多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法ppt課件

1、 7.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法二、一階全微分的方式不變性三、隱函數(shù)微分法定理定理7.37.3且且有有如如下下的的鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則數(shù)數(shù)都都存存在在處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)在在復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)則則處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在在在函函數(shù)數(shù)處處可可微微在在設(shè)設(shè),),( ),(, ),(,),(, ),(, ),(,),(),(yxyxvyxufzyxyxvvyxuuvuvufz )107( yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz一、多元復(fù)合函數(shù)微分法證明證明,xxy 一一個(gè)個(gè)改改變變量量給給對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的,vuvu 和和的的改改變變量量

2、和和則則得得到到, ),(),(yxuyxxuu , ),(),(yxvyxxvv 的的改改變變量量從從而而得得到到),(vufz ),(),(vufvvuufz 則則可可微微由由于于,),(vuf)117()( ovvzuuzz.)()(22vu 其其中中 我們只證 中的第一個(gè)等式，第二個(gè) 等式可類似地證明.)107( 中中在在)127( ,),(, ),(的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在關(guān)關(guān)于于 xyxvvyxuu .0,0,0,0 從從而而時(shí)時(shí)vux可可得得由由117 )127()( xxvvzxuuzxz ,lim0 xuxux xvxvx 0lim2200limlim xvxuxxx 22

3、xvxu求極限可得求極限可得兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于由由0)127( x,)(,0是是無(wú)無(wú)窮窮小小量量是是有有界界量量時(shí)時(shí)從從而而 oxx .xvvzxuuzxz 同理可證同理可證.yvvzyuuzyz zuvxy情形情形1 1有有鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則則則對(duì)對(duì)),(, ),(, )(yxufzyxuuufz )137()( yuufyz,)(xuufxz 情形情形2 2)147(dddddd tvvftuuftz.dd稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)其中的其中的tz有有鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則則則對(duì)對(duì))(, )(, )(, )(, ),(tvtufztvvtuuvufz 例例1 1解解,),(中中在在xyyxfz ,xyvy

4、xu 令令那么由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒敲纯赡敲从蓮?fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒敲纯傻玫? ),(),(21xyyxfyxyyxf xvvfxuufxz yvvfyuufyz . ),(),(21xyyxfxxyyxf .),(,),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求可微可微設(shè)設(shè)xyyxfzvufz 例例2 2.,)(, )(22yzxzufyxxfz 與與求求可可微微且且設(shè)設(shè)解解,)(2222yxxuyxxfz 令令中中在在那么由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲纯赡敲从蓮?fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲纯傻玫脃uufyz )(xuufxz )(),()21(222yxxfxy . )(2222yxxfyx 例例3 3.

5、 ),(),(),(),(:,),(, )(),(),(),(yxfkyxfyyxfxyxfkkyxfkyxfttytxfyxfyxk 滿滿足足數(shù)數(shù)次次齊齊次次函函證證明明的的齊齊次次函函數(shù)數(shù)是是則則稱稱數(shù)數(shù)為為正正整整滿滿足足若若證明證明,tyvtxu 令令,),(中中在在tytxfz ,是常數(shù)是常數(shù)相對(duì)于相對(duì)于其中其中tyxytytxfxtytxf),(),(21 tvvftuuftzdddddd 那么由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲纯赡敲从蓮?fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒敲纯傻玫?,(1yxftkk ytytxfxtytxf),(),(21 有有對(duì)對(duì)任任何何因因此此t,),(dd1yxftktz

6、k . ),(),(),(yxfkyxfyyxfxyx 即得即得令令1 t則則另外另外, ),(yxftzk 二、一階全微分的方式不變性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvvyxuuvufz 的全微分為的全微分為yyzxxzzddd xxvvzxuuzd yyvvzyuuzd uz vz uz yyuxxudd yyvxxvdd那么復(fù)合函那么復(fù)合函數(shù)數(shù) fz ),(, ),(yxvyxuudvz ,dv都可微都可微, , 結(jié)論：無(wú)論結(jié)論：無(wú)論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 其全微分表達(dá)方式都一樣其全微分表達(dá)方式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分方式不變性這性質(zhì)叫做全微

7、分方式不變性.yyzxxzzddd .ddvvzuuz ),(vufz ),(, ),(yxvyxufz 解解由微分運(yùn)算法則可得由微分運(yùn)算法則可得)1()2ln(dd)2ln(dyxxxyxz yxyxxxyx2)2(dd)2ln( yxyxxxyx2d2dd)2ln( yyxxxyxxyxd22d2)2ln( ,2)2ln(yxxyxxz .22yxxyz 因此因此例例4 4求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分：求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分：);2ln(1yxxz ）（.arctan2xyxz ）（xyxxxyzarctanddarctand )(d)(11darctan2xyxyxxxy 2222dd

8、darctanxxyyxyxxxxxy yyxxxyxxyxyddarctan22222 由微分運(yùn)算法則可得由微分運(yùn)算法則可得)2(.,arctan22222yxxyzyxxyxyxz 因此因此三、隱函數(shù)微分法定理定理7.4 7.4 . 0),(,0),(,),(),(0000000 yxFyxFyxPyxFy且且數(shù)數(shù)一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)的的某某在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)且且有有件件它它滿滿足足條條數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)一一地地確確定定一一個(gè)個(gè)有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯在在點(diǎn)點(diǎn)則則由由方方程程, )(, )(),(0),(0000 xfyxfyyxyxF

9、)157(),(),(dd yxyxFFyxFyxFxy有有定定義義域域中中的的所所有有則則對(duì)對(duì)的的隱隱函函數(shù)數(shù)定定了了一一個(gè)個(gè)具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)確確在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)方方程程, )( ),( ),( 0),( 00 xxyxyyyxyxF , 0)(, xyxF公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo) , ,可得可得求導(dǎo)求導(dǎo)在方程兩邊對(duì)在方程兩邊對(duì)根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌tx, 0dd xyyFxF,0),( , ),( 0000 yxFyxFyy且且連連續(xù)續(xù)因因?yàn)闉?ddyxFFxy 于于是是在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域所所以以存存在在, 0 ,),(00 yFyx例例5 5

10、.)(0e2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程xfyyxyx 解解則則令令,e),(2yxyxyxF ,e1,e21222yxyyxxxFxyF 因此因此yxFFxy dd法一法一.e1e21222yxyxxxy 得得兩邊求全微分兩邊求全微分方程方程,0e2 yxyx0)d(edd22 yxyxyxyxxxyyxdd2)d(22 0d)e1(d)e21(222 yxxxyyxyx.e1e21dd222yxyxxxyxy 法二法二其中其中因此因此由此可求得由此可求得定理定理7.57.50),(,0),(,),(),(0000000000 zyxFzyxFzyxPzyxFz且

11、且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)在在設(shè)設(shè)且有且有滿足滿足連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)內(nèi)唯一地確定一個(gè)具有內(nèi)唯一地確定一個(gè)具有的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)則由方程則由方程, ),(, ),(),(0),(0000000yxfzyxfzzyxPzyxF )167(, zyzxFFyzFFxz例例6 6.,sin),(yzxzxyzzyxfz 及及求求函數(shù)函數(shù)所確定的隱所確定的隱是由方程是由方程設(shè)設(shè)解解則則令令,sin),(xyzzzyxF ,cosxyzFz ,xzFy ,yzFx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0cos xyzFzzxFFxz zyFFyz 法一法一,cosxyzyz .cosxyzxz 得得兩邊求全微分兩邊求全微分在在,sinxyzz zxyyxzxyzzzddddcos yxy