中南大學(xué)微積分總復(fù)習(xí)課PPT課件

1、 微積分IA總復(fù)習(xí)函數(shù)與極限函數(shù)與極限一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系根本初等函數(shù)根本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)函數(shù)的分類函數(shù)的分類函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項(xiàng)等函數(shù)有無窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有

2、理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準(zhǔn)那么存在的準(zhǔn)那么無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)獨(dú)一性獨(dú)一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(limxf定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么不論它多么小小),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N,使得對(duì)于使得對(duì)

3、于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使1 1、極限的定義、極限的定義定定義義N 定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的的一切一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù)

4、)(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xf

5、xfxxx或或記記作作絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與

6、無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推

7、論2 23 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)4 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00rxUx (或或Mx )時(shí)時(shí),有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、斷定極限存在的準(zhǔn)

8、那么、斷定極限存在的準(zhǔn)那么準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.(夾逼準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某某過過程程6 6、兩個(gè)重要極限、兩個(gè)重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特

9、殊地特殊地7 7、無窮小的比較、無窮小的比較定理定理(等價(jià)無窮小交換定理等價(jià)無窮小交換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè).),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的獨(dú)一性、極限的獨(dú)一性左右延續(xù)左右延續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上延續(xù)上延續(xù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性延續(xù)點(diǎn)定義延續(xù)點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延續(xù)的延續(xù)的充要條件充要條件延續(xù)函數(shù)的延續(xù)

10、函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性 振蕩延續(xù)點(diǎn)振蕩延續(xù)點(diǎn) 無窮延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn) 可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義, ,如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續(xù)點(diǎn)續(xù)點(diǎn). .1 1、延續(xù)的定義、延續(xù)的定義).()(

11、lim200 xfxfxx 定義定義定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 3 3、延續(xù)的充要條件、延續(xù)的充要條件2 2、單側(cè)延續(xù)、單側(cè)延續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)

12、2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf4 4、延續(xù)點(diǎn)的定義、延續(xù)點(diǎn)的定義(1) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf (2)可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則

13、稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、延續(xù)點(diǎn)的分類、延續(xù)點(diǎn)的分類騰躍延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn): :.,0右極限都存在右極限都存在處的左處的左函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x可去型可去型第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍型騰躍型0yx0 x0yx0 x0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)0yx0 x第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn).)(,)(00類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的第第二二為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存在在右右極極限限處處的的左左在在點(diǎn)點(diǎn)如

14、如果果xfxxxf.,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 6 6、閉區(qū)間的延續(xù)性、閉區(qū)間的延續(xù)性7 7、延續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)、延續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2 2).(lim)()

15、(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若8 8、初等函數(shù)的延續(xù)性、初等函數(shù)的延續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9 9、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性

16、質(zhì)、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界

17、在該區(qū)間上有界. .推論推論 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得cf )( )(ba . .導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 那么那么根本公式根本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微

18、 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階微分高階微分導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法那么反函

19、數(shù)的求導(dǎo)法那么( )( ),1( ).( )xyyf xfxy如果函數(shù)的反函數(shù)為則有(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法那么隱函數(shù)求導(dǎo)法那么用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)

20、方程兩邊求導(dǎo).,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法那么參變量函數(shù)的求導(dǎo)法那么高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()(

21、)(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))微分的定義微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy

22、( (微分的本質(zhì)微分的本質(zhì)) )導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,乘以自變量的微分乘以自變量的微分. . 函數(shù)和、差、積、商的微分法那么函數(shù)和、差、積、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 微分的根本法那么微分的根本法那么 微分方式的不變性微分方式的不變性的的微微分分形形式式總總是是函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間

23、間變變量量無無論論)(,xfyx dxxfdy)( 中值定理與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用洛必達(dá)法那洛必達(dá)法那么么Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 單調(diào)性單調(diào)性, ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點(diǎn)拐點(diǎn), ,函數(shù)函數(shù)圖形的描畫圖形的描畫; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用羅

24、爾中值定理羅爾中值定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即點(diǎn)的函數(shù)值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)

25、內(nèi)可導(dǎo), ,那那末在末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.柯西中值定理柯西中值定理推論推論.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的某某個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(

26、ba內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí), , )(xf可可以以表表示示為為)(0 xx 的的一一個(gè)個(gè)n次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)余余項(xiàng)項(xiàng))(xRn之之和和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 泰勒中值定理泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之之間間與與在在其其中中xxxxnfxRnnn 洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么定義定義 這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法那么求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法那么.型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式

27、式000,1 ,0 ,0.2 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法那么可處將其它類型未定式化為洛必達(dá)法那么可處理的類型理的類型 . .),00()( 留意：洛必達(dá)法那么的運(yùn)用條件留意：洛必達(dá)法那么的運(yùn)用條件.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函數(shù)單調(diào)性的斷定法函數(shù)單調(diào)性的斷定法.)()(,)()(,;)()(,)(

28、)(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義(2) 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù),且且在在0 x處取得

29、極值處取得極值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)獲得使函數(shù)獲得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的部分性概念極值是函數(shù)的部分性概念: :極大值能夠小于極小極大值能夠小于極小值值, ,極小值能夠大于極大值極小值能夠大于極大值. .駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn). .(1)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有

30、0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極大大值值.(2)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處處取取得得極極小小值值.(3)如如果果當(dāng)當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), )(xf符符 號(hào)號(hào)相相同同,則則)(xf在在0 x處處無無極極值值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí)

31、, 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)該點(diǎn)的符號(hào)該點(diǎn)的符號(hào)在在在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就那個(gè)小那個(gè)就是最小值是最小值;留意留意: :假

32、設(shè)區(qū)間內(nèi)只需一個(gè)極值假設(shè)區(qū)間內(nèi)只需一個(gè)極值, ,那么這個(gè)極值那么這個(gè)極值就是最值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )(3) 最大值、最小值問題最大值、最小值問題實(shí)踐問題求最值應(yīng)留意實(shí)踐問題求最值應(yīng)留意: :1)建立目的函數(shù)建立目的函數(shù);2)求最值求最值;（或或最最小?。┲抵岛瘮?shù)數(shù)值值即即為為所所求求的的最最大大點(diǎn)點(diǎn)，則則該該點(diǎn)點(diǎn)的的若若目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)只只有有唯唯一一駐駐(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹的的在在那那末末稱稱恒恒有有兩兩點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)任任意意如如果果對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在

33、設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹在在那那末末稱稱的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹且且在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如

34、果baxfxfbaxfxfbababaxf 連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn).定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) , 則則 點(diǎn)點(diǎn) )(,00 xfx是是 拐拐 點(diǎn)點(diǎn) 的的 必必 要要 條條 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,(,)()1(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,

35、(, 0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)曲線曲線是是那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 利用函數(shù)特性描畫函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描畫函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函數(shù)定義在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函

36、數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間.(5) 函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論） ；可列表進(jìn)行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的程度、鉛直漸近線以及其確定函數(shù)圖形的程度、鉛直漸近線以及其他變化趨勢(shì)他變化趨勢(shì);第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充

37、充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.1.120dxyds 弧微分弧微分002 .lim.sKs 曲 率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式.),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖圓圓為半徑作為半徑作為圓心為圓心以以使使取一點(diǎn)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)在凹的一側(cè)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy 定義定義,是曲率中心是曲率中心D.是是曲曲率率半半徑徑 .1,1 kk

38、曲曲率率圓圓.30不定積分不定積分積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分原函數(shù)原函數(shù) 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù))(xF的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函數(shù)，那么函數(shù))(xF就稱為就稱為)(xf或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)原函數(shù)內(nèi)原函數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在

39、在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)即：延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)不定積分不定積分(1) 定義定義 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為的原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是

40、互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(第一類換元法第一類換元法直接積分法直接積分法定定理理 1 設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)，)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式湊微分法第一類換元公式湊微分法由定義直接利用根本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用根本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln

41、. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 第二類換元法第二類換元法定定理理 設(shè)設(shè))(tx 是是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)，并并且且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三

42、角函數(shù)代換.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如雙曲函數(shù)代換雙曲函數(shù)代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 選擇選擇u u的有效方法的有效方法:LIATE:LIATE選擇法選擇法L-對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分1有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分定義定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbx

43、baxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負(fù)整數(shù)；都是非負(fù)整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實(shí)數(shù)，并且都是實(shí)數(shù)，并且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有

44、遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 2 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之普通記為算構(gòu)成的函數(shù)稱之普通記為)cos,(sinxxR3 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 處理方法：處理方法：作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào);necxbaxt 令令;nbaxt 令令定積分與廣義積分定積分與廣義積分問題

45、問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計(jì)算法計(jì)算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 1 1、問題的提出、問題的提出實(shí)例實(shí)例1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積AiniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.實(shí)例實(shí)例2 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程iniitvs )(lim10 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)

46、某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程 S.方法方法:分割、求和、取極限分割、求和、取極限.2 2、定積分的定義、定積分的定義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i （iix ），定義定義,1211

47、0nnxxxxxx 怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，記為記為記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba我我們們稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣并并作作和和iinixfS )(1 ，可積的兩個(gè)充分條件：可積的兩個(gè)充分條件： 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1定理定理2 設(shè)設(shè)函

48、函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.3 3、存在定理、存在定理4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )

49、(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，1dxxfba )(dxxfba )()(ba 2dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式5 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如如果果)

50、(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如果如果)(xf在在,ba上上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù).定理定理 3微積分根本公式微積分根本公式 如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxx

51、f 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba6 6、定積分的計(jì)算法、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式1換元法換元法2分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv定積分的運(yùn)用定積分的運(yùn)用微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)稱號(hào)釋譯稱號(hào)釋譯所求量所求量的特點(diǎn)的特點(diǎn)解解 題題 步步 驟驟定積分運(yùn)用中的常用公式定積分運(yùn)用中的常用公式（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間

52、ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個(gè)個(gè)量量U.所求量的特點(diǎn)所求量的特點(diǎn)微元素法微元素法1)根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分

53、成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U解題步驟解題步驟定積分運(yùn)用的常用公式定積分運(yùn)用的常用公式(1) 平面圖形

54、的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)

55、情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為知的立體的體積平行截面面積為知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy

56、, 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu nnnuuuuu3211常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不

57、存在不存在) ). . niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和定義定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)性質(zhì)1: 1: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2:2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3:3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性散性. .性質(zhì)性質(zhì)4:4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)依然收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)依然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)收斂級(jí)

58、數(shù)的根本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)恣意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按根本性質(zhì)按根本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun普通項(xiàng)級(jí)數(shù)普通項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂定義定義0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂ns正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )且且)(

59、nnnnvuuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限方式比較審斂法的極限方式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun l

60、im存存在在,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;