4 Sabc - 105 55求出此時M的坐標(biāo)即可.【詳解】(1)解：直線 y 5x 5，令y 0,則0 5x 5,解得x 1A 1,0C 0,5將點A 1,0 , C 0,5代入y x2bx c中得,，拋物線的解析式為：y x2 6x 5 ;令y 0 ,則x2 6x 5 0 ,解得xi1,x2 5B 5,0(2)解：. A 1,0 , B 5,0 AB 4c1“1S ABC AB OC 4 5 10224(3)

22、ABM面積為 ABC的面積的一倍,54c4-八S ABM S ABC10855AB=4 ,Tm| 16 4 4, 22 y x2 6x 5 x 34，拋物線的頂點坐標(biāo)為 Mi 3, 4符合條件,當(dāng) yM4時，x2 6x 5 4,解的，xi=3-2V2，x2=3 2叵, M 點的坐標(biāo)為 Mi (3, -4), M2 3-2J2,4 , M3 3 2&4 .【點睛】本題考查的是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵【變式4-1】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點O,與x軸交于另一點 N,直線y=kx + 4與兩坐標(biāo)軸 分別交于A、D兩點，與拋物線交于點B(1 , m)、C(2, 2)

23、.1.求直線與拋物線的解析式.【答案】(1)所求的拋物線為y = -2x- + Sx.【解析】【分析】(1)根據(jù)C點的坐標(biāo)可確定直線 AD的解析式，進而可求出B點坐標(biāo)，將B、C、O三點坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得此二次函數(shù)的解析式；【詳解】(1)將點C (2, 2)代入直線y=kx+4 ,可得k=-1所以直線的解析式為 y=-x+4當(dāng) x=1 時，y=3 ,所以B點的坐標(biāo)為(1, 3)將B、C、O三點的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx+c,'a + + r= 3可得4口 + 2券十u=上； c = d解得 .，M = -2j b = 5(c = 0所以所求的拋物線為y=-2x 2+5x

24、 .壓軸精練一、解答題21.如圖1所不，拋物線y ax bx c交x軸于點A 4,0和點B 1,0 ,交y軸于點C 0,41求拋物線的函數(shù)表達式；2如圖2所示，若點M是拋物線上一動點，且 S；AOM 3seboc ,求點M的坐標(biāo)；3如圖3所示，設(shè)點N是線段AC上的一動點，作 PN x軸，交拋物線于點 P,求線段PN長度的最大 值.【答案】(1) y x2 3x 4；點P坐標(biāo)為 3產(chǎn),3或 3 ；37,3或 3尸,3或3 .13J-, 3 ; 3線段PN長度最大值為4.2【解析】【分析】(1)把函數(shù)設(shè)為交點式，代入C點坐標(biāo)，進而求出 a的值即可；(2)設(shè)M點坐標(biāo)為(x, -x2-3x+4),根據(jù)

25、Saaom =3S aboc列出關(guān)于x的方程，解方程求出 x的值，進而得 到點P的坐標(biāo)；(3)先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+4 ,再設(shè)N點坐標(biāo)為(x, x+4),則P點坐標(biāo)為(x,-x2-3x+4),然后用含x的代數(shù)式表示PN,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PN長度的最大值.【詳解】解：(1)把函數(shù)設(shè)為交點式 y a x x1 x x2 ,4,0 , B 1,0 得 ya x 4 x 1 ,把C 0,4代入，得a故拋物線的解析式為 yx2 3x 4; 2.(2)設(shè)M點坐標(biāo)為x, x 3x 4 ,Shaom3sboc ,x2 3x 4 3 - 1 4,2313整理得 x2 3x

26、4 3或x2 3x 43,解得x則符合條件的點P坐標(biāo)為 3 "37 ,3或3-7,3 或-AJH, 3 或-AJ2, 3 ;(3)設(shè)直線AC的解析式為y kxC 0,4代入,4k b 0解得即直線AC的解析式為y x 4 ,設(shè)點N坐標(biāo)為x,x 4 ,4 x設(shè) PN y ,則 y x2 3x 4即當(dāng)x 2時，y有最大值4, 故線段PN長度最大值為4.2.0 ,則P點坐標(biāo)為x, x 3x 422x 4 x 4x (x 2)4 ,面積問題以及線段最值問題，熟練掌握二本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式, 次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵26.如圖，拋物線 y ax bx 3

27、與x軸相交于點 A (- 1, 0)、B (3, 0),與y軸相交于點C,點P為線段OB上的動點(不與 O、B重合)，過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段 BC分別交于點E、F , 點D在y軸正半軸上，OD =2,連接DE、OF .(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)四邊形 ODEF是平行四邊形時，求點 P的坐標(biāo)；(3)過點A的直線將(2)中的平行四邊形 ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式.(不必說明平分平行四邊形面積的理由)2【答案】(1)拋物線的解析式為： y-x 2x13； (2) P點坐標(biāo)為(1,0)或(2,0) ； (3)當(dāng)P (1,0)時, 所求直線的解析式為：y 4x

28、4;當(dāng)P (2,0)時，所求直線的解析式為：y -x -.3 344【解析】試題分析：(1)將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量a, b.則可求出該拋物線解析式；(2)由平行四邊形的性質(zhì)可知，EF二OD,用含未知量x的代數(shù)式表示 EF的長度。則可得點 P坐標(biāo)；(3)平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點(或?qū)蔷€的中點)，過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與0ODEF對稱中心的直線平分 0ODEF的面積.求得此直線，首先要求得0ODEF對 稱中心的坐標(biāo).則兩點坐標(biāo)可確定該直線.試題解析：(1) :1點 A (-1,0)、B (3,0)在拋物線 y二 a

29、x2bx+3上， .fa-b代。2解得a_-1, b_2,二拋物線的解析式為：y-x -2*13.2(2)在拋物線解析式 y x 2x十3中，令x.0，得y.3 ,.二C (0,3).C (0,3)坐標(biāo)代入得:設(shè)直線BC的解析式為y-kx-b ,將B (3,0),解得.1, b',y二-x+3.b=3、r一、r2設(shè) E 點坐標(biāo)為(x, - x -2x -3 ,則 P (x,0) , F (x,-x+3),_2_2一 EF yE -yF x -2x-3-(- x+3) x - 3x二四邊形ODEF是平行四邊形，EF -OD ,22-x +3x 二2 ,即 x -3x/2 二0 ,解得x

30、.1或x-2 ,P點坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).(3)平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點(或?qū)蔷€的中點)，過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與0ODEF對稱中心的直線平分 0ODEF的面積.當(dāng)P (1,0)時，點F坐標(biāo)為(1,2),又D (0,2)設(shè)對角線DF的中點為G ,則G (1,2).2設(shè)直線AG的解析式為y=kx-b ,將A (.1,0) , G (1,2)坐標(biāo)代入得：|f-k+b=o1方k+b=2 'L心44 44解得k4, b4,所求直線的解析式為：y-x-；3333當(dāng)P (2,0)時，點F坐標(biāo)為(2,1),又D (0,2),設(shè)對角線D

31、F的中點為G ,則G (1,芻).2設(shè)直線AG的解析式為y=kx|b,將A (.1,0) , G 11)坐標(biāo)代入得：|f-k+b=O一 一33 33卜3 ,斛仔k -，b 一，所求直線的解析式為：y -x -.k+b,4444L L綜上所述，所求直線的解析式為：y 4x 4或y 3x 3.3344【考點】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法3)、( 1,0),將此平行7.平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形 ABOC如圖放置，點 A、C的坐標(biāo)分別為(0, 四邊形繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到平行四邊形 A'B'OC'.(1)若拋物線過點 C, A, A',求

32、此拋物線的解析式；(2)求平行四邊形 ABOC和平行四邊形 A'B'OC'重疊部分OC'D的周長；?最大面積是多少？并求(3)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，間：點 M在何處時AMA'的面積最大解：(1).HABOC'由口 ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點 A的坐標(biāo)為(0, 3),點A的坐標(biāo)為(3, 0).所以拋物線過點C(-1, 0)A(0 , 3), A(30)設(shè)拋物線的解析式為y2.一、 一ax bx c(a 0),可得c 39a 3b解得b，過點C,A,A'的拋物線的解析式為 yx2 2x 3.(2)因為 AB / CO,所以/ OAB=

33、 ZAOC=90° .OB .OA2 AB2.10,又 OC'DOCAB.C'OD BOA,/. C'OD BOA 又 OC' OC1,空駕黠工“BOABOA的周長 OB 屏的周長為C'OD的周長為4 20=1 ,102 105(3)連接OM ,設(shè)M點的坐標(biāo)為(m, n),丁點M在拋物線上,2m 3.-S AMA' S AMOS AOA'1=OA m23 /2=(m21 -OA' 23m)因為0 m1-OA OA' 23(m23,所以當(dāng)m2)23時2 ，3一 (m2279n) 23(m n 3)28159n .

34、AAMA4的面積有最大值所以當(dāng)點M3 15的坐標(biāo)為(一，一)時，AAMA的面積有取大值，且取大值為2 427(1)由圖形翻折性質(zhì)可知點A'的坐標(biāo)為(3, 0),把有關(guān)點的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求得待定系數(shù)，即可知拋物線解析式;(2)相似三角形周長之比等于相似比;(3) (3)求面積最大值，可把面積化為二次函數(shù)形式，然后求最大值.1 28.如圖，已知拋物線 y x 3bx c 經(jīng)過點 A( 1,0)、B(5,0).(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點M的坐標(biāo)；(2)若點C在拋物線上，且點 C的橫坐標(biāo)為8,求四邊形 AMBC的面積(3)定點D(0,m)在y軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單

35、位，再向上平移物線，點P在新的拋物線上運動，求定點 D與動點P之間距離的最小值 d (用含3個單位得到一條新的拋m的代數(shù)式表示)3 m m 一212m 9 m212 45【答案】(1) y -x -x - , M (2, 3); (2) 36; (3) d 333【解析】【分析】(1)函數(shù)的表達式為：y= - (x+1) (x-5),即可求解；3(2) S四邊形AMBC = 2AB(yC-yD),即可求解；(3)拋物線的表達式為：y= 1 x2,即可求解.3【詳解】 11c 12 45(1)函數(shù)的表達式為：y= (x+1) (x-5) = (x-4x-5) =x x,33333點M坐標(biāo)為(2,

36、 -3)；(2)當(dāng) x=8 時，y=1 (x+1) (x-5) =9,即點 C (8, 9), 3S四邊形AMBC =2-AB (yC-yD) =，X6X (9+3) =36;(3) y=1 (x+1) (x-5) =1 (x2-4x-5) =1 (x-2) 2-3,333拋物線的圖象向左平移 2個單位，再向上平移 3個單位得到一條新的拋物線,則新拋物線表達式為：y=1x23則定點 D 與動點 P之間距離 pD= JX2(m1 x2)2 J1x4(1 m)x2m2 , 393. 1>0, PD有最小值，當(dāng)x2=3m-9時，92曰 ,9.12m9PD取小值d= 3m - .；22【點睛】本

37、題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到圖形平移、面積的計算等知識點，難度不大.9 .如圖，拋物線y x2 bx c交x軸于點A 3,0和點B ,交y軸于點C 0,3(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P在拋物線上，且 SAOP 4sBOC ,求點P的坐標(biāo)；(3)如圖，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ x軸，交拋物線于點 D,求線段DQ長度的最大值,1,4或1 2收4或1 2衣，4 ；2_ (1) yx 2x 3； (2)符合條件的點P的坐標(biāo)為:(3)一，一，27DAC面積的最大值為8(1)把點A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x

38、, -x2-2x+3),根據(jù)S3op=4S/boc列出關(guān)于x的方程，解方程求出 x的值，進而得到點P的坐標(biāo)；(3)先運用待定系數(shù)法求出直線 AC的解析式為y=x+3 ,再設(shè)Q點坐標(biāo)為(x, x+3),則D點坐標(biāo)為(x,-x2-2x+3),然后用含x的代數(shù)式表示 QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值，再根據(jù)S DAC S DAQ S DCQ 求得最大面積.【詳解】(1)把 A 3,0 , C 0,3 代入 yx2 bx c,得9 3b c3 c故該拋物線的解析式為：yx2 2x 3 .(2)由(1)知，該拋物線的解析式為yx2 2x 3 ,則易得B 1,0設(shè)P點坐標(biāo)為(x, -x

39、2-2x+3),S AOP 4S BOC ,1213x2 2x 3 4 1 3.22一，i2如整理，得 x 10或x2 2x 7解得x 1或x 1 2 72.則符合條件的點 P的坐標(biāo)為：1,4(3)設(shè)直線AC的解析式為y kx0,或 1 2近4或1 2應(yīng)4 ；t ,將 A 3,0 , C 0,3 代入，3k t 0得，t 3k解得t即直線AC的解析式為y Zx-3.設(shè)Q點坐標(biāo)為D點坐標(biāo)為x,2xQD3x時，QD有最大值此時,S DAC S DAQ S DCQ3 x+ 一29 274 一 8DAC面積的最大值為27考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長

40、度問題.此 題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想.210.拋物線yax bx c 經(jīng)過點 A (-1,0)、B (4,0),與 y 軸交于點 C (0,4) (1)求拋物線的表達式;(2)點P為直線BC上方拋物線的一點，分別連接PB、PC,若直線BC恰好平分四邊形 COBP的面積，求P點坐標(biāo);(3)在(2)的條件下，是否在該拋物線上存在一點Q,該拋物線對稱軸上存在一點N,使得以A、P、Q、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由29939【答案】(1) y x2 3x 4 ; (2)點P坐標(biāo)為(2,6)； (3) Q點坐標(biāo)為(一，-)或(一，一).

41、 2424【解析】分析：(1)把A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線 y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x,-x2+3x+4 )，根據(jù)四邊形 COBP的面積=Sacop+ Szbop以及四邊形 COBP的面積=2Szcob求解即可;(3)分AQ和AN分別為對角線時進行討論可得解.詳解：(1)把A (-1, 0)、B (4, 0)、C (0, 4)三點坐標(biāo)代入拋物線 y=ax2+bx+c得,a b c 0 16a 4b c 0 , c 4a 1解得：b 3 c 4故拋物線的表達式為：y=-x 2+3x+4 ；(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x, -x2+3x+4),如圖,1，四邊形

42、 COBP 的面積=Sacqp+ Szbqp= - 4?<23x4）4=-2x2+8x+8直線BC平分四邊形COBP的面積，四邊形COBP的面積=2Sacqbr2c 1即：-2x2+8x+8= 2 -2解得x=2 將x=2代入拋物線表達式得 y=6故點P坐標(biāo)為(2,6)(3)存在當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時,Q點橫坐標(biāo)為當(dāng)AN為平行四邊形的對角線時,Q點橫坐標(biāo)為綜上所述，Q點坐標(biāo)為(I，9）或24點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)和平行四邊形存在性的判定等相關(guān)知識，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論 的數(shù)學(xué)思想.11.如圖，頂點為M的拋物線y ax2 bx 3與x軸交于A( 1,0), B兩點，與y

43、軸交于點C,過點C作6,_、CD y軸交拋物線于另一點 D ,作DE x軸，垂足為點E.雙曲線y -(x 0)經(jīng)過點D,連接MD , xBD.(1)求拋物線的表達式；(2)點N , F分別是x軸，y軸上的兩點，當(dāng)以 M , D, N , F為頂點的四邊形周長最小時，求出點 N , F的坐標(biāo)；55【答案】(1)y x 2x 3; (2) N 一,0 ； F 0,一； 73【解析】【分析】(1)先求D的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式解析式求解；(2)分別作點M , D關(guān)于y軸，x軸的對稱點 M ,dI,連接MD交x軸，y軸于點N , F.即M , F,N, dI在同同一直線上時，四邊形的周長最小，用待

44、定系數(shù)法求直線 MD的表達式，再求 N,F的坐標(biāo)；【詳解】解：(1)由題意，得點C的坐標(biāo)(0,3) , OC 3. k OC CD 6,CD 2.點D的坐標(biāo)(2,3).將點A(1,0), D(2,3)分別代人拋物線y ax2 bx 3,得a4a解得b 3 0, 2b 3 3.a 1, b 2.，拋物線的表達式為 yx2 2x 3.(2)分別作點M, D關(guān)于y軸，x軸的對稱點連接MD交X軸，y軸于點N , F .由拋物線的表達式可知，頂點 M的坐標(biāo)(1,4).點M的坐標(biāo)(1,4).設(shè)直線MD為y kx b,點Dl的坐標(biāo)(2, 3),k b 4,2kb 3.7a 一, 3 解得 3b 5.3 75

45、，直線MD的表達式為y x .33755令y 0,則-x0,解得x,337，點N的坐標(biāo),0 .7. 一 5令x 0 ,則y 5 , 3- 5.點F的坐標(biāo)0,-.【點睛】考核知識點：二次函數(shù)的綜合運用.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵12.如圖，拋物線y ax2 bx 4交x軸于A( 4，0)、B(2，0)兩點，交y軸于點C ,頂點為h ,其對稱軸交x軸于點N .直線l經(jīng)過B、D兩點，交拋物線的對稱軸于點M ,其中點D的橫坐標(biāo)為 5.(1)求拋物線的表達式；(2)連接AM，求&ABM的周長；(3)若P是拋物線位于直線 BD的下方且在其對稱軸左側(cè)上的一點，當(dāng)四邊形DPHM的面積最大時，求點P的坐標(biāo).

46、_ 1 o_5【答案】(1)拋物線的解析式為 y -x2 x 4; (2) 3v5 6； (3) P 3,-.【解析】【分析】(1)將A, B兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出(2)首先求出D點、A點、B點坐標(biāo)，進而利用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的長，即可得出 AABM的周長；(3)首先表不出 P, Q點的坐標(biāo)，進而表不出 S四邊形DPHM = SzlDPM + S/PMH ,利用二次函數(shù)最值求出即可【詳解】1將A, B點坐標(biāo)代入解析式，得16a 4b 4 04a 2b 4 01 a - 解得 2 ,b 11 2拋物線的解析式為 y x2 x 4; 22 當(dāng) x

47、5, y 7 ,則 D 5,722由 A 4,0 , B 2,0 ,則 AB 6,設(shè)直線DB的解析式為y kx b,75k b 2 ,2kb 0解得:則直線DB的解析式為y1,拋物線對稱軸為 x 1,則M 1,2在 RMNB 中，MB2MN 2NB2454， MBMN垂直平分AB ,則AMBM3.52則 C»BM AM BM AB 3而 6, 所以|aBM的周長為：3斯 6 ;3如圖1,連接PM ,過P作PQ垂直于x軸交l于Q .9拋物線的頂點坐標(biāo)H為 1,-24 ,m人_1令 P m, -m2m,則PQ1 -m2Wm 5, 2S ,1.DPMS'lDQPS'i MQ

48、P1 -QP22QP3m 10S' PMH3 3m故S3邊形 DPHMSjDPMS.' PMH2m 3m103m2- 一， _m 6m 7( 51)，拋物線開口向下,故當(dāng)mb q3時, 2aS四邊形DPHM最大，則122 (3)3則P 3,此題主要考查了二次函數(shù)綜合知識的應(yīng)用,利用F點位置的不同分類討論得出是解題關(guān)鍵13.如圖，拋物線經(jīng)過點 A (1, 0), B (5, 0), C(0三)三點，設(shè)點E (x, y)是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形 OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形.(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點E (x, y)運動時，試求平行四邊形 OEBF的面

49、積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？(3)是否存在這樣的點 E,使平行四邊形 OEBF為正方形？若存在，求 E點，F(xiàn)點的坐標(biāo)；若不存在，請 說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式為：y=x2-4x+;(2) S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-x2+20x- (1<x<5), S的最大值為學(xué);(3)存在點E (5,-三)，使平行四邊形 OEBF為正方形，此時點 F坐標(biāo)為(：，三).【解析】 試題分析：(1)由拋物線經(jīng)過點 A (1, 0), B (5, 0), C (0, 丁)三點，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；(2)由點E (x, y)是拋物線上一動點，且位于第四象限

50、，可得 y<0,即-y>0, - y表示點E至U OA的距離，又由S=2Ssbe=2Wx OB?|y|即可求得平行四邊形 OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象， 求得自變量x的取值范圍；(3)由當(dāng)OBLEF,且OB=EF時，平行四邊形 OEBF是正方形，可得此時點 E坐標(biāo)只能(:,-：),而坐標(biāo)為(1-)點在拋物線上，故可判定存在點E,使平行四邊形 OEBF為正方形.試題解析：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,拋物線經(jīng)過點 A (1, 0), B (5, 0), C (0,號)三點，則由題意可得：a + fr + tz = 025n + S3 +廣=0ie,解得 < b = 4 .l-T，所求拋物線的解析式為：y=x2- 4x+;(2)二點E (x, y)是拋物線上一動點，且在 x軸下方，y<0,即-y>0, - y表布點E到OA的距離.OB是平行四邊形OEBF的對角線，S=2SAqbe=2 X X OB?|yf=5y= -5 (x24x+號)=-x2+20x 號,S= (x - 3) 2+3