圓與直線方程相關(guān)習(xí)題

1、圓與直線方程相關(guān)習(xí)題兀、.兀C6或61 .直線y=kx+3被圓(x2)2 + (y3)2=4截得的弦長為2力，則直線的傾斜角為(A )D.解析圓(x2)2+(y3)2=4的圓心為(2,3),半徑r=2,圓心(2,3)到直線y= kx+ 3的 距離d= 我曾，因?yàn)橹本€丫=h+3被圓僅一2)2+83)2=4截得的弦長為2® 所以由勾 股定理得r2=d2+(乎)2,即4 = 含+3,解得k=3,故直線的傾斜角為 齡565.2 .設(shè)直線xya=0與圓x2+y2=4相交于A, B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 AOB為 等邊三角形，則實(shí)數(shù) a的值為(B )A.班B.嶇C. ± 3D.

2、77;9解析由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,則4AOB的邊長為2,所以 AOB的高為木,即圓心到直線 x ya=0的距離為J3,所以j J一司=$3,解得a=卻6.52+ -123.已知點(diǎn) A(-2,0), B(0,2),若點(diǎn) C 是圓 x2-2ax+y2+a2- 1 = 0 上的動(dòng)點(diǎn)， ABC 面 積的最小值為3-®則a的值為(C )A. 1B. - 5C. 1 或5D. 5解析解法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x- a)2 + y2 = 1,圓心M(a,0)到直線AB： x-y+ 2=0的距離為d =0+2J血，可知圓上 的點(diǎn)到直線 AB的最短 距離為 d - 1 =號機(jī)一1，(

3、SaABC)min = " X 2寸2解得a= 1或5.解法二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=1,設(shè) C的坐標(biāo)為(a + cos。，sin。)，C點(diǎn)到直線 AB ： xy+2=0的距離為 d = |a+ cos 0 sin 0+ 2|2|艱sin 0-4 + a+ 2|,21hJ2sin 0- 4 +a+2| ABC 的面積為 Saabc =1x2j2X22= |gin( 0-4)+a+ 2|,當(dāng) a>0 時(shí)，a + 22=3#,解得 a= 1;當(dāng)一2Wa<0時(shí)，|a+2成|=3 ,，無解；當(dāng) a< 2 時(shí)，|a+ 2 + 2|= 3 一寸2,解得 a= - 5

4、.解法三：設(shè)與 AB平行且與圓相切的直線1'的方程為x- y+m=0(mw2),圓心M(a,0)到直線l'的距離d=1,即同曾|=1,解得m =2兩平行線l, l'之間的距離就是圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離,2.2(SAABC)min =2x2.x1 也冒一2|=| 把-a-2|.當(dāng)a>0時(shí)，|把一a 2|=3爽，解得a= 1.當(dāng) a<0 時(shí)，| 42a2|=3 也，解得 a=5.故a= 1或5.4.已知直線x+yk=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn) A, B,。是原點(diǎn)，且有|OA + OB蘆乎|AB|,則k的取值范圍是(c )B.的，+8

5、)D. V3,唔A.(木,+8 )C. .2, 2 2)解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算.設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則OD ±AB,因?yàn)?|5A+oB|R 乎|晶|,所以 |2而方卓|癡，|aB|W2V3|OD|,又因?yàn)?|0D |2 + ；4|>AB|2 =4,所以|0D|A 1.因?yàn)橹本€x+ y- k= 0(k>0)與圓x2+y2 = 4交于不同的兩點(diǎn)，所以 |0D|<2,所以k / <2，解得血wk<2，2,故選C.5.兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn), 則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公

6、共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線 li： 2x y+a=0, 12： 2xy+a2+1 = 0 和圓：x2+y2+2x4= 0 相切，貝U a 的取值范圍是(C )A. a>7 或 a<3B. a>V6或 a< 乖C. 3w a w 6或 J6& a w 7D. a > 7 或 a w 3解析本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系、補(bǔ)集思想及分析、理解、解決問題的能力.兩條平行線與圓都相交時(shí)，|2 -1 +a| f-5< 5由|2 -1 +a2+1|得*76<a<

7、; 述,< 5兩條直線都和圓相離時(shí),|2 -1 +a| Q山5> 5|2 1 +a2+1|得a<-3,或a>7,所以兩條直線和圓“相切”時(shí)a的取值>5范圍3Waw 乖或乖&a&7,故選 C.6.過點(diǎn) P(1,1)作圓 C: (x t)2+(y 1+2)2= 1(te R)的切線，切點(diǎn)分別為 A,B,則 PAPB21的最小值為21.解析圓C： (xt)2+(y1+2)2=1的圓心坐標(biāo)為(t, t 2),半徑為1,所以 PC = H t+ 1 2+ t3 2=、2 t1 2+8PA=PB=4PC21 , cos/ APC = AC,AP -2所以 co

8、s/APB = 2 PC 2-1 = 1-PC2,所以 PA PB= (PC2 1)(1 秦)=3+ pc2+聶3+ 8+1= PCPC421所以PA PB的最小值為21.7.過點(diǎn)C(3,4)作圓x2+y2=5的兩條切線，切點(diǎn)分別為A, B,則點(diǎn)C到直線AB的距離為4.35 一解析以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=(-)2, AB為圓C與圓O： x2+y2325 .=5的公共弦，所以 AB的萬程為*2+丫2汽一5)2+32)2=5 彳，化為3x+4y5=0,C至ij AB的距離為d =|3X3 + 4X4 5|.32+ 424.1 c 8.在 ABC中，角 A、B、C的對邊分

9、別為 a、b、c,若sin2A+sin2B=2sin2C,則直線 ax by+c= 0被圓x2 + y2 = 9所截得弦長為2代.1 c斛析由正弦th理得a2+ b2= 2c2,圓心到直線距離 d =. .弦長 l=2>Jr2-d2 =29-2 =2"9. (2018全國卷n, 19)設(shè)拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解析由題意得F(1,0), l的方程為y= k(x-1)(k>0).y= k x 1 ,設(shè) A(Xi, y1)，B(

10、x2, y2),由,得 k2x2(2k2+4)x+k2= 0.'y2 = 4x,»2k2+4A= 16k2+16>0,故 xi+x2= k2 .4k2+ 4所以 |AB|=|AF|+|BF|=(Xi+ 1)+(x2+ 1) = -. k4 k2+4. 一.由題設(shè)知k2 = 8,解得k= 1(舍去)，k= 1.因此l的方程為y=x1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y 2 = (x3),即y=x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(xo, y°),y0= 一 xo+ 5,則xo+ 12 y0 X0 + 1 2 ” 2=-y+ 16.2

11、解得xo= 3, y0= 2X0= 11, 或y0= - 6.因此所求圓的方程為 (x- 3)2+ (y- 2)2 = 16 或(x- 11)2+ (y+ 6)2= 144.10. (2017全國卷ID , 20)在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線y=x2+mx2與x軸交于 A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)ACXBC的情況？說明理由.(2)證明過A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.解析(1)不能出現(xiàn)AC，BC的情況.理由如下:設(shè) A(x1,0), B(X2,0),則 X1, x2滿足 x2+mx 2=0,所以 X1X2= 2.又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),一一r 、.I, 1 11故AC的斜率與BC的斜率N積為三五一2,所以不能出現(xiàn) ACLBC的情況.(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(X2, 2),可得BC的中垂線方程為y 2=