三角形各性質(zhì)總結(jié)(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上等腰三角形在同一中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（)。在同一三角形中，有兩個底角（底角指三角形最下面的兩個角）相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）。在同一三角形中，三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（簡稱：三線合一）。主要特點1.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（三線合一”）。3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等

2、于頂角的一半。6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。等邊三角形1、 定義2、 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，又叫做正三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。（注意：若三角形三條邊都相等則說這個三角形為等邊三角形，而一般不稱這個三角形為等腰三角形）。2、性質(zhì)1.等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60度。2.等邊三角形每一條邊上的中線、和每個角的角平分線互相重合。3.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線

3、。4.等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）3、判定三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）。三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。 有兩個角等于60度的三角形是等邊三角形。等腰直角三角形1、定義有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。顯然，它是一種特殊的三角形，具有所有的性質(zhì)，同時又具有所有直角三角形的性質(zhì)。2、關(guān)系等腰直角三角形的邊角之間的關(guān)系 ：三內(nèi)角和等于180°。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三。在同一個三角形內(nèi)，大邊對大

4、角，大角對大邊。有兩個角是45°，剩下的一個是直角，90°。等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。三角形的角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等。三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍。三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。備注：三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 .鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三

5、角形的邊上（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點）。銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。基本簡介等腰直角的邊角之間的關(guān)系 ：（1）三內(nèi)角和等于180°；（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（5）在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊.等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距

6、離相等）.（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的，它到每個的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。（4）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。注意！三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 .鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點。）銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。相關(guān)線段中線：頂點與對邊中點的連線，平分三角形。勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那么 A2+B2=C2;； 即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。如果三角形的三條邊A，B，C滿足

7、A2+B2=C2;，還有變形公式：AB=根號（AC2+BC2），如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等于斜邊c的平方那么這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）三角形角平分線主要特點三角形的角平分線不是，是線段。角的平分線是射線。拓展：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等！(即內(nèi)心)。定理1：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。逆定理：在一個角的內(nèi)部（包括頂點），且到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。定理2：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例，如：在ABC中，BD平分ABC，則AD：DC=A

8、B：BC作法在角AOB中，畫角平分線方法一：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角AOB兩邊于點M，N。2.分別以點M，N為圓心，以大于1/2MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于點P。3.作射線OP。則射線OP為角AOB的角平分線。當(dāng)然，角平分線的作法有很多種。下面再提供一種的方法供參考。方法二：1.在兩邊OA、OB上分別截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；三線合一定義在等腰三角形中（前提）頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合。簡記為三線合一。（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不適用）2證明已知：ABC為等腰三角形，AB=AC,AD為中線。求證：A

9、DBC，BAD=CAD等腰三角形ABC(AB=AC).在ABD和ACD中： BD=DC（等腰三角形的中線平分對應(yīng)的邊）AB=AC(等腰三角形的性質(zhì))AD=AD（公共邊）ADBADC（SSS）可得BAD=CAD，ADB=ADC(全等三角形對應(yīng)角相等）ADB+ADC=BDC（已證），且BDC=180度（平角定義）ADB=ADC=90°（）ADBC得證3應(yīng)用1.AB=AC,BD=DC=1/2BCADBD,AD平分BAC2.AB=AC,ADBCBD=DC=1/2BC,AD平分BAC3.AB=AC,AD平分BACADBD,BD=DC=1/2BC4逆定理 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的

10、高重合，那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。如圖，ADBC于D，AD平分BAC，AD是BC中線（1）若以為條件，求證AB=AC。理由如下：ADB=ADC=90°，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD(ASA)AB=AC（2）若以為條件，求證AB=AC。理由如下：AD是BC中線，SABD=SACD，作DEAB于E，DFAC于F，又AD平分BAC，DE=DF，AB=AC（等底等高）（3）若，求證AB=AC。理由如下：BD=CD，ADB=AD

11、C=90°，AD=AD，ABDACD，AB=AC綜上所述，逆命題成立。垂直平分線性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。證明方法圖式可以通過證明。到一條線段兩個距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。如圖：直線MN即為線段AB的垂直平分線。注意：要證明一條直線為一條的垂直平分線，應(yīng)滿足兩個點到這條線段的兩個端點的距離相等且這兩個點都在要求證明的直線上才可以證明通常來說，垂直平分線會與聯(lián)合使用。逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。2作圖方法1：折紙法（折疊法） 2：度量法 3：尺規(guī)作圖法3判定利用定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合）。4尺規(guī)作法方法一在的中心找到這條線段的中點通過這個點做這條線段的。方法二1、分別以的兩個端點為，以大