初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

1、初中數(shù)學(xué)九大幾何模型、手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等(1)等邊三角形【條件】：OA*口4OCD勻為等邊三角形;AED【結(jié)論】：OACOBD/ AEB=60 ;OE平分/(2)等腰直角三角形(3)頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：AOA*口4OCD勻為等腰直角三角形;AED【結(jié)論】：OA筆AOBED/ AEB=90 ;OE平分/【條件】：AOA*口OCD勻為等腰三角形;且/ CODW AOB【結(jié)論】：OAGAOBtD/ AEB之 AOBABOE平分/ AED二、模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似(1) 一般情況【條件】：CD/ AB,將 OCD轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中 OCW OAtB>一 O

2、A6 OBDD將 OCD轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中 OCW OAtB>一 OA6 OBD延長 AC交BD于點E,必有/ BECW BOABD OD OB3)一 一 一AC OC OAtan / OCD BD± AC;2連接AD BC,必、有AD2 BC2 ABCD2 ； SABCD三、模型三、對角互補模型(1)全等型-90 °【條件】：/ AOBh DCE=90 ; OC¥分/AOB【結(jié)論】： CD=CE OD+OE= 2 OC s CF/ DCE證明提示:作垂直,如圖 2,證明 CD陣 CEN過點C作CF，OC如圖3,證明 OD葭 FEC當(dāng)/ DCE的

3、一邊交AO的延長線于 D時（如圖4）:(2)全等型-120 °【條件】：/ AOB=2 DCE=120 ;OC平分/ AOB【結(jié)論】： CD=CE OD+OE=O03) SADCESAOCDSAOCE,3 2一 OC24證明提示：可參考“全等型-90 ° ”證法如右下圖：在 OB上取一點F,使OF=OC證明 OCF為等邊三角形。(3)全等型-任意角a【條件】：/ AOB=2i , /DCE=180-2a ; CD=CECOS a【結(jié)論】：OC平分/ AOBOD+OE=2OCcos a ; SADCESAOCDSAOCE0c sin ”當(dāng)/ DCE的一邊交AO的延長線于 D時

4、(如右下圖)：原結(jié)論變成：O對角互補模型總結(jié):常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線;初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別;注意OC¥分/ AOB寸，/ CDE4 CEDh COAh CO版口何引導(dǎo)？四、模型四：角含半角模型90。(1)角含半角模型 90° -1【條件】：正方形ABCD/ EAF=45° ;【結(jié)論】：EF=DF+BE CEF的周長為正方形 ABCW長的一半;也可以這樣：【條件】：正方形 ABCDEF=DF+BE(2)角含半角模型 90° -2【條件】：正方形ABCD/ EAF=45° ;【結(jié)論】

5、：EF=DF-BE(3)角含半角模型 903【條件】：RtABC/ DAE=45 ;【結(jié)論】：BD2 CE2 DE2 (如圖1)BD 2CE2若/ DAE旋轉(zhuǎn)到 ABC外部時，結(jié)論A2 .DE仍然成立(如圖2)F【結(jié)論】： AHE為等腰直角三角形;證明：連接AC (方法不唯一)FBCD(4)角含半角模型 90。變形【條件】：正方形ABCD/ EAF=45° ; / DACh EAF=45° , / DAHh CAE 又/ ACB=/ ADB=45 ;.DA" CAEDAAHACAEH.AH& AD(C AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型(1)倍長

6、中線類模型-1【條件】：矩形ABCDBD=BEDF=EF【結(jié)論】:AF± CF模型提取：有平行線 AD/ BE;平行線間線段有中點 DF=EF可以構(gòu)造“ 8”字全等 AD陣HEF。(2)倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形 ABCDBC=2ABAM=DMCEL AB;【結(jié)論】：/ EMD=3 MEA輔助線：有平行 AB/ CD，有中點 AM=DM延長 EM構(gòu)造 AM監(jiān) DMF連接 CM勾造模型六：相似三角形 360。旋轉(zhuǎn)模型(1)相似三角形(等腰直角)360。旋轉(zhuǎn)模型一倍長中線法【條件】： ADE ABC均為等腰直角三角形； EF=CF，【結(jié)論】：DF=BDF，BF輔助線：延長 D

7、F到點G,使FG=DF連接CG BG BD,證明 BD劭等腰直角三角形;突破點： ABN CBGEAB難點：證明/ BAOh BCG(2)相似三角形(等腰直角)360。旋轉(zhuǎn)模型-補全法: ADE ABC均為等腰直角三角形； EF=C: DF=Bp D。BF輔助線:輔助線思路：將 DF與BF轉(zhuǎn)化到CG構(gòu)造等腰直角 AEG AHCBECCH H(3)任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型-補全法【條件】：(DA OABAOD(C / OABW ODC=90 ; BE=CE【結(jié)論】：AE=DE/ AED=2/ ABO輔助線：延長 BA到G,使AG=AB延長 CD到點H使DH=CD補生'

8、 OGB OCH勾造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化 AE與DE至ij CG BH 難點在轉(zhuǎn)化/ AEDCH【條件】：(DA OAEBAOD(C / OABW ODC=90 ; BE=CE【結(jié)論】：AE=DE/ AED=2 ABO輔助線：延長 DE至M,使ME=DE將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明 AMDo ABQ此為難點,將AAMDo ABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明 ABMh4AOD使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點在M模型七：最短路程模型(1)最短路程模型一(將軍飲馬類)總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點之間，線段最短：解決;特點：動點在直線上；起點，終點固定B'B(2)最短路程模型二(

9、點到直線類1)【條件】：OC平分/ AOBM為OB上一定點；P為OC上一動點； Q為OB上一動點;【問題】：求MP+PQt小時，P、Q的位置?輔助線：將作 Q關(guān)于OC對稱點Q',車t化PQ =PQ過點M作MHL OA貝U MP+PQ=MP+PQ MH(B線段最短)B(3)最短路程模型二(點到直線類2)【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n)5 【問題】：n為何值時，PB PA最小?55E,即為求解萬法：x軸上取C(2,0),使sin ZOAC=;過B作BD)± AG交y軸于點所求； tan / EBO=tanZ OAC=1 ,即 E (0, 1)2最大值：OA+O

10、B最小值：OA-OB最小值位置|最大值位置（4）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：線段OA=4 OB=2OB繞點O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn);【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點。為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為 “三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊【條件】：線段OA=4 OB=2以點。為圓心，OR OE半徑作圓；點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點；【結(jié)論】：若PA的最大值為10,則OC= 6 ;若PA的最小值為1,則OC=_若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是 0<PC<2C Z【條件】：RtOBC / OBC=30

11、;OC=ZOA=1;點P為BC上動點（可與端點重合）；OB愉點。旋轉(zhuǎn)1【結(jié)論】:PA最大值為OA+OB= 2%；3; PA的最小值為-OB OA 33 1如下圖，圓的最小半徑為 O到BC垂線段長。模型八:二倍角模型【條件】輔助線:在 ABC中，/ B=2/ C;以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A ,連接AA'、BA、CA'、則BA=AA =CA'（注意這個結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。B模型九：相似三角形模型(1)相似三角形模型-基本型平行類：DE/ BC;字型 8 字型 A 字型. AD AE DE結(jié)論： (注意對應(yīng)邊要對應(yīng))(2)相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，/AED叱 ACB=90AB AC BC【結(jié)論】：AEX AB=AC< AD【條件】：如右圖，/ ACE=Z ABC一，一 2【結(jié)論】：AC=AE< ABBC=BEX BA; CE=AEX BE;第四個圖還存在射影定理：AEX EC=BC< AC;ABC之 ACE4 CDE=90AABC玄 ACE=/